Понижение дискретизации (обработка сигнала)

Метод повторной выборки

В цифровой обработке сигналов понижающая дискретизация , сжатие и прореживание — это термины , связанные с процессом повторной дискретизации в многоскоростной системе цифровой обработки сигналов. И понижающая дискретизация , и децимация могут быть синонимами сжатия или же могут описывать весь процесс уменьшения полосы пропускания ( фильтрации ) и уменьшения частоты дискретизации. ^{[1] [2]} Когда процесс выполняется над последовательностью выборок сигнала или непрерывной функции, он создает аппроксимацию последовательности, которая была бы получена путем выборки сигнала с более низкой скоростью (или плотностью , как в случай с фотографией).

Децимация — это термин, который исторически означает удаление каждого десятого . ^[a] Но при обработке сигналов децимация в 10 раз фактически означает сохранение только каждой десятой выборки. Этот коэффициент умножает интервал выборки или, что то же самое, делит частоту выборки. Например, если звук компакт-диска со скоростью 44 100 выборок в секунду прореживается в 5/4 раза, результирующая частота дискретизации составит 35 280. Компонент системы, выполняющий децимацию, называется дециматором . Децимация на целочисленный коэффициент также называется сжатием . ^{[3] [4]}

Понижение дискретизации целочисленным коэффициентом

Снижение скорости на целочисленный коэффициент M можно объяснить как двухэтапный процесс с более эффективной эквивалентной реализацией: ^[5]

1. Уменьшите высокочастотные компоненты сигнала с помощью цифрового фильтра нижних частот .
2. Уменьшите отфильтрованный сигнал на M ; то есть сохранять только каждый M- ^й образец.

Шаг 2 сам по себе создает нежелательное наложение спектров (т. е. высокочастотные компоненты сигнала будут копироваться в полосу более низких частот и быть ошибочно приняты за более низкие частоты). Шаг 1, когда необходимо, подавляет псевдонимы до приемлемого уровня. В этом приложении фильтр называется фильтром сглаживания , а его конструкция обсуждается ниже. Также см. недостаточную выборку для получения информации о функциях и сигналах прореживания полосы пропускания .

Если фильтр сглаживания представляет собой БИХ - схему, он полагается на обратную связь от выхода ко входу до второго шага. С помощью КИХ-фильтрации легко вычислить только каждый M- ^й выходной сигнал. Расчет, выполняемый прореживающим КИХ-фильтром для n- ^й выходной выборки, представляет собой скалярное произведение : ^[b]

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}$

где последовательность h [•] — это импульсная характеристика, а K — ее длина.  x [•] представляет входную последовательность, подлежащую субдискретизации. В процессоре общего назначения после вычисления y [ n ] самый простой способ вычислить y [ n +1] — это переместить начальный индекс в массиве x [•] на M и пересчитать скалярное произведение. В случае M =2 h [•] можно спроектировать как полуполосный фильтр , где почти половина коэффициентов равна нулю и не требует включения в скалярное произведение.

Коэффициенты импульсной характеристики, взятые с интервалом M , образуют подпоследовательность, причем существует M таких подпоследовательностей (фаз), мультиплексированных вместе. Скалярное произведение представляет собой сумму скалярных произведений каждой подпоследовательности с соответствующими выборками последовательности x [•]. Более того, из-за понижающей дискретизации с помощью M поток выборок x [•], участвующих в любом из скалярных произведений M , никогда не участвует в других скалярных произведениях. Таким образом, каждый из M КИХ-фильтров низкого порядка фильтрует одну из M мультиплексированных фаз входного потока, а M выходных сигналов суммируются. Эта точка зрения предлагает другую реализацию, которая может быть выгодна в многопроцессорной архитектуре. Другими словами, входной поток демультиплексируется и отправляется через банк из M фильтров, выходные данные которых суммируются. При такой реализации он называется многофазным фильтром.

Для полноты картины упомянем теперь, что возможная, но маловероятная реализация каждой фазы — это замена коэффициентов остальных фаз нулями в копии массива h [•], обработка исходной последовательности x [•] на входе скорость (что означает умножение на нули) и уменьшите выходной результат в M раз . Эквивалентность этого неэффективного метода и описанной выше реализации известна как первое тождество Нобла . ^{[6] [c]} Иногда используется при выводе многофазного метода.

Рис. 1. На этих графиках изображены спектральные распределения функции с передискретизацией и той же функции, дискретизированной с частотой 1/3 исходной частоты. Полоса пропускания B в этом примере достаточно мала, чтобы более медленная выборка не вызывала перекрытия (алиасинга). Иногда выборочная функция повторно дискретизируется с меньшей частотой, сохраняя только каждую M ^-ю выборку и отбрасывая остальные, что обычно называется «прореживанием». Потенциальное наложение спектров предотвращается за счет низкочастотной фильтрации выборок перед децимацией. Максимальная полоса пропускания фильтра указана в таблице в единицах полосы пропускания, используемых в общих приложениях проектирования фильтров.

Сглаживающий фильтр

Пусть X ( f ) будет преобразованием Фурье любой функции x ( t ), выборки которой на некотором интервале T равны последовательности x [ n ]. Тогда преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) представляет собой представление ряда Фурье периодического суммирования X ( f ): ^[d]

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.}$

Когда T имеет единицы секунды, имеет единицы герцы . Замена T на MT в приведенных выше формулах дает DTFT прореженной последовательности x [ nM ]: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).}$

Периодическое суммирование уменьшено по амплитуде и периодичности в M раз . Пример обоих этих распределений изображен на двух кривых на рис. 1. ^{[e] [f]} Псевдонимы возникают, когда соседние копии X ( f ) перекрываются. Целью фильтра сглаживания является обеспечение того, чтобы уменьшенная периодичность не создавала перекрытия. Условие, которое гарантирует , что копии X ( f ) не перекрывают друг друга, таково: такова максимальная частота среза идеального фильтра сглаживания. ^[А] ${\displaystyle B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},}$

По рациональному фактору

Обозначим через M/L коэффициент децимации ^[B] , где: M, L ∈ ; М > Л. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1. Увеличьте (пересэмплируйте) последовательность фактором L . Это называется повышающей дискретизацией или интерполяцией .
2. Уменьшить в M раз

Шаг 1 требует использования фильтра нижних частот после увеличения ( расширения ) скорости передачи данных, а шаг 2 требует использования фильтра нижних частот перед децимацией. Следовательно, обе операции могут быть выполнены с помощью одного фильтра с меньшей из двух частот среза. Для случая M  >  L срез сглаживающего фильтра,  циклов на промежуточную выборку , представляет собой более низкую частоту. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{M}}}$

Смотрите также

• Повышение дискретизации
• Постеризация
• Преобразование частоты дискретизации
• Псевдонимы
• Алгоритм Висвалингама – Уятта

Примечания

1. Реализуемые фильтры нижних частот имеют «юбку», в которой отклик уменьшается от почти единицы до почти нуля. На практике частота среза располагается достаточно далеко ниже теоретической границы среза, так что юбка фильтра находится ниже теоретической границы среза.
2. Общие методы преобразования частоты дискретизации по коэффициенту R ∈ включают полиномиальную интерполяцию и структуру Фэрроу. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Цитаты страниц

1. f.harris 2004. «6.1». стр 128.
2. Крошер и Рабинер «2». стр. 32. уравнение 2.55a.
3. f.harris 2004. «2.2.1». стр 25.
4. Оппенгейм и Шафер. «4,2». стр. 143. уравнение 4.6, где :     и   ${\displaystyle \Omega \triangleq 2\pi f,}$  ${\displaystyle X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},}$ ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
5. f.harris 2004. «2.2». стр 22. рис 2.10.
6. Оппенгейм и Шафер. «4,6». стр. 171. рис 4.22.

Рекомендации

1. Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В.; Бак, Джон Р. (1999). «4». Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 168. ИСБН 0-13-754920-2.
2. Тан, Ли (21 апреля 2008 г.). «Повышение и понижение разрешения». eetimes.com . ЭЭ Таймс . Проверено 10 апреля 2017 г. Процесс уменьшения частоты дискретизации на целочисленный коэффициент называется понижающей дискретизацией последовательности данных. Мы также называем понижение дискретизации децимацией . Термин «прореживание» , используемый для процесса понижения дискретизации, был принят и используется во многих учебниках и областях.
3. Крошер, RE; Рабинер, Л.Р. (1983). «2». Многоскоростная цифровая обработка сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 32. ISBN 0136051626.
4. Пуларикас, Александр Д. (сентябрь 1998 г.). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (1-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 42–48. ISBN 0849385792.
5. Харрис, Фредерик Дж. (24 мая 2004 г.). «2,2». Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: PTR Prentice Hall. стр. 20–21. ISBN 0131465112. Процесс понижающей выборки можно представить как двухэтапную последовательность действий. Процесс начинается с входной последовательности x(n), которая обрабатывается фильтром h(n) для получения выходной последовательности y(n) с уменьшенной полосой пропускания. Затем частота дискретизации выходной последовательности уменьшается с отношением Q к 1 до скорости, соизмеримой с уменьшенной полосой пропускания сигнала. В действительности процессы уменьшения полосы пропускания и уменьшения частоты дискретизации объединены в один процесс, называемый многоскоростным фильтром.
6. Стрэнг, Гилберт; Нгуен, Труонг (1 октября 1996 г.). Вейвлеты и банки фильтров (2-е изд.). Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. стр. 100–101. ISBN 0961408871. Ни один здравомыслящий инженер этого не сделает.
7. Милич, Лиляна (2009). Многоскоростная фильтрация для цифровой обработки сигналов . Нью-Йорк: Херши. п. 192. ИСБН 978-1-60566-178-0. В общем, этот подход применим, когда отношение Fy/Fx является рациональным или иррациональным числом, и подходит для увеличения частоты дискретизации и для уменьшения частоты дискретизации.

дальнейшее чтение

• Проакис, Джон Г. (2000). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Индия: Прентис-Холл. ISBN 8120311299.
• Лайонс, Ричард (2001). Понимание цифровой обработки сигналов . Прентис Холл. п. 304. ИСБН 0-201-63467-8. Уменьшение частоты дискретизации называется децимацией.
• Антониу, Андреас (2006). Цифровая обработка сигналов . МакГроу-Хилл. п. 830. ИСБН 0-07-145424-1. Дециматоры можно использовать для уменьшения частоты дискретизации, тогда как интерполяторы можно использовать для ее увеличения.
• Милич, Лиляна (2009). Многоскоростная фильтрация для цифровой обработки сигналов . Нью-Йорк: Херши. п. 35. ISBN 978-1-60566-178-0. Системы преобразования частоты дискретизации используются для изменения частоты дискретизации сигнала. Процесс уменьшения частоты дискретизации называется децимацией, а процесс увеличения частоты дискретизации — интерполяцией.
• Т. Шильхер. Радиочастотные приложения в цифровой обработке сигналов // «Цифровая обработка сигналов». Материалы Ускорительной школы ЦЕРН, Сигтуна, Швеция, 31 мая – 9 июня 2007 г. – Женева, Швейцария: ЦЕРН (2008). - С. 258. - DOI: 10.5170/CERN-2008-003. [1]
• Слюсарь И.И., Слюсарь В.И., Волошко С.В., Смоляр В.Г. Оптический доступ нового поколения на основе N-OFDM с децимацией.// Третья международная научно-практическая конференция «Проблемы инфокоммуникаций. Наука и технологии (PIC S&T'2016)». – Харьков. - 3–6 октября 2016 г. [2]
• Саска Линдфорс, Аарно Парсинен, Кари А.И. Халонен. 3-В 230-МГц КМОП-подсэмплер с децимацией.// Транзакции IEEE в схемах и системах – Vol. 52, № 2, февраль 2005. – С. 110.