Стратифицированная выборка

Выборка из популяции, которую можно разделить на субпопуляции.

В статистике стратифицированная выборка представляет собой метод выборки из совокупности , которую можно разделить на подгруппы .

Пример стратифицированной выборки

В статистических обследованиях , когда субпопуляции внутри общей совокупности различаются, может быть выгодно выбирать каждую субпопуляцию ( страту ) независимо.

Стратификация – это процесс разделения членов совокупности на однородные подгруппы перед выборкой. Страты должны определять часть населения. То есть оно должно быть коллективно исчерпывающим и взаимоисключающим : каждый элемент совокупности должен быть отнесен к одному и только одному слою. Затем производится выборка в каждой страте, например: методом простой случайной выборки . Цель состоит в том, чтобы повысить точность выборки за счет уменьшения ошибки выборки . Он может дать средневзвешенное значение , которое имеет меньшую изменчивость, чем среднее арифметическое простой случайной выборки населения.

В вычислительной статистике стратифицированная выборка — это метод уменьшения дисперсии , когда методы Монте-Карло используются для оценки статистики населения на основе известной совокупности. ^[1]

Пример

Предположим, что нам нужно оценить среднее количество голосов за каждого кандидата на выборах. Предположим, что в стране есть 3 города: в городе А работает 1 миллион фабричных рабочих, в городе Б — 2 миллиона офисных работников, а в городе С — 3 миллиона пенсионеров. Мы можем выбрать случайную выборку размером 60 человек по всему населению, но есть некоторая вероятность того, что полученная случайная выборка будет плохо сбалансирована по этим городам и, следовательно, будет необъективной, что приведет к значительной ошибке в оценке (когда интересующий результат имеет различное распределение по интересующему параметру между городами). Вместо этого, если мы решим взять случайную выборку из 10, 20 и 30 человек из городов A, B и C соответственно, тогда мы сможем получить меньшую ошибку в оценке для того же общего размера выборки. Этот метод обычно используется, когда популяция не является однородной группой.

Стратегии стратифицированной выборки

1. При пропорциональном распределении в каждой страте используется доля выборки , пропорциональная общей численности населения. Например, если популяция состоит из n особей, m из которых мужчины и f женщин (и где m + f = n ), то относительный размер двух выборок ( x ₁ = m / n мужчин, x ₂ = б / н самки) должны отражать эту пропорцию.
2. Оптимальное распределение (или непропорциональное распределение ). Доля выборки каждой страты пропорциональна как пропорции (как указано выше), так и стандартному отклонению распределения переменной. Более крупные выборки отбираются в стратах с наибольшей изменчивостью, чтобы обеспечить минимально возможную общую дисперсию выборки.

Реальным примером использования стратифицированной выборки может служить политический опрос . Если респондентам необходимо отразить разнообразие населения, исследователь специально постарается включить представителей различных групп меньшинств, таких как раса или религия, на основе их пропорциональности к общей численности населения, как упоминалось выше. Таким образом, стратифицированное обследование может считаться более репрезентативным для населения, чем обследование простой случайной выборки или систематической выборки . Как среднее значение, так и дисперсию можно скорректировать с учетом непропорциональных затрат на выборку, используя стратифицированные размеры выборки .

Преимущества

Причины использования стратифицированной выборки вместо простой случайной выборки включают ^[2]

1. Если измерения внутри слоев имеют более низкое стандартное отклонение (по сравнению с общим стандартным отклонением в совокупности), стратификация дает меньшую ошибку в оценке.
2. Для многих приложений измерения становятся более управляемыми и/или более дешевыми, когда совокупность группируется в слои.
3. Когда желательно иметь оценки параметров совокупности для групп внутри совокупности, стратифицированная выборка подтверждает, что у нас достаточно выборок из интересующих слоев.

Если плотность населения сильно различается в пределах региона, стратифицированная выборка обеспечит возможность получения оценок с одинаковой точностью в разных частях региона и сравнение субрегионов с одинаковой статистической достоверностью . Например, в Онтарио при обследовании, проводимом по всей провинции, может использоваться более крупная доля выборки на менее населенном севере, поскольку неравенство в населении между севером и югом настолько велико, что доля выборки, основанная на выборке по провинции в целом, может привести к сбор лишь небольшого количества данных с севера.

Недостатки

Было бы неправильным применением этого метода делать размеры выборки подгрупп пропорциональными объему данных, доступных от подгрупп, вместо того, чтобы масштабировать размеры выборки до размеров подгрупп (или их дисперсий, если известно, что они значительно различаются, например, с помощью F-критерия ). ). Данные, представляющие каждую подгруппу, считаются одинаково важными, если предполагаемые различия между ними требуют стратифицированной выборки. Если дисперсии подгрупп значительно различаются и данные необходимо стратифицировать по дисперсии, невозможно одновременно сделать размер выборки каждой подгруппы пропорциональным размеру подгруппы в общей совокупности. Об эффективном способе распределения ресурсов выборки между группами, которые различаются по своим средствам, дисперсии и затратам, см. «Оптимальное распределение» . Проблема стратифицированной выборки в случае неизвестных априорных значений класса (соотношение субпопуляций во всей совокупности) может оказать пагубное влияние на эффективность любого анализа набора данных, например, классификации. ^[3] В связи с этим можно использовать минимаксный коэффициент выборки, чтобы сделать набор данных устойчивым к неопределенности в базовом процессе генерации данных. ^[3]

Объединение подслоев для обеспечения адекватного количества может привести к парадоксу Симпсона , когда тенденции, существующие в разных группах данных, исчезают или даже меняют направление при объединении групп.

Средняя и стандартная ошибка

Среднее значение и дисперсия стратифицированной случайной выборки определяются по формуле: ^[2]

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{h=1}^{L}N_{h}{\bar {x}}_{h}}$

${\displaystyle s_{\bar {x}}^{2}=\sum _{h=1}^{L}\left({\frac {N_{h}}{N}}\right)^{2}\left({\frac {N_{h}-n_{h}}{N_{h}-1}}\right){\frac {s_{h}^{2}}{n_{h}}}}$

где

${\displaystyle L={}}$количество слоев

${\displaystyle N={}}$сумма всех размеров страты

${\displaystyle N_{h}={}}$размер слоя ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\bar {x}}_{h}={}}$выборочное среднее значение слоя ${\displaystyle h}$

${\displaystyle n_{h}={}}$количество наблюдений в страте ${\displaystyle h}$

${\displaystyle s_{h}={}}$выборочное стандартное отклонение страты ${\displaystyle h}$

Обратите внимание, что член , равный , представляет собой конечную поправку на совокупность и должен быть выражен в «единицах выборки». Вышеизложенная поправка на конечную численность дает: ${\displaystyle (N_{h}-n_{h})/(N_{h}-1)}$ ${\displaystyle 1-{\frac {n_{h}-1}{N_{h}-1}}}$ ${\displaystyle N_{h}}$

${\displaystyle s_{\bar {x}}^{2}=\sum _{h=1}^{L}\left({\frac {N_{h}}{N}}\right)^{2}{\frac {s_{h}^{2}}{n_{h}}}}$

где – вес населения слоя . ${\displaystyle w_{h}=N_{h}/N}$ ${\displaystyle h}$

Распределение размера выборки

При использовании стратегии пропорционального распределения размер выборки в каждой страте определяется пропорционально размеру страты. Предположим, что в компании имеется следующий персонал: ^[4]

• мужской, полная занятость: 90
• мужчины, неполная занятость: 18
• женщины, полная занятость: 9
• женщины, неполная занятость: 63
• всего: 180

и нас просят взять выборку из 40 сотрудников, стратифицированных по вышеуказанным категориям.

Первым шагом является вычисление процентной доли каждой группы от общей суммы.

• % мужчин, полный рабочий день = 90 ÷ 180 = 50%
• % мужчин, неполный рабочий день = 18 ÷ 180 = 10%
• % женщин, полная занятость = 9 ÷ 180 = 5%
• % женщин, неполный рабочий день = 63 ÷ 180 = 35%

Это говорит нам о том, что из нашей выборки из 40 человек

• 50% (20 человек) должны быть мужчинами, работающими полный рабочий день.
• 10% (4 человека) должны быть мужчины, работающие неполный рабочий день.
• 5% (2 человека) должны быть женщинами, работающими полный рабочий день.
• 35% (14 человек) должны быть женщины, работающие неполный рабочий день.

Еще один простой способ без необходимости рассчитывать процент — это умножить размер каждой группы на размер выборки и разделить на общую численность населения (численность всего персонала):

• мужской, очная = 90 × (40 ÷ 180) = 20
• мужской, неполный рабочий день = 18 × (40 ÷ 180) = 4
• женщины, очная = 9 × (40 ÷ 180) = 2
• женщины, неполный рабочий день = 63 × (40 ÷ 180) = 14

Смотрите также

• Математический портал

• Опрос общественного мнения
• Многоступенчатый отбор проб
• Статистический бенчмаркинг
• Размер стратифицированной выборки
• Стратификация (клинические исследования)

Рекомендации

1. Ботев, З.; Риддер, А. (2017). «Уменьшение дисперсии». Wiley StatsRef: Интернет-справочник по статистике : 1–6. дои : 10.1002/9781118445112.stat07975. ISBN 9781118445112.
2. «6.1 Как использовать стратифицированную выборку | STAT 506». onlinecourses.science.psu.edu . Проверено 23 июля 2015 г.
3. Шахрох Исфахани, Мохаммед; Догерти, Эдвард Р. (2014). «Влияние раздельной выборки на точность классификации». Биоинформатика . 30 (2): 242–250. doi : 10.1093/биоинформатика/btt662 . ПМИД  24257187.
4. Хант, Невилл; Тиррелл, Сидни (2001). «Стратифицированная выборка». Веб-страница Университета Ковентри . Архивировано из оригинала 13 октября 2013 года . Проверено 12 июля 2012 г.

дальнейшее чтение

• Сярндал, Карл-Эрик; и другие. (2003). «Стратифицированная выборка». Выборка опроса с помощью модели . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 100–109. ISBN 0-387-40620-4.