Старая квантовая теория

Предшественник современной квантовой механики (1900–1925).

Старая квантовая теория представляет собой совокупность результатов 1900–1925 годов ^[1] , которые предшествовали современной квантовой механике . Теория никогда не была полной или самосогласованной, а вместо этого представляла собой набор эвристических поправок к классической механике . ^[2] Теорию стали понимать как полуклассическое приближение ^[3] к современной квантовой механике. ^[4] Главными и последними достижениями старой квантовой теории были определение современной формы таблицы Менделеева Эдмундом Стоунером и принцип исключения Паули , которые были основаны на усовершенствованиях Арнольда Зоммерфельда к модели атома Бора . ^{[5] [6]}

Основным инструментом старой квантовой теории было условие квантования Бора-Зоммерфельда, процедура выбора определенных разрешенных состояний классической системы: тогда система может существовать только в одном из разрешенных состояний и ни в каком другом состоянии.

История

Старая квантовая теория была инициирована работой Макса Планка 1900 года об излучении и поглощении света черным телом , когда он открыл закон Планка, вводящий его квант действия , и всерьез зародилась после работы Альберта Эйнштейна по удельной теплоемкости. Из твердых тел в 1907 году он привлек внимание Вальтера Нернста . ^[7] Эйнштейн, а затем Дебай применили квантовые принципы к движению атомов, объяснив аномалию удельной теплоемкости.

В 1910 году Артур Эрих Хаас в своей статье 1910 года ^[8] разработал атомную модель Дж. Дж. Томсона [8] , в которой излагался подход к атому водорода, включающий квантование электронных орбиталей, тем самым опередив модель Бора (1913) на три года.

Джон Уильям Николсон известен как первый, кто создал атомную модель, которая квантовала угловой момент как h/2π. ^{[9] [10]} Нильс Бор цитировал его в своей статье 1913 года о модели атома Бора. ^[11]

В 1913 году Нильс Бор продемонстрировал зачатки определенного позднее принципа соответствия и использовал его для формулировки модели атома водорода , которая объяснила линейчатый спектр . В следующие несколько лет Арнольд Зоммерфельд распространил квантовое правило на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел, введенный Лоренцем и Эйнштейном. Зоммерфельд внес решающий вклад ^[12] , квантовав z-компоненту углового момента , что в старую квантовую эпоху называлось «пространственным квантованием» (нем. Richtungsquantelung ). Эта модель, которая стала известна как модель Бора-Зоммерфельда , позволила орбитам электрона быть эллипсами вместо кругов и ввела концепцию квантового вырождения . Эта теория правильно объяснила бы эффект Зеемана , если бы не проблема спина электрона . Модель Зоммерфельда была гораздо ближе к современной квантовомеханической картине, чем модель Бора.

На протяжении 1910-х и вплоть до 1920-х годов многие проблемы решались с использованием старой квантовой теории, но результаты были неоднозначными. Были поняты молекулярные спектры вращения и вибрации и открыт спин электрона, что привело к путанице полуцелых квантовых чисел. Макс Планк ввел нулевую энергию , а Арнольд Зоммерфельд квазиклассически квантовал релятивистский атом водорода. Хендрик Крамерс объяснил эффект Старка . Бозе и Эйнштейн дали правильную квантовую статистику фотонов.

Расширение Зоммерфельда модели атома водорода Солнечной системы Бора 1913 года , показывающее добавление эллиптических орбит для объяснения тонкой спектральной структуры.

Крамерс дал рецепт для расчета вероятностей перехода между квантовыми состояниями с точки зрения Фурье-компонент движения, идеи, которые были расширены в сотрудничестве с Вернером Гейзенбергом до квазиклассического матричного описания вероятностей атомных переходов. Гейзенберг переформулировал всю квантовую теорию в терминах версии этих матриц перехода, создав матричную механику .

В 1924 году Луи де Бройль представил волновую теорию материи, которая вскоре была расширена до полуклассического уравнения для волн материи Альбертом Эйнштейном. В 1926 году Эрвин Шрёдингер нашел полностью квантовомеханическое волновое уравнение, которое воспроизвело все успехи старой квантовой теории без двусмысленностей и противоречий. Волновая механика Шредингера развивалась отдельно от матричной механики, пока Шрёдингер и другие не доказали, что эти два метода предсказывают одни и те же экспериментальные последствия. Позже, в 1926 году, Поль Дирак доказал, что оба метода могут быть получены из более общего метода, называемого теорией преобразований .

В 1950-х годах Джозеф Келлер обновил квантование Бора-Зоммерфельда, используя интерпретацию Эйнштейна 1917 года, ^[13] , теперь известную как метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера . В 1971 году Мартин Гуцвиллер учел, что этот метод работает только для интегрируемых систем, и вывел полуклассический способ квантования хаотических систем на основе интегралов по путям . ^[14]

Основные принципы

Основная идея старой квантовой теории состоит в том, что движение в атомной системе квантовано, или дискретно. Система подчиняется классической механике , за исключением того, что разрешены не все движения, а только те движения, которые подчиняются условию квантования :

${\displaystyle \oint _{H(p,q)=E}p_{i}\,dq_{i}=n_{i}h}$

где – импульсы системы, – соответствующие координаты. Квантовые числа являются целыми числами , а интеграл берется за один период движения при постоянной энергии (как описывается гамильтонианом ) . Интеграл — это площадь в фазовом пространстве, которая представляет собой величину, называемую действием и квантованную в единицах (нередуцированной) постоянной Планка . По этой причине постоянную Планка часто называли квантом действия . ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$

Чтобы старое квантовое условие имело смысл, классическое движение должно быть сепарабельным, то есть существуют отдельные координаты, в которых движение является периодическим. Периоды разных движений не обязательно должны быть одинаковыми, они могут быть даже несоизмеримы, но должен быть набор координат, в котором движение разлагается многопериодическим образом. ${\displaystyle q_{i}}$

Мотивацией для старого квантового условия был принцип соответствия , дополненный физическим наблюдением, согласно которому квантованные величины должны быть адиабатическими инвариантами . Учитывая правило квантования Планка для гармонического осциллятора, любое условие определяет правильную классическую величину для квантования в общей системе с точностью до аддитивной константы.

Это условие квантования часто называют правилом Вильсона-Зоммерфельда ^[15] , независимо предложенным Уильямом Уилсоном ^[16] и Арнольдом Зоммерфельдом. ^[17]

Примеры

Тепловые свойства гармонического генератора

Простейшей системой старой квантовой теории является гармонический осциллятор , гамильтониан которого имеет вид:

${\displaystyle H={p^{2} \over 2m}+{m\omega ^{2}q^{2} \over 2}.}$

Старая квантовая теория дает рецепт квантования энергетических уровней гармонического осциллятора, который в сочетании с термодинамическим распределением вероятностей Больцмана дает правильное выражение для запасенной энергии и теплоемкости квантового осциллятора как при низких, так и при низких температурах. при обычных температурах. Применение этой модели в качестве модели удельной теплоемкости твердых тел позволило устранить несоответствие в доквантовой термодинамике, которое беспокоило ученых XIX века. Давайте теперь опишем это.

Множества уровня H — это орбиты, а квантовое условие состоит в том, что площадь, ограниченная орбитой в фазовом пространстве, является целым числом. Отсюда следует, что энергия квантуется по правилу Планка:

${\displaystyle E=n\hbar \omega ,\,}$

результат, который был известен задолго до этого и использовался для формулировки старого квантового условия. Этот результат отличается от результатов, полученных с помощью квантовой механики. Эта константа не учитывается при выводе старой квантовой теории , и ее значение невозможно определить с ее помощью. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega }$

Тепловые свойства квантованного осциллятора можно найти путем усреднения энергии в каждом из дискретных состояний, предполагая, что они заняты весом Больцмана :

${\displaystyle U={\sum _{n}\hbar \omega ne^{-\beta n\hbar \omega } \over \sum _{n}e^{-\beta n\hbar \omega }}={\hbar \omega e^{-\beta \hbar \omega } \over 1-e^{-\beta \hbar \omega }},\;\;\;{\rm {where}}\;\;\beta ={\frac {1}{kT}},}$

kT — это постоянная Больцмана, умноженная на абсолютную температуру , которая представляет собой температуру, измеренную в более натуральных единицах энергии. Эта величина является более фундаментальной в термодинамике, чем температура, потому что это термодинамический потенциал , связанный с энергией. ${\displaystyle \beta }$

Из этого выражения легко увидеть, что при больших значениях , при очень низких температурах, средняя энергия U в Гармоническом генераторе очень быстро, экспоненциально быстро приближается к нулю. Причина в том, что kT — это типичная энергия хаотического движения при температуре T , и когда она меньше , энергии недостаточно, чтобы передать осциллятору хотя бы один квант энергии. Таким образом, генератор остается в основном состоянии, практически не сохраняя энергии. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \hbar \omega }$

Это означает, что при очень низких температурах изменение энергии по отношению к бета или, что то же самое, изменение энергии по отношению к температуре также экспоненциально мало. Изменение энергии по отношению к температуре представляет собой удельную теплоемкость , поэтому удельная теплоемкость экспоненциально мала при низких температурах и стремится к нулю, как

${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /kT)}$

При малых значениях при высоких температурах средняя энергия U равна . Это воспроизводит теорему о равнораспределении классической термодинамики: каждый гармонический осциллятор при температуре T в среднем имеет энергию kT . Это означает, что теплоемкость осциллятора в классической механике постоянна и равна  k . Для совокупности атомов, соединенных пружинами, что является разумной моделью твердого тела, общая удельная теплоемкость равна общему числу осцилляторов, умноженному на  k . Всего на каждый атом приходится три осциллятора, что соответствует трем возможным направлениям независимых колебаний в трех измерениях. Таким образом, удельная теплоемкость классического твердого тела всегда равна 3 к на атом или в химических единицах 3 R на моль атомов. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1/\beta =kT}$

Одноатомные твердые тела при комнатной температуре имеют примерно одинаковую удельную теплоемкость 3 К на атом, но при низких температурах ее нет. Удельная теплоемкость меньше при более низких температурах и стремится к нулю при абсолютном нуле. Это справедливо для всех материальных систем, и это наблюдение называется третьим законом термодинамики . Классическая механика не может объяснить третий закон, поскольку в классической механике теплоемкость не зависит от температуры.

Это противоречие между классической механикой и теплоемкостью холодных материалов было отмечено Джеймсом Клерком Максвеллом в XIX веке и оставалось глубокой загадкой для тех, кто защищал атомную теорию материи. Эйнштейн решил эту проблему в 1906 году, предположив, что движение атомов квантовано. Это было первое применение квантовой теории к механическим системам. Некоторое время спустя Питер Дебай дал количественную теорию теплоемкости твердого тела в терминах квантованных осцилляторов с различными частотами (см. Тело Эйнштейна и модель Дебая ).

Одномерный потенциал: U = 0

Одномерные задачи легко решить. При любой энергии E значение импульса p находится из уравнения сохранения:

${\displaystyle {\sqrt {2m(E-U(q))}}={\sqrt {2mE}}=p={\text{const.}}}$

который интегрируется по всем значениям q между классическими точками поворота - местами, где импульс исчезает. Интеграл проще всего получить для частицы в ящике длиной L , где квантовое условие:

${\displaystyle 2\int _{0}^{L}p\,dq=nh}$

что дает разрешенный импульс:

${\displaystyle p={nh \over 2L}}$

и энергетические уровни

${\displaystyle E_{n}={p^{2} \over 2m}={n^{2}h^{2} \over 8mL^{2}}}$

Одномерный потенциал: U = Fx

Еще один случай, который легко решить с помощью старой квантовой теории, — это линейный потенциал на положительной полуоси, постоянная удерживающая сила F , привязывающая частицу к непроницаемой стенке. Этот случай гораздо сложнее в полной квантово-механической трактовке, и в отличие от других примеров, квазиклассический ответ здесь не точный, а приблизительный, становясь более точным при больших квантовых числах.

