Ступенчатая функция

Линейная комбинация индикаторных функций реальных интервалов

В математике функция от действительных чисел называется ступенчатой ​​функцией , если ее можно записать в виде конечной линейной комбинации индикаторных функций интервалов . Неформально говоря, ступенчатая функция — это кусочно- постоянная функция , имеющая лишь конечное число частей.

Пример ступенчатой ​​функции (красный график). В этой функции каждая постоянная подфункция со значением функции α _i ( i = 0, 1, 2, ...) определяется интервалом A _i , а интервалы выделяются точками x _j ( j = 1, 2, .. .). Эта конкретная ступенчатая функция непрерывна справа .

Определение и первые последствия

Функция называется ступенчатой ​​функцией , если ^ее можно ^{записать как} ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$, для всех действительных чисел ${\displaystyle x}$

где , – действительные числа, – интервалы, – индикаторная функция : ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{A}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}}$

В этом определении можно предположить, что интервалы обладают следующими двумя свойствами: ${\displaystyle A_{i}}$

1. Интервалы попарно не пересекаются : для ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$
2. Объединение интервалов — это вся вещественная линия: ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

Действительно, если изначально это не так, можно выбрать другой набор интервалов, для которых эти предположения выполняются. Например, ступенчатая функция

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

можно записать как

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

Варианты определения

Иногда интервалы должны открываться вправо ^[1] или быть одноэлементными. ^[2] Условие, что набор интервалов должен быть конечным, часто отбрасывается, особенно в школьной математике, ^{[3] [4] [5]} , хотя он все равно должен быть локально конечным , что приводит к определению кусочно-постоянных функций.

Примеры

Ступенчатая функция Хевисайда — часто используемая ступенчатая функция.

• Постоянная функция — это тривиальный пример ступенчатой ​​функции. Тогда существует только один интервал, ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• Знаковая функция sn( x ) , равная −1 для отрицательных чисел и +1 для положительных чисел, является простейшей непостоянной ступенчатой ​​функцией.
• Функция Хевисайда H ( x ) , равная 0 для отрицательных чисел и 1 для положительных чисел, эквивалентна знаковой функции с точностью до сдвига и масштаба диапазона ( ). Это математическая концепция, лежащая в основе некоторых тестовых сигналов , например тех, которые используются для определения переходной характеристики динамической системы . ${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$

Прямоугольная функция , следующая простейшая ступенчатая функция.

• Прямоугольная функция , нормализованная коробчатая функция , используется для моделирования единичного импульса.

Непримеры

• Функция целой части не является ступенчатой ​​функцией согласно определению этой статьи, поскольку она имеет бесконечное количество интервалов. Однако некоторые авторы ^[6] определяют также ступенчатые функции с бесконечным числом интервалов. ^[6]

Характеристики

• Сумма и произведение двух ступенчатых функций снова является ступенчатой ​​функцией. Произведение ступенчатой ​​функции на число также является ступенчатой ​​функцией. Таким образом, ступенчатые функции образуют алгебру над действительными числами.
• Ступенчатая функция принимает только конечное число значений. Если интервалы для в приведенном выше определении ступенчатой ​​функции не пересекаются и их объединение представляет собой действительную линию, то для всех ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ ${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• Определенный интеграл ступенчатой ​​функции является кусочно-линейной функцией .
• Интеграл Лебега от ступенчатой ​​функции равен где – длина интервала , и здесь предполагается, что все интервалы имеют конечную длину. Фактически это равенство (рассматриваемое как определение) может стать первым шагом в построении интеграла Лебега. ^[7] ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$ ${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$ ${\displaystyle \ell (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$
• Дискретную случайную величину иногда определяют как случайную величину , кумулятивная функция распределения которой является кусочно-постоянной. ^[8] В данном случае это локально ступенчатая функция (в глобальном масштабе она может иметь бесконечное количество шагов). Однако обычно любая случайная величина, имеющая только счетное множество возможных значений, называется дискретной случайной величиной, в этом случае их кумулятивная функция распределения не обязательно локально является ступенчатой ​​функцией, поскольку в конечной области может накапливаться бесконечное количество интервалов.

Смотрите также

• Функция Кренеля
• Кусочно
• Сигмовидная функция
• Простая функция
• Обнаружение шагов
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Кусочно-постоянная оценка

Рекомендации

1. «Шаговая функция».
2. «Шаговые функции — Matonline» .
3. «Математические слова: ступенчатая функция» .
4. https://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html ^{[ пустой URL-адрес ]}
5. «Шаговая функция».
6. Бахман, Наричи, Бекенштейн (5 апреля 2002 г.). «Пример 7.2.2». Фурье и вейвлет-анализ . Спрингер, Нью-Йорк, 2000. ISBN. 0-387-98899-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Вейр, Алан Дж (10 мая 1973 г.). «3». Интегрирование и мера Лебега . Издательство Кембриджского университета, 1973. ISBN. 0-521-09751-7.
8. Берцекас, Дмитрий П. (2002). Введение в вероятность . Цициклис, Джон Н. , Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Бельмонт, Массачусетс: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC  51441829.