Расширение (геометрия)

Геометрическая операция над выпуклыми многогранниками

Пример расширения пятиугольника в десятиугольник путем перемещения ребер от центра и вставки новых ребер в промежутки. Расширение равномерно , если все ребра имеют одинаковую длину.

Анимация, демонстрирующая развернутый куб (и октаэдр )

В геометрии расширение — это операция многогранника , в которой грани разделяются и радиально раздвигаются , а новые грани образуются на разделенных элементах ( вершинах , ребрах и т. д.). Эквивалентно эту операцию можно представить, оставив грани в том же положении, но уменьшив их размер.

Расширение правильного выпуклого многогранника создает однородный выпуклый многогранник.

Для многогранников расширенный многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани двойственного многогранника и новые квадратные грани вместо исходных ребер.

Расширение правильных многогранников

По словам Коксетера , этот многомерный термин был определен Алисией Буль Стотт ^[1] для создания новых многогранников, в частности, начиная с правильных многогранников для построения новых однородных многогранников .

Операция расширения симметрична относительно правильного многогранника и его двойственного . Полученная фигура содержит грани как правильного, так и его двойственного многогранника, а также различные призматические грани, заполняющие промежутки, созданные между промежуточными размерными элементами.

Он имеет несколько разные значения в зависимости от размерности . В конструкции Витхоффа расширение генерируется отражениями от первого и последнего зеркал. В более высоких размерностях расширения более низких размерностей могут быть записаны с нижним индексом, так что e ₂ то же самое, что и t _0,2 в любой размерности.

По размеру:

• Правильный многоугольник {p} расширяется до правильного 2n-угольника.
  • Операция идентична усечению для многоугольников, e{p} = e ₁ {p} = t _0,1 {p} = t{p} и имеет диаграмму Кокстера-Дынкина .
• Правильный {p,q} многогранник (3-политоп) расширяется в многогранник с вершинной фигурой p.4.q.4 .
  • Эта операция для многогранников также называется кантелляцией , e{p,q} = e ₂ {p,q} = t _0,2 {p,q} = rr{p,q}, и имеет диаграмму Кокстера.

    

    Например, ромбокубооктаэдр можно назвать расширенным кубом , расширенным октаэдром , а также скошенным кубом или скошенным октаэдром .

• Правильный {p,q,r} 4-мерный многогранник (4-мерный многогранник) расширяется в новый 4-мерный многогранник с исходными ячейками {p,q}, новыми ячейками {r,q} вместо старых вершин, p-угольными призмами вместо старых граней и r-угольными призмами вместо старых ребер.
  • Эта операция для 4-многогранников также называется операцией запуска , e{p,q,r} = e ₃ {p,q,r} = t _0,3 {p,q,r}, и имеет диаграмму Коксетера.
• Аналогично правильный 5-мерный многогранник {p,q,r,s} расширяется в новый 5-мерный многогранник с гранями {p,q,r}, {s,r,q}, призмами {p,q}×{ } , призмами {s,r}×{ } и дуопризмами {p} × {s} .
  • Эта операция называется стерификацией , e{p,q,r,s} = e ₄ {p,q,r,s} = t _0,4 {p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} и имеет диаграмму Кокстера.

Общий оператор для расширения правильного n-многогранника — t _{0,n-1 {p,q,r,...}. Новые правильные грани добавляются в каждую вершину, а новые призматические многогранники добавляются в каждое разделенное ребро, грань, ...} гребень и т. д .

Смотрите также

• Обозначение многогранника Конвея

Примечания

1. Коксетер, Правильные многогранники (1973), стр. 123. стр.210

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Расширение». MathWorld .
• Коксетер, HSM , Правильные многогранники . 3-е издание, Дувр, (1973) ISBN 0-486-61480-8 . 
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.