Джет (математика)

В математике струя — это операция, которая берет дифференцируемую функцию f и производит полином , усеченный полином Тейлора функции f , в каждой точке ее области определения. Хотя это определение струи, теория струй рассматривает эти полиномы как абстрактные полиномы, а не полиномиальные функции.

В этой статье сначала исследуется понятие струи действительной функции от одной действительной переменной, а затем обсуждаются обобщения на несколько действительных переменных. Затем дается строгое построение струй и пространств струй между евклидовыми пространствами . Завершается статья описанием струй между многообразиями и тем, как эти струи могут быть построены внутренне. В этом более общем контексте она суммирует некоторые приложения струй к дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений .

Струи функций между евклидовыми пространствами

Прежде чем дать строгое определение струи, полезно рассмотреть некоторые особые случаи.

Одномерный случай

Предположим, что — вещественная функция, имеющая не менее k  + 1 производных в окрестности U точки . Тогда по теореме Тейлора, ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}}$

где

${\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.}$

Тогда k -струя функции f в точке определяется как полином ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}.}$

Струи обычно рассматриваются как абстрактные многочлены от переменной z , а не как фактические полиномиальные функции от этой переменной. Другими словами, z является неопределенной переменной, позволяющей выполнять различные алгебраические операции между струями. Фактически, это базовая точка , из которой струи выводят свою функциональную зависимость. Таким образом, изменяя базовую точку, струя дает многочлен порядка не более k в каждой точке. Это отмечает важное концептуальное различие между струями и усеченными рядами Тейлора : обычно ряд Тейлора рассматривается как функционально зависящий от своей переменной, а не от своей базовой точки. Струи, с другой стороны, разделяют алгебраические свойства рядов Тейлора и их функциональные свойства. Мы рассмотрим причины и применение этого разделения далее в статье. ${\displaystyle x_{0}}$

Отображения из одного евклидова пространства в другое

Предположим, что — функция из одного евклидова пространства в другое, имеющая не менее ( k  + 1) производных. В этом случае теорема Тейлора утверждает, что ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}}$

Тогда k - струя f определяется как многочлен

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot z^{\otimes k}}$

в , где . ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]}$ ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})}$

Алгебраические свойства струй

Существуют две основные алгебраические структуры, которые могут переносить струи. Первая — это структура произведения, хотя в конечном итоге она оказывается менее важной. Вторая — это структура композиции струй.

Если — пара вещественных функций, то мы можем определить произведение их струй через ${\displaystyle f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g).}$

Здесь мы опустили неопределенность z , поскольку подразумевается, что струи являются формальными многочленами. Это произведение является просто произведением обычных многочленов по z , по модулю . Другими словами, это умножение в кольце , где — идеал , порожденный многочленами, однородными порядка ≥  k  + 1. ${\displaystyle z^{k+1}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}$ ${\displaystyle (z^{k+1})}$

Теперь перейдем к составу струй. Чтобы избежать ненужных технических подробностей, рассмотрим струи функций, которые отображают начало координат в начало координат. Если и при f (0) = 0 и g (0) = 0, то . Состав струй определяется как Легко проверить, используя цепное правило , что это составляет ассоциативную некоммутативную операцию на пространстве струй в начале координат. ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ ${\displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).}$

На самом деле композиция k -струй есть не что иное, как композиция многочленов по модулю идеала многочленов, однородных порядка . ${\displaystyle >k}$

Примеры:

• В одном измерении пусть и . Тогда ${\displaystyle f(x)=\log(1-x)}$ ${\displaystyle g(x)=\sin \,x}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Струи в точке евклидова пространства: строгие определения

Аналитическое определение

Следующее определение использует идеи математического анализа для определения струй и пространств струй. Его можно обобщить на гладкие функции между банаховыми пространствами , аналитические функции между действительными или комплексными областями , на p-адический анализ и на другие области анализа.

Пусть будет векторным пространством гладких функций . Пусть k будет неотрицательным целым числом, а p будет точкой . Мы определяем отношение эквивалентности на этом пространстве, объявляя, что две функции f и g эквивалентны до порядка k, если f и g имеют одинаковое значение в точке p , и все их частные производные совпадают в точке p вплоть до (и включая) их производных k -го порядка. Короче говоря, тогда и только тогда до k -го порядка. ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle f\sim g\,\!}$ ${\displaystyle f-g=0}$

Пространство струй k -го порядка в точке p определяется как множество классов эквивалентности и обозначается как . ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

Струя k -го порядка в точке p гладкой функции определяется как класс эквивалентности f в . ${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

Алгебро-геометрическое определение

Следующее определение использует идеи из алгебраической геометрии и коммутативной алгебры для установления понятия струи и пространства струй. Хотя это определение не особенно подходит для использования в алгебраической геометрии как таковой, поскольку оно относится к категории гладких, его можно легко адаптировать для таких целей.

Пусть будет векторным пространством ростков гладких функций в точке p в . Пусть будет идеалом, состоящим из ростков функций, которые исчезают в точке p . (Это максимальный идеал для локального кольца .) Тогда идеал состоит из всех ростков функций, которые исчезают до порядка k в точке p . Теперь мы можем определить пространство струй в точке p следующим образом: ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

Если — гладкая функция, то мы можем определить k -струю функции f в точке p как элемент, установив ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

${\displaystyle J_{p}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}}}$

Это более общая конструкция. Для -пространства пусть будет стеблем структурного пучка в , а пусть будет максимальным идеалом локального кольца . Пространство k-й струи в определяется как кольцо ( является произведением идеалов ). ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм векторных пространств между и . Таким образом, в евклидовом контексте струи обычно отождествляются со своими полиномиальными представителями при этом изоморфизме. ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z_{1},\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n})^{k+1}}$

Реактивные пространства из точки в точку

Мы определили пространство струй в точке . Подпространство этого пространства, состоящее из струй функций f таких, что f ( p ) =  q, обозначается как ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}$

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})\mid f(p)=q\right\}}$

Струи функций между двумя многообразиями

Если M и N — два гладких многообразия , как мы определяем струю функции ? Мы могли бы, возможно, попытаться определить такую ​​струю, используя локальные координаты на M и N. Недостатком этого является то, что струи, таким образом, не могут быть определены инвариантным образом. Струи не преобразуются как тензоры . Вместо этого струи функций между двумя многообразиями принадлежат расслоению струй . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

Струи функций с действительной прямой на многообразие

Предположим, что M — гладкое многообразие, содержащее точку p . Мы определим струи кривых, проходящих через p , под которыми в дальнейшем мы будем подразумевать гладкие функции, такие что f (0) =  p . Определим отношение эквивалентности следующим образом. Пусть f и g — пара кривых, проходящих через p . Тогда мы будем говорить, что f и g эквивалентны порядку k в точке p , если существует некоторая окрестность U точки p , такая что для любой гладкой функции , . Обратите внимание, что эти струи определены корректно, поскольку составные функции и являются просто отображениями из действительной прямой в себя. Это отношение эквивалентности иногда называют отношением контакта k -го порядка между кривыми в точке p . ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)}$ ${\displaystyle \varphi \circ f}$ ${\displaystyle \varphi \circ g}$

Теперь мы определяем k -струю кривой f через p как класс эквивалентности f относительно , ​​обозначаемый или . Пространство струй k -го порядка тогда является множеством k -струй в точке p . ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J^{k}\!f\,}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}f}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$

При изменении p по M образует расслоение над M : касательное расслоение k -го порядка , часто обозначаемое в литературе как T ^k M (хотя это обозначение иногда может приводить к путанице). В случае k = 1 касательное расслоение первого порядка является обычным касательным расслоением : T ¹ M  =  TM . ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$

Чтобы доказать, что T ^k M на самом деле является расслоением, полезно рассмотреть свойства в локальных координатах. Пусть ( x ⁱ )= ( x ¹ ,..., x ⁿ ) — локальная система координат для M в окрестности U точки p . Немного злоупотребляя обозначениями , мы можем рассматривать ( x ⁱ ) как локальный диффеоморфизм . ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$ ${\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

