В исчислении первообразная , обратная производная , примитивная функция , примитивный интеграл или неопределенный интеграл [ Примечание 1] функции f — это дифференцируемая функция F , производная которой равна исходной функции f . Это можно выразить символически как F' = f . [1] [2] Процесс решения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием ), а его противоположная операция называется дифференцированием , которое представляет собой процесс нахождения производной. Первообразные часто обозначаются заглавными латинскими буквами, такими как F и G.
Функция является первообразной , так как производная равна . А поскольку производная константы равна нулю , будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как и т. д. Таким образом, все первообразные можно получить, изменяя значение c в , где c — произвольная константа, известная как константа интеграции . По сути, графики первообразных данной функции представляют собой вертикальный сдвиг друг друга, при этом вертикальное положение каждого графика зависит от значения c .
В более общем смысле, степенная функция имеет первообразную , если n ≠ −1 и n = −1 .
В физике интегрирование ускорения дает скорость плюс константу. Константа — это начальный член скорости, который будет потерян при взятии производной скорости, поскольку производная постоянного члена равна нулю. Тот же самый шаблон применим к дальнейшему интегрированию и производным движения (положение, скорость, ускорение и т. д.). [3] Таким образом, интегрирование дает соотношения ускорения, скорости и перемещения :
По этой причине каждую из бесконечного множества первообразных данной функции f можно назвать «неопределенным интегралом» от f и записать с использованием символа интеграла без границ:
Если F является первообразной f и функция f определена на некотором интервале, то любая другая первообразная G от f отличается от F на константу: существует число c такое, что для всех x . c называется константой интегрирования . Если область определения F представляет собой непересекающееся объединение двух или более (открытых) интервалов, то для каждого из интервалов можно выбрать другую константу интегрирования. Например
является наиболее общей первообразной в своей естественной области
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную, и одна первообразная F задается определенным интегралом от f с переменной верхней границей:
Найти первообразные элементарных функций зачастую значительно сложнее, чем найти их производные (действительно, не существует заранее определенного метода вычисления неопределенных интегралов). [4] Для некоторых элементарных функций невозможно найти первообразную через другие элементарные функции. Чтобы узнать больше, см. элементарные функции и неэлементарный интеграл .
Существует множество свойств и методов поиска первообразных. К ним относятся, среди прочего:
Линейность интегрирования (разбивающая сложные интегралы на более простые)
Интегрирование обратной функции (формула, которая выражает первообразную обратной f −1 обратимой и непрерывной функции f через первообразную f и f −1 ).
Численное интегрирование (метод аппроксимации определенного интеграла, когда элементарной первообразной не существует, как в случае exp(− x 2 ) )
Алгебраические манипуляции с подынтегральной функцией (чтобы можно было использовать другие методы интегрирования, такие как интегрирование путем замены)
Системы компьютерной алгебры можно использовать для автоматизации некоторых или всей работы, связанной с описанными выше символьными методами, что особенно полезно, когда задействованные алгебраические манипуляции очень сложны или длительны. Интегралы, которые уже были получены, можно найти в таблице интегралов .
О ненепрерывных функциях
Ненепрерывные функции могут иметь первообразные. Хотя в этой области все еще остаются открытые вопросы, известно, что:
Тем не менее некоторые крайне патологические функции с большим набором разрывов могут иметь первообразные.
В некоторых случаях первообразные таких патологических функций могут быть найдены путем интегрирования по Риману , тогда как в других случаях эти функции не интегрируемы по Риману.
Предполагая, что области определения функций представляют собой открытые интервалы:
Необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы функция f имела первообразную, является то, что f обладает свойством промежуточного значения . То есть, если [ a , b ] — подинтервал области определения f , а y — любое действительное число между f ( a ) и f ( b ) , то существует c между a и b такое , что f ( c ) = й . Это следствие теоремы Дарбу .
Множество разрывов функции f должно быть скудным . Это множество также должно быть F-сигма- множеством (так как множество разрывов любой функции должно быть именно такого типа). Более того, для любого скудного множества F-сигм можно построить некоторую функцию f, имеющую первообразную, имеющую данное множество в качестве множества разрывов.
Если f имеет первообразную, ограничена на замкнутых конечных подинтервалах области и имеет множество разрывов меры Лебега 0, то первообразную можно найти интегрированием в смысле Лебега. Фактически, используя более мощные интегралы, такие как интеграл Хенстока-Курцвейла , каждая функция, для которой существует первообразная, интегрируема, и ее общий интеграл совпадает с ее первообразной.
Если f имеет первообразную F на замкнутом интервале , то для любого выбора разбиения, если выбрать точки выборки , как указано в теореме о среднем значении , то соответствующая сумма Римана телескопируется до значения .
Однако если f неограничено или если f ограничено, но множество разрывов f имеет положительную меру Лебега, другой выбор точек выборки может дать существенно другое значение суммы Римана, независимо от того, насколько точное разбиение. См. пример 4 ниже.
Некоторые примеры
Функция
с не является непрерывным, но имеет первообразную
с . Поскольку f ограничена на замкнутых конечных интервалах и разрывна только в точке 0, первообразную F можно получить интегрированием: .
Функция
с не является непрерывным, но имеет первообразную
с . В отличие от примера 1, f ( x ) не ограничена в любом интервале, содержащем 0, поэтому интеграл Римана не определен.
Если f ( x ) — функция из примера 1, а F — ее первообразная и плотное счетное подмножество открытого интервала, то функция
имеет первообразную
Множество разрывов g есть в точности множество . Поскольку g ограничена на замкнутых конечных интервалах и множество разрывов имеет меру 0, первообразную G можно найти интегрированием.
для всех значений x , где ряд сходится, и что график F ( x ) имеет вертикальные касательные линии при всех других значениях x . В частности, график имеет вертикальные касательные во всех точках множества .
Более того, для всех x , где определена производная. Отсюда следует, что обратная функция всюду дифференцируема и что
для всех x в множестве , плотном в интервале. Таким образом, g имеет первообразную G . С другой стороны, не может быть правдой, что
поскольку для любого раздела можно выбрать точки выборки для суммы Римана из набора , придав сумме значение 0. Отсюда следует, что g имеет множество разрывов положительной меры Лебега. На рисунке 1 справа показано приближение графика g ( x ) , где и ряд усечен до 8 членов. На рисунке 2 показан график аппроксимации первообразной G ( x ) , также усеченный до 8 членов. С другой стороны, если интеграл Римана заменить интегралом Лебега , то лемма Фату или теорема о доминируемой сходимости показывает, что g действительно удовлетворяет фундаментальной теореме исчисления в этом контексте.
В примерах 3 и 4 множества разрывов функции g плотны только на конечном открытом интервале. Однако эти примеры можно легко модифицировать, чтобы иметь множества разрывов, плотные на всей вещественной прямой . Позволять
Тогда имеет плотное множество разрывов и первообразную
Используя тот же метод, что и в примере 5, можно изменить g в примере 4 так, чтобы он обращался в нуль во всех рациональных числах . Если использовать наивную версию интеграла Римана , определенного как предел левых или правых сумм Римана по регулярным разбиениям, можно получить, что интеграл такой функции g на интервале равен 0, когда a и b оба равны рациональное, а не . Таким образом, фундаментальная теорема исчисления потерпит сокрушительный крах.
Функция, имеющая первообразную, все равно может оказаться неинтегрируемой по Риману. Примером может служить производная функции Вольтерра .
^ Первообразные также называют общими интегралами , а иногда и интегралами . Последний термин является общим и относится не только к неопределенным интегралам (первообразным), но и к определенным интегралам . Когда слово « интеграл» используется без дополнительных уточнений, читатель должен сделать вывод из контекста, относится ли оно к определенному или неопределенному интегралу. Некоторые авторы определяют неопределенный интеграл функции как совокупность ее бесконечного числа возможных первообразных. Другие определяют его как произвольно выбранный элемент этого множества. В данной статье применяется последний подход. В английских учебниках по математике A-Level можно встретить термин « полный примитив» — L. Bostock and S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ; Решение дифференциального уравнения, включающее произвольную константу, называется общим решением (или иногда полным примитивом) .