Подведение итогов по Чезаро

Модифицированный метод суммирования, применимый к некоторым расходящимся рядам

В математическом анализе суммирование Чезаро (также известное как среднее Чезаро ^{[1] [2]} или предел Чезаро ^[3] ) присваивает значения некоторым бесконечным суммам , которые не обязательно сходятся в обычном смысле. Сумма Чезаро определяется как предел, когда n стремится к бесконечности, последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда.

Этот частный случай метода суммирования матриц назван в честь итальянского аналитика Эрнесто Чезаро (1859–1906).

Термин «суммирование» может вводить в заблуждение, поскольку некоторые утверждения и доказательства относительно суммирования Чезаро можно считать подразумевающими мошенничество Эйленберга–Мазура . Например, его обычно применяют к ряду Гранди с выводом, что сумма этого ряда равна 1/2.

Определение

Пусть будет последовательность , и пусть ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

будет его k-й частичной суммой .

Последовательность ( a _n ) называется суммируемой по Чезаро , с суммой Чезаро A ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , если при стремлении n к бесконечности среднее арифметическое ее первых n частичных сумм s ₁ , s ₂ , ..., s _n стремится к A :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}$

Значение полученного предела называется суммой Чезаро ряда. Если этот ряд сходится, то он суммируем по Чезаро и его сумма Чезаро является обычной суммой. ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Примеры

Первый пример

Пусть a _n = (−1) ⁿ для n ≥ 0. То есть, есть ли последовательность ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,-1,1,-1,\ldots ).}$

Пусть G обозначает ряд

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots }$

Серия G известна как серия Гранди .

Обозначим последовательность частичных сумм G : ${\displaystyle (s_{k})_{k=0}^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0,\ldots ).\end{aligned}}}$

Эта последовательность частичных сумм не сходится, поэтому ряд G расходится. Однако G суммируем по Чезаро. Пусть — последовательность средних арифметических первых n частичных сумм: ${\displaystyle (t_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n})&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right).\end{aligned}}}$

Затем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,}$

и, следовательно, сумма Чезаро ряда G равна 1/2 .

Второй пример

В качестве другого примера, пусть a _n = n для n ≥ 1. То есть, является ли последовательность ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,2,3,4,\ldots ).}$

Пусть теперь G обозначает ряд

${\displaystyle G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots }$

Тогда последовательность частичных сумм имеет вид ${\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,3,6,10,\ldots ).}$

Поскольку последовательность частичных сумм растет неограниченно, ряд G расходится до бесконечности. Последовательность ( t _n ) средних значений частичных сумм ряда G равна

${\displaystyle \left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}},\ldots \right).}$

Эта последовательность также расходится к бесконечности, поэтому G не является суммируемой по Чезаро. Фактически, для ряда любой последовательности, которая расходится к (положительной или отрицательной) бесконечности, метод Чезаро также приводит к ряду последовательности, которая расходится аналогичным образом, и, следовательно, такой ряд не является суммируемой по Чезаро.

(С, α )суммирование

В 1890 году Эрнесто Чезаро сформулировал более широкое семейство методов суммирования, которые с тех пор называются (C, α ) для неотрицательных целых чисел α . Метод (C, 0) — это просто обычное суммирование, а (C, 1) — суммирование Чезаро, описанное выше.

Методы более высокого порядка можно описать следующим образом: для заданного ряда Σ a _n определить величины

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}$

(где верхние индексы не обозначают показатели степени) и определяют E^α
_нбыть А^α
_ндля ряда 1 + 0 + 0 + 0 + ... . Тогда (C, α ) сумма Σ a _n обозначается через (C, α )-Σ a _n и имеет значение

${\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

если он существует (Shawyer & Watson 1994, стр. 16-17). Это описание представляет собой α -кратное итеративное применение метода первоначального суммирования и может быть переформулировано как

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\left(n-j+1\right)_{\alpha }}{\left(n+1\right)_{\alpha }}}a_{j}{\text{.}}\end{aligned}}}$

Еще более обще, для α ∈ \ ⁻ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , пусть A^α
_нбыть неявно задана коэффициентами ряда

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}$

и Э^α
_нкак указано выше. В частности, E^α
_нявляются биномиальными коэффициентами степени −1 − α . Тогда сумма (C, α ) Σ a _n определяется, как указано выше.

Если Σ a _n имеет сумму (C, α ) , то она также имеет сумму (C, β ) для каждого β > α , и суммы согласуются; более того, мы имеем a _n = o ( n ^α ), если α > −1 (см. обозначение little -o ).

Суммируемость интеграла по Чезаро

Пусть α ≥ 0. Интеграл (C, α ) суммируем , если ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}$

существует и конечен (Titchmarsh 1948, §1.15). Значение этого предела, если он существует, есть (C, α ) сумма интеграла. Аналогично случаю суммы ряда, если α = 0 , результатом является сходимость несобственного интеграла . В случае α = 1 , (C, 1) сходимость эквивалентна существованию предела

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx}$

что является пределом средних значений частных интегралов.

Как и в случае с рядами, если интеграл (C, α ) суммируем для некоторого значения α ≥ 0 , то он также (C, β ) суммируем для всех β > α , и значение полученного предела будет тем же самым.

Смотрите также

• суммирование Абеля
• Формула суммирования Абеля
• Формула Абеля–Плана
• Абелевы и тауберовы теоремы
• Почти сходящаяся последовательность
• суммирование Бореля
• Расходящиеся ряды
• суммирование Эйлера
• Суммирование Эйлера–Буля
• Теорема Фейера
• