stringtranslate.com

Структура Уэйра–Фелана

В геометрии структура Уайра –Фелана — это трехмерная структура, представляющая собой идеализированную пену из пузырьков одинакового размера с двумя различными формами. В 1993 году Денис Уайр и Роберт Фелан обнаружили, что эта структура является лучшим решением проблемы Кельвина заполнения пространства ячейками одинакового объема с минимальной площадью поверхности, чем предыдущее наиболее известное решение — структура Кельвина. [1]

История и проблема Кельвина

Усеченные кубические соты — выпуклые соты, ячейки которых в виде усеченных октаэдров слегка деформированы, образуя структуру Кельвина.

В двух измерениях подразделение плоскости на ячейки равной площади с минимальным средним периметром задается гексагональной мозаикой , но хотя первое упоминание этой гипотезы о сотах восходит к древнеримскому ученому Марку Теренцию Варрону (116-27 до н. э.), она не была доказана до работы Томаса К. Хейлза в 1999 году. [2] В 1887 году лорд Кельвин задал соответствующий вопрос для трехмерного пространства: как можно разбить пространство на ячейки равного объема с наименьшей площадью поверхности между ними? Или, короче говоря, какая пена мыльного пузыря была наиболее эффективной ? [3] С тех пор эта задача называется задачей Кельвина.

Кельвин предложил пену, названную структурой Кельвина . Его пена основана на битусеченных кубических сотах , выпуклых однородных сотах, образованных усеченным октаэдром , заполняющим пространство выпуклым многогранником с 6 квадратными гранями и 8 шестиугольными гранями. Однако эти соты не удовлетворяют законам Плато , сформулированным Джозефом Плато в 19 веке, согласно которым минимальные поверхности пены встречаются под углами на своих ребрах, причем эти ребра встречаются друг с другом в наборах по четыре с углами . Углы многогранной структуры различны; например, ее ребра встречаются под углами на квадратных гранях или на шестиугольных гранях. Поэтому предложенная Кельвином структура использует криволинейные ребра и слегка искривленные минимальные поверхности для своих граней, подчиняясь законам Плато и уменьшая площадь структуры на 0,2% по сравнению с соответствующей многогранной структурой. [1] [3]

Хотя Кельвин не утверждал это явно как гипотезу, [4] идея о том, что пена битусеченных кубических сот является наиболее эффективной пеной и решает проблему Кельвина, стала известна как гипотеза Кельвина . Она была широко распространена, и на протяжении более 100 лет не было известно ни одного контрпримера. Наконец, в 1993 году физик Тринити-колледжа в Дублине Денис Вейр и его студент Роберт Фелан открыли структуру Вейра–Фелана с помощью компьютерного моделирования пены и показали, что она более эффективна, опровергнув гипотезу Кельвина. [1]

С момента открытия структуры Уэйра–Фелана были найдены другие контрпримеры к гипотезе Кельвина, но структура Уэйра–Фелана продолжает иметь наименьшую известную площадь поверхности на ячейку из этих контрпримеров. [5] [6] [7] Хотя численные эксперименты показывают, что структура Уэйра–Фелана оптимальна, это остается недоказанным. [8] В целом, было очень трудно доказать оптимальность структур, включающих минимальные поверхности . Минимальность сферы как поверхности, охватывающей один объем, не была доказана до 19 века, а следующая простейшая такая проблема, гипотеза двойного пузыря о охватывании двух объемов, оставалась открытой более 100 лет, пока не была доказана в 2002 году. [9]

Описание

Структура Уэйра-Фелана отличается от структуры Кельвина тем, что использует два вида ячеек, хотя они имеют равный объем. Как и ячейки в структуре Кельвина, эти ячейки комбинаторно эквивалентны выпуклым многогранникам . Одна из них — пиритоэдр , неправильный додекаэдр с пятиугольными гранями, обладающий тетраэдрической симметрией ( T h ). Вторая — форма усеченного шестиугольного трапецоэдра , разновидность тетракаидекаэдра с двумя шестиугольными и двенадцатью пятиугольными гранями, в этом случае обладающая только двумя зеркальными плоскостями и симметрией роторного отражения . Как и шестиугольники в структуре Кельвина, пятиугольники в обоих типах ячеек слегка изогнуты. Площадь поверхности структуры Уэйра-Фелана на 0,3% меньше, чем у структуры Кельвина. [1]

Tetrastix , моделирующий цепочки ячеек тетракаидекаэдров лицом к лицу в структуре Уайера-Фелана

Ячейки тетракаидекаэдра, соединенные в цепочки ячеек лицом к лицу вдоль их шестиугольных граней, образуют цепочки в трех перпендикулярных направлениях. Комбинаторно эквивалентная структура структуры Уэйра–Фелана может быть создана как мозаика пространства единичными кубами, выстроенными лицом к лицу в бесконечные квадратные призмы таким же образом, чтобы сформировать структуру взаимосвязанных призм, называемую тетрастикс . Эти призмы окружают кубические пустоты, которые образуют одну четвертую ячеек кубической мозаики; оставшиеся три четверти ячеек заполняют призмы, смещенные на половину единицы от целочисленной сетки, выровненной со стенками призмы. Аналогично, в самой структуре Уэйра–Фелана, которая имеет те же симметрии, что и структура тетрастикс, 1/4 ячеек являются додекаэдрами, а 3/4 — тетракидекаэдрами. [10]

Многогранные соты , связанные со структурой Уэйра–Фелана (полученные путем уплощения граней и выпрямления ребер), также свободно называются структурой Уэйра–Фелана. Они были известны задолго до открытия структуры Уэйра–Фелана, но их применение к проблеме Кельвина было упущено из виду. [11]

Приложения

В физических системах

Крупный план формы, используемой для выращивания упорядоченных жидких пен.

Эксперименты показали, что при благоприятных граничных условиях пузырьки одинакового объема спонтанно самоорганизуются в структуру Уэйра-Фелана. [12] [13]

Связанные полиэдрические соты встречаются в двух связанных геометриях кристаллической структуры в химии . Когда компоненты кристалла лежат в центрах полиэдров, он образует одну из фаз Франка-Каспера , фазу A15 . [14]

Если компоненты кристалла лежат в углах многогранников, это известно как « клатратная структура типа I». Газовые гидраты, образованные метаном, пропаном и углекислым газом при низких температурах, имеют структуру, в которой молекулы воды лежат в узлах структуры Уэйра–Фелана и связаны водородными связями , а более крупные молекулы газа заключены в многогранных клетках. [11] Некоторые гидриды щелочных металлов, силициды и германиды также образуют эту структуру с кремнием или германием в узлах и щелочными металлами в клетках. [1] [15] [16]

В архитектуре

Пекинский национальный центр водных видов спорта

Конструкция Уэйра-Фелана послужила источником вдохновения для Тристрама Карфрэ при проектировании Пекинского национального центра водных видов спорта «Водный куб» для летних Олимпийских игр 2008 года . [17]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcde Weaire, D. ; Phelan, R. (1994), "Контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях", Phil. Mag. Lett. , 69 (2): 107–110, Bibcode :1994PMagL..69..107W, doi :10.1080/09500839408241577.
  2. ^ Хейлз, TC (2001), «Гипотеза о сотах», Дискретная и вычислительная геометрия , 25 (1): 1–22, doi : 10.1007/s004540010071 , hdl : 2027.42/42423 , MR  1797293
  3. ^ ab Лорд Кельвин (сэр Уильям Томсон) (1887), «О разделении пространства с минимальной площадью раздела» (PDF) , Philosophical Magazine , 24 (151): 503, doi :10.1080/14786448708628135, архивировано из оригинала (PDF) 2021-11-26 , извлечено 2012-06-15.
  4. ^ Уайр и Фелан (1994) пишут, что это «подразумевалось, а не прямо утверждалось в оригинальных работах Кельвина».
  5. ^ Салливан, Джон М. (1999), «Геометрия пузырьков и пен», Пены и эмульсии (Cargèse, 1997) , NATO Advanced Science Institutes Series E: Applied Sciences, т. 354, Kluwer, стр. 379–402, MR  1688327
  6. ↑ Gabbrielli, Ruggero (1 августа 2009 г.), «Новый контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Philosophical Magazine Letters , 89 (8): 483–491, Bibcode : 2009PMagL..89..483G, doi : 10.1080/09500830903022651, ISSN  0950-0839, S2CID  137653272
  7. ↑ Фрейбергер, Марианна (24 сентября 2009 г.), «Пузырь Кельвина снова лопнул», Plus Magazine , Кембриджский университет , получено 4 июля 2017 г.
  8. ^ Уде, Эдуард (2011), «Аппроксимация разбиений наименьшего периметра с помощью Γ-сходимости: вокруг гипотезы Кельвина», Experimental Mathematics , 20 (3): 260–270, doi :10.1080/10586458.2011.565233, MR  2836251, S2CID  2945749
  9. ^ Морган, Фрэнк (2009), «Глава 14. Доказательство гипотезы о двойном пузыре», Геометрическая теория меры: руководство для начинающих (4-е изд.), Academic Press.
  10. ^ Конвей, Джон Х.; Берджил, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008), «Понимание ирландских пузырей», Симметрии вещей , Уэллсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 351, ISBN 978-1-56881-220-5, МР  2410150
  11. ^ ab Pauling, Linus (1960), Природа химической связи (3-е изд.), Cornell University Press, стр. 471
  12. ^ Gabbrielli, R.; Meagher, AJ; Weaire, D.; Brakke, KA; Hutzler, S. (2012), "Экспериментальная реализация структуры Weaire-Phelan в монодисперсной жидкой пене" (PDF) , Phil. Mag. Lett. , 92 (1): 1–6, Bibcode :2012PMagL..92....1G, doi :10.1080/09500839.2011.645898, S2CID  25427974.
  13. ^ Болл, Филип (2011), «Ученые создают «идеальную» пену: Теоретическая низкоэнергетическая пена, созданная в реальности», Nature , doi :10.1038/nature.2011.9504, S2CID  136626668.
  14. ^ Франк, ФК; Каспер, Дж. С. (1958), «Сложные структуры сплавов, рассматриваемые как упаковки сфер. I. Определения и основные принципы» (PDF) , Acta Crystallogr. , 11 (3): 184–190, doi : 10.1107/s0365110x58000487. Франк, ФК; Каспер, Дж. С. (1959), «Сложные структуры сплавов, рассматриваемые как упаковки сфер. II. Анализ и классификация представительных структур», Acta Crystallogr. , 12 (7): 483–499, doi : 10.1107/s0365110x59001499.
  15. ^ Каспер, Дж. С.; Хагенмюллер, П.; Паучард, М.; Крос, К. (декабрь 1965 г.), «Клатратная структура кремния Na 8 Si 46 и Na x Si 136 (x <11)», Science , 150 (3704): 1713–1714, Бибкод : 1965Sci...150.1713K, doi : 10.1126/science.150.3704.1713, PMID  17768869, S2CID  21291705
  16. ^ Крос, Кристиан; Пушар, Мишель; Хагенмюллер, Пол (декабрь 1970 г.), «Sur une nouvelle famille de clathrates minéraux изотипы гидратов газа и жидкостей, интерпретация полученных результатов», Journal of Solid State Chemistry , 2 (4): 570–581, Bibcode : 1970JSSCh. ..2..570C, doi :10.1016/0022-4596(70)90053-8
  17. ↑ Фонтан, Генри (5 августа 2008 г.), «Проблема пузырей обрамляет олимпийский дизайн», New York Times

Внешние ссылки