${\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {E}{F}}{\sqrt {2m(E-Fx)}}\ dx=nh}$

так что квантовое условие

${\displaystyle {4 \over 3}{\sqrt {2m}}{E^{3/2} \over F}=nh}$

который определяет энергетические уровни,

${\displaystyle E_{n}=\left({3nhF \over 4{\sqrt {2m}}}\right)^{2/3}}$

В конкретном случае F=mg частица удерживается гравитационным потенциалом Земли, а «стенкой» здесь является поверхность Земли.

Одномерный потенциал: U = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2 kx 2

Этот случай также легко решить, и квазиклассический ответ здесь согласуется с квантовым с точностью до энергии основного состояния. Его интеграл условия квантования равен

${\displaystyle 2\int _{-{\sqrt {\frac {2E}{k}}}}^{\sqrt {\frac {2E}{k}}}{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}kx^{2}\right)}}\ dx=nh}$

с решением

${\displaystyle E=n{\frac {h}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=n\hbar \omega }$

для угловой частоты колебаний , как и ранее. ${\displaystyle \omega }$

Ротатор

Еще одна простая система — ротатор. Вращатель состоит из массы M на конце безмассового жесткого стержня длиной R и в двух измерениях имеет лагранжиан:

${\displaystyle L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}}$

что определяет, что угловой момент J сопряжен с , полярным углом , . Старое квантовое условие требует, чтобы J, умноженный на период, был целым кратным постоянной Планка: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J=MR^{2}{\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 2\pi J=nh\,}$

угловой момент должен быть целым числом, кратным . В модели Бора этого ограничения, налагаемого на круговые орбиты, было достаточно для определения энергетических уровней. ${\displaystyle \hbar }$

В трех измерениях жесткий ротатор можно описать двумя углами — и , где — наклон относительно произвольно выбранной оси z , а — угол ротатора в проекции на плоскость x – y . Кинетическая энергия снова является единственным вкладом в лагранжиан: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle L={MR^{2} \over 2}{\dot {\theta }}^{2}+{MR^{2} \over 2}(\sin(\theta ){\dot {\phi }})^{2}\,}$

А сопряженные импульсы равны и . Уравнение движения для тривиально: является постоянной: ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle p_{\phi }=\sin(\theta )^{2}{\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle p_{\phi }}$

${\displaystyle p_{\phi }=l_{\phi }\,}$

которая является z -компонентой углового момента. Квантовое условие требует, чтобы интеграл константы при изменении от 0 до был целым кратным h : ${\displaystyle l_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle l_{\phi }=m\hbar \,}$

А m называется магнитным квантовым числом , потому что z -компонента углового момента — это магнитный момент ротатора вдоль направления z в том случае, когда частица на конце ротатора заряжена.

Поскольку трехмерный ротатор вращается вокруг оси, полный угловой момент должен быть ограничен так же, как и двумерный ротатор. Два квантовых условия ограничивают полный угловой момент и z -компоненту углового момента целыми числами l , m . Это условие воспроизводится в современной квантовой механике, но в эпоху старой квантовой теории оно привело к парадоксу: как можно квантовать ориентацию момента импульса относительно произвольно выбранной оси z ? Кажется, это определяет направление в пространстве.

Это явление, квантование углового момента вокруг оси, получило название пространственного квантования , поскольку оно казалось несовместимым с вращательной инвариантностью. В современной квантовой механике угловой момент квантовается таким же образом, но дискретные состояния с определенным угловым моментом в любой одной ориентации представляют собой квантовые суперпозиции состояний в других ориентациях, так что процесс квантования не выбирает предпочтительную ось. По этой причине название «пространственное квантование» вышло из употребления, и то же явление теперь называют квантованием углового момента.

Атом водорода

Угловая часть атома водорода является ротатором и дает квантовые числа l и m . Единственная оставшаяся переменная — это радиальная координата, которая совершает периодическое одномерное потенциальное движение, которое можно решить.

