Каменное пространство

Тип топологического пространства

В топологии и смежных областях математики пространство Стоуна , также известное как проконечное пространство ^[1] или проконечное множество , представляет собой компактное хаусдорфово полностью несвязное пространство. ^[2] Пространства Стоуна названы в честь Маршалла Харви Стоуна , который ввел и изучал их в 1930-х годах в ходе своего исследования булевых алгебр , что привело к его теореме о представлении для булевых алгебр .

Эквивалентные условия

Следующие условия на топологическое пространство эквивалентны: ^{[2] [1]} ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$это каменное пространство;
• ${\displaystyle X}$гомеоморфно проективному пределу (в категории топологических пространств ) обратной системы конечных дискретных пространств ;
• ${\displaystyle X}$компактен и полностью отделен ;
• ${\displaystyle X}$компактно, T 0 и нульмерно (в смысле малой индуктивной размерности );
• ${\displaystyle X}$является когерентным и Хаусдорфовым.

Примеры

Важные примеры пространств Стоуна включают конечные дискретные пространства , множество Кантора и пространство -адических целых чисел , где — любое простое число . Обобщая эти примеры, любое произведение произвольного числа конечных дискретных пространств является пространством Стоуна, а топологическое пространство, лежащее в основе любой проконечной группы, является пространством Стоуна. Компактификация Стоуна–Чеха натуральных чисел с дискретной топологией или, по сути, любого дискретного пространства является пространством Стоуна. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр

Каждой булевой алгебре можно сопоставить пространство Стоуна следующим образом: элементами являются ультрафильтры на и топология на называется ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle S(B),}$топология Стоуна , генерируется множествами видагде ${\displaystyle \{F\in S(B):b\in F\},}$ ${\displaystyle b\in B.}$

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна булевой алгебре открыто- замкнутых множеств пространства Стоуна ; и, более того, каждое пространство Стоуна гомеоморфно пространству Стоуна, принадлежащему булевой алгебре открыто-замкнутых множеств Эти назначения функториальны , и мы получаем теоретико-категорную двойственность между категорией булевых алгебр (с гомоморфизмами в качестве морфизмов) и категорией пространств Стоуна (с непрерывными отображениями в качестве морфизмов). ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема Стоуна породила ряд подобных дуальностей, которые теперь известны под общим названием дуальностей Стоуна .

Сжатая математика

Категория пространств Стоуна с непрерывными отображениями эквивалентна про -категории категории конечных множеств , что объясняет термин «проконечные множества». Проконечные множества лежат в основе проекта конденсированной математики , целью которого является замена топологических пространств «конденсированными множествами», где топологическое пространство X заменяется функтором , который переводит проконечное множество S в множество непрерывных отображений из S в X. ^[3 ]

Смотрите также

• Компактификация Стоуна–Чеха#Строительство с использованием ультрафильтров  – Концепция в топологии
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Тип (теория моделей)  – Понятие в теории моделей

Ссылки

1. Каменное пространство в n Lab
2. "Каменное пространство", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
3. Шольце, Питер (05.12.2020). «Жидкий тензорный эксперимент». Зена .

Дальнейшее чтение

• Джонстон, Питер (1982). Stone Spaces. Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.