Утверждение. Две кривые f и g через p эквивалентны по модулю тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}$

Действительно, единственная часть if ясна, поскольку каждая из n функций x ¹ ,..., x ⁿ является гладкой функцией из M в . Поэтому по определению отношения эквивалентности две эквивалентные кривые должны иметь . ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)}$

Наоборот, предположим, что ; — гладкая вещественная функция на M в окрестности p . Поскольку каждая гладкая функция имеет локальное координатное выражение, мы можем выразить ; как функцию в координатах. В частности, если q — точка M вблизи p , то ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (q)=\psi (x^{1}(q),\dots ,x^{n}(q))}$

для некоторой гладкой действительной функции ψ от n действительных переменных. Следовательно, для двух кривых f и g через p имеем

${\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x^{1}\circ f,\dots ,x^{n}\circ f)}$

${\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x^{1}\circ g,\dots ,x^{n}\circ g)}$

Правило цепочки теперь устанавливает часть утверждения if . Например, если f и g являются функциями действительной переменной t , то

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\varphi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x^{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)}$

что равно тому же выражению при оценке относительно g вместо f , учитывая, что f (0)= g (0)=p, а f и g находятся в контакте k -го порядка в системе координат ( x ⁱ ).

Следовательно, мнимое расслоение T ^k M допускает локальную тривиализацию в каждой координатной окрестности. На этом этапе, чтобы доказать, что это мнимое расслоение на самом деле является расслоением, достаточно установить, что оно имеет невырожденные функции перехода при замене координат. Пусть — другая система координат, а — связанный с ней диффеоморфизм замены координат евклидова пространства на себя. С помощью аффинного преобразования , мы можем предположить без потери общности , что ρ(0)=0. При этом предположении достаточно доказать, что — обратимое преобразование при композиции струй. (См. также группы струй .) Но поскольку ρ — диффеоморфизм, — также гладкое отображение. Следовательно, ${\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}}$

${\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}$

что доказывает, что невырожденная. Более того, она гладкая, хотя мы не доказываем этот факт здесь. ${\displaystyle J_{0}^{k}\rho }$

Интуитивно это означает, что мы можем выразить струю кривой через p через ее ряд Тейлора в локальных координатах на M.

Примеры в местных координатах:

• Как было указано ранее, 1-струя кривой, проходящей через p, является касательным вектором. Касательный вектор в точке p является дифференциальным оператором первого порядка , действующим на гладкие действительные функции в точке p . В локальных координатах каждый касательный вектор имеет вид

${\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

При наличии такого касательного вектора v пусть f будет кривой, заданной в системе координат x ⁱ с помощью . Если φ — гладкая функция в окрестности p с φ ( p ) = 0, то ${\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}}$

${\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$

является гладкой действительной функцией одной переменной, 1-струя которой задается выражением

${\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}(p).}$

что доказывает, что можно естественным образом отождествить касательные векторы в точке с 1-струями кривых, проходящих через эту точку.

• Пространство 2-струй кривых, проходящих через точку.

В локальной системе координат x ⁱ с центром в точке p мы можем выразить полином Тейлора второго порядка кривой f ( t ) через p следующим образом:

${\displaystyle J_{0}^{2}(x^{i}(f))(t)=t{\frac {dx^{i}(f)}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}(f)}{dt^{2}}}(0).}$

Таким образом, в системе координат x 2-струя кривой, проходящей через p , отождествляется со списком действительных чисел . Как и в случае с касательными векторами (1-струями кривых) в точке, 2-струи кривых подчиняются закону преобразования при применении функций перехода координат. ${\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})}$

Пусть ( y ⁱ ) будет другой системой координат. По правилу цепочки,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}}$

Следовательно, закон преобразования определяется путем оценки этих двух выражений при t  = 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что закон преобразования для 2-струй имеет второй порядок по функциям перехода координат.

Струи функций из многообразия в многообразие

Теперь мы готовы определить струю функции из многообразия в многообразие.

Предположим, что M и N — два гладких многообразия. Пусть p — точка M . Рассмотрим пространство, состоящее из гладких отображений, определенных в некоторой окрестности p . Определим отношение эквивалентности на следующим образом. Два отображения f и g называются эквивалентными , если для каждой кривой γ, проходящей через p (напомним, что по нашим соглашениям это отображение такое, что ), мы имеем на некоторой окрестности 0 . ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}$

Пространство струй затем определяется как множество классов эквивалентности по модулю отношения эквивалентности . Обратите внимание, что поскольку целевое пространство N не обязательно должно обладать какой-либо алгебраической структурой, оно также не обязательно должно иметь такую ​​структуру. Это, по сути, резко контрастирует со случаем евклидовых пространств. ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$

Если — гладкая функция, определенная вблизи p , то мы определяем k -струю функции f в точке p , как класс эквивалентности функции f по модулю . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}f}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$

Мультиджеты

Джон Мазер ввел понятие мультиджета . Грубо говоря, мультиджет — это конечный список струй над различными базовыми точками. Мазер доказал теорему трансверсальности мультиджета , которую он использовал в своем исследовании устойчивых отображений.

Струи секций

Предположим, что E — конечномерное гладкое векторное расслоение над многообразием M с проекцией . Тогда сечения E — гладкие функции, такие что — тождественный автоморфизм M . Струя сечения s над окрестностью точки p — это просто струя этой гладкой функции из M в E в точке p . ${\displaystyle \pi :E\rightarrow M}$ ${\displaystyle s:M\rightarrow E}$ ${\displaystyle \pi \circ s}$

Пространство струй сечений в точке p обозначается как . Хотя это обозначение может привести к путанице с более общими пространствами струй функций между двумя многообразиями, контекст обычно устраняет любую такую ​​двусмысленность. ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$

В отличие от струй функций из одного многообразия в другое многообразие, пространство струй сечений в точке p несет структуру векторного пространства, унаследованную от структуры векторного пространства на самих сечениях. Когда p изменяется по M , пространства струй образуют векторное расслоение над M , расслоение струй k - го порядка E , обозначаемое J ^k ( E ). ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$

• Пример: струйное расслоение первого порядка касательного расслоения.

Мы работаем в локальных координатах в точке и используем обозначения Эйнштейна . Рассмотрим векторное поле

${\displaystyle v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}}$

в окрестности p в M. 1-струя v получается путем взятия полинома Тейлора первого порядка коэффициентов векторного поля:

${\displaystyle J_{0}^{1}v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}.}$

В координатах x 1-струя в точке может быть идентифицирована со списком действительных чисел . Точно так же, как касательный вектор в точке может быть идентифицирован со списком ( v ⁱ ), при условии соблюдения определенного закона преобразования при переходах координат, мы должны знать, как список изменяется при переходе. ${\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$ ${\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$

Итак, рассмотрим закон преобразования при переходе в другую систему координат y ⁱ . Пусть w ^k — коэффициенты векторного поля v в координатах y . Тогда в координатах y 1-струя v — это новый список действительных чисел . Поскольку ${\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i})}$

${\displaystyle v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},}$

следует, что

${\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).}$

Так

${\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)}$

Расширяя ряд Тейлора, имеем

${\displaystyle w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}}$

${\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.}$

Обратите внимание, что закон преобразования имеет второй порядок по функциям перехода координат.

Дифференциальные операторы между векторными расслоениями

Смотрите также

• Группа реактивных самолетов
• Струйный пучок
• Лагранжева система

Ссылки

• Красильщик, И.С., Виноградов, А.М., [и др.], Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики , Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1999, ISBN  0-8218-0958-X .
• Коларж, И., Михор, П., Словак, Й., Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин-Гейдельберг, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .  
• Сондерс, Дж.Дж., Геометрия реактивных пучков , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7 
• Олвер, П. Дж. , Эквивалентность, инварианты и симметрия , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1 
• Сарданашвили, Г. , Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков: расслоения волокон, многообразия струй и теория Лагранжа , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv :0908.1886