Для фиксированного значения полного углового момента L гамильтониан классической задачи Кеплера имеет вид (единица массы и единица энергии, переопределенная для поглощения двух констант):

${\displaystyle H={p_{r}^{2} \over 2}+{l^{2} \over 2r^{2}}-{1 \over r}.}$

Зафиксировав энергию как (отрицательную) константу и найдя радиальный импульс , интеграл квантового состояния будет следующим: ${\displaystyle p_{r}}$

${\displaystyle \oint {\sqrt {2E-{l^{2} \over r^{2}}+{2 \over r}}}\ dr=kh}$

которое можно решить методом вычетов ^[12] и дает новое квантовое число , определяющее энергию в сочетании с . Энергия это: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle E=-{1 \over 2(k+l)^{2}}}$

и оно зависит только от суммы k и l , которая является главным квантовым числом n . Поскольку k положительное значение, допустимые значения l для любого заданного n не превышают n . Энергии воспроизводят энергии в модели Бора, за исключением правильных квантовомеханических кратностей и с некоторой двусмысленностью при крайних значениях.

Волны де Бройля

В 1905 году Эйнштейн заметил, что энтропия квантованных осцилляторов электромагнитного поля в ящике для коротких волн равна энтропии газа точечных частиц в том же ящике. Число точечных частиц равно числу квантов. Эйнштейн пришел к выводу, что с квантами можно обращаться так, как если бы они были локализуемыми объектами (см. ^[18], стр. 139/140), частицами света. Сегодня мы называем их фотонами (имя, придуманное Гилбертом Н. Льюисом в письме в журнал Nature . ^{[19] [20] [21]} ) .

Теоретический аргумент Эйнштейна был основан на термодинамике , на подсчете числа состояний, и поэтому не был полностью убедительным. Тем не менее, он пришел к выводу, что свет обладает свойствами как волны, так и частицы , точнее, что это стоячая электромагнитная волна с частотой и квантованной энергией: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle E=n\hbar \omega \,}$

следует считать состоящим из n фотонов, каждый с энергией . Эйнштейн не мог описать, как фотоны связаны с волной. ${\displaystyle \hbar \omega }$

Фотоны обладают как импульсом, так и энергией, а импульс должен был быть равен волновому числу электромагнитной волны. Этого требует теория относительности, потому что импульс и энергия образуют четырехвектор , как и частота и волновое число. ${\displaystyle \hbar k}$ ${\displaystyle k}$

В 1924 году Луи де Бройль , будучи докторантом, предложил новую интерпретацию квантового состояния. Он предположил, что вся материя, как электроны, так и фотоны, описываются волнами, подчиняющимися этим соотношениям.

${\displaystyle p=\hbar k}$

или, выражаясь через длину волны , ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle p={h \over \lambda }}$

Затем он отметил, что квантовое условие:

${\displaystyle \int p\,dx=\hbar \int k\,dx=2\pi \hbar n}$

подсчитывает изменение фазы волны при ее движении по классической орбите и требует, чтобы оно было целым числом, кратным . Выраженное в длинах волн количество длин волн на классической орбите должно быть целым числом. Это условие конструктивной интерференции, и оно объясняет причину квантованных орбит — волны материи создают стоячие волны только на дискретных частотах и ​​при дискретных энергиях. ${\displaystyle 2\pi }$

Например, для частицы, заключенной в ящик, стоячая волна должна соответствовать целому числу длин волн на удвоенном расстоянии между стенками. Условие становится:

${\displaystyle n\lambda =2L\,}$

так что квантованные импульсы равны:

${\displaystyle p={\frac {nh}{2L}}}$

воспроизводящие старые квантовые уровни энергии.

Более математическую форму этому развитию придал Эйнштейн, который отметил, что фазовую функцию волн в механической системе следует отождествлять с решением уравнения Гамильтона-Якоби , уравнения, которое даже Уильям Роуэн Гамильтон в 19 веке Считается, что это коротковолновый предел своего рода волновой механики. Затем Шрёдингер нашел правильное волновое уравнение, которое соответствует уравнению Гамильтона – Якоби для фазы. Это знаменитое уравнение , носящее его имя. ${\displaystyle \theta (J,x)}$

Матрица перехода Крамерса

Старая квантовая теория была сформулирована только для особых механических систем, которые можно было разделить на периодические переменные угла действия. Он не занимался испусканием и поглощением радиации. Тем не менее, Хендрик Крамерс смог найти эвристику, описывающую, как следует рассчитывать выбросы и поглощения.

Крамерс предположил, что орбиты квантовой системы следует анализировать по Фурье, разлагая на гармоники с частотой, кратной частоте орбиты:

${\displaystyle X_{n}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ik\omega t}X_{n;k}}$

Индекс n описывает квантовые числа орбиты, в модели Зоммерфельда это будет n – l – m . Частота — это угловая частота орбиты, а k — индекс моды Фурье. Бор предположил, что k -я гармоника классического движения соответствует переходу с уровня n на уровень n − k . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 2\pi /T_{n}}$

Крамерс предположил, что переход между состояниями аналогичен классическому излучению излучения, которое происходит на частотах, кратных орбитальным частотам. Скорость излучения излучения пропорциональна , как это было бы в классической механике. Описание было приблизительным, поскольку компоненты Фурье не имели частот, точно соответствующих энергетическим расстояниям между уровнями. ${\displaystyle |X_{k}|^{2}}$

Эта идея привела к развитию матричной механики.

Ограничения

Старая квантовая теория имела некоторые ограничения: ^[22]

• Старая квантовая теория не дает средств для расчета интенсивности спектральных линий.
• Он не может объяснить аномальный эффект Зеемана (то есть, когда нельзя пренебрегать спином электрона).
• Он не может квантовать «хаотические» системы, то есть динамические системы, в которых траектории не являются ни замкнутыми, ни периодическими и аналитическая форма которых не существует. Это представляет собой проблему для таких простых систем, как двухэлектронный атом, которая является классически хаотичной, аналогично знаменитой гравитационной задаче трех тел .

Однако его можно использовать для описания атомов с более чем одним электроном (например, гелия) и эффекта Зеемана. ^[23] Позже было высказано предположение, что старая квантовая теория на самом деле является полуклассическим приближением к канонической квантовой механике ^[24] , но ее ограничения все еще исследуются.

Смотрите также

• Модель Бора
• Модель Бора – Зоммерфельда

Рекомендации

1. Паис, Авраам (2005). Тонок Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна (иллюстрированное издание). ОУП Оксфорд. п. 28. ISBN 978-0-19-280672-7.Выдержка со страницы 28
2. тер Хаар, Д. (1967). Старая квантовая теория . Пергамон Пресс. стр. 206. ISBN. 978-0-08-012101-7.
3. Полуклассическое приближение. Энциклопедия математики . URL: https://www.encyclepediaofmath.org/index.php?title=Semi-classical_approximation
4. Сакураи, Наполитано (2014). «Квантовая динамика». Современная квантовая механика . Пирсон. ISBN 978-1-292-02410-3.
5. Краг, Хельге (1979). «Вторая атомная теория Нильса Бора». Исторические исследования в физических науках . 10 : 123–186. дои : 10.2307/27757389. JSTOR  27757389.
6. Кумар, Манджит. Квант: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности / Манджит Кумар.—1-е американское изд., 2008. Глава 7.
7. Томас Кун, Теория черного тела и квантовый разрыв, 1894–1912 (Чикаго: University of Chicago Press, 1978)
8. • Хаас, Артур Эрих (1910) «Über die elektrodynamische Bedeutung des Planck'schen Strahlungsgesetzes und über eine neue Bestimmung des elektrischen Elementarquantums und der Dimension des Wasserstoffatoms». Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене . Абт 2А, (119), стр. 119–144.
   • Haas AE Die Entwicklungsgeschichte des Satzes von der Erhaltung der Kraft . Докторская диссертация, Вена, 1909 г.
   • Герман, А. Артур Эрих Хаас, Der erste Quantenansatz für das Atom . Штутгарт, 1965 г. [содержит перепечатку].
9. • Николсон, JW (1911). «Спектр Небулия». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 72 : 49–64. дои : 10.1093/mnras/72.1.49 .
   • Николсон, JW (1911). «Конституция солнечной короны. I.: Протофтор». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 72 (2): 139–150. дои : 10.1093/mnras/72.2.139 .
   • Николсон, JW (1912). «Конституция солнечной короны. ИЛ». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 72 (8): 677–693. дои : 10.1093/mnras/72.8.677 .
   • Николсон, JW (1912). «На Новой туманной линии в 4353». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 72 (8): 693. doi : 10.1093/mnras/72.8.693 .
   • Николсон, JW (1912). «Конституция солнечной короны. III». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 72 (9): 729–740. дои : 10.1093/mnras/72.9.729 .
10. Маккормах, Рассел (1966). «Атомная теория Джона Уильяма Николсона». Архив истории точных наук . 3 (2): 160–184. дои : 10.1007/BF00357268. JSTOR  41133258. S2CID  120797894.
11. Бор, Н. (1913). «О строении атомов и молекул». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Ряд 6. 26 (151): 1–25. дои : 10.1080/14786441308634955.
12. Зоммерфельд, Арнольд (1919). Атомбау и спектральная линия. Брауншвейг: Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-87144-484-5.
13. Сборник статей Альберта Эйнштейна, том. 6, А. Энгель, пер., Princeton U. Press, Принстон, Нью-Джерси (1997), стр. 6. 434
14. Стоун, AD (август 2005 г.). «Неизвестное открытие Эйнштейна и проблема квантования хаоса» (PDF) . Физика сегодня . 58 (8): 37–43. Бибкод :2005ФТ....58ч..37С. дои : 10.1063/1.2062917.
15. Полинг, Лайнус ; Уилсон, Эдгар Брайт (2012). Введение в квантовую механику: с приложениями к химии . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 9780486134932. ОСЛК  830473042.
16. Уилсон, Уильям (1915). «LXXXIII. Квантовая теория излучения и линейчатые спектры». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 29 (174): 795–802. дои : 10.1080/14786440608635362.
17. Зоммерфельд, Арнольд (1916). «Квантовая теория спектральной линии». Аннален дер Физик . 356 (17): 1–94. Бибкод : 1916АнП...356....1С. дои : 10.1002/andp.19163561702. ISSN  0003-3804.
18. Эйнштейн, Альберт (1905). «Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt» [Об эвристической точке зрения на производство и преобразование света] (PDF) . Аннален дер Физик (на немецком языке). 17 (6): 132–148. Бибкод : 1905АнП...322..132Е. дои : 10.1002/andp.19053220607 . Проверено 18 февраля 2008 г.
19. «18 декабря 1926 года: Гилберт Льюис чеканит «фотон» в письме к природе» . www.aps.org . Проверено 9 марта 2019 г.
20. "Гилберт Н. Льюис". Фонд атомного наследия . Проверено 9 марта 2019 г.
21. Краг, Хельге (2014). «Фотон: новый свет на старое имя». arXiv : 1401.0293 [Physics.hist-ph].
22. Чадда, GS (2006). Квантовая механика. Нью-Дели: Международный Нью-Эйдж. стр. 8–9. ISBN 978-81-224-1465-3.
23. Соловьев, Е.А. (2011). «Классический подход в атомной физике». Европейский физический журнал Д. 65 (3): 331–351. arXiv : 1003.4387 . Бибкод : 2011EPJD...65..331S. doi : 10.1140/epjd/e2011-20261-6. S2CID  119204790.
24. Л.Д. Ландау , Э.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1.

дальнейшее чтение

• Тьюлис, Дж., изд. (1962). Энциклопедический словарь физики .
• Паис, Авраам (1982). «Статистическая интерпретация квантовой механики Максом Борном» (PDF) . Наука . 218 (4578): 1193–8. Бибкод : 1982Sci...218.1193P. дои : 10.1126/science.218.4578.1193. PMID  17802457. S2CID  34406257.Выступление на ежегодном собрании Оптического общества Америки 21 октября 1982 г. (Тусон, Аризона). Проверено 8 сентября 2013 г.
• Планк, Макс (1922). Зарождение и развитие квантовой теории. Перевод Зильберштейна Л.; Кларк, HT Оксфорд: Clarendon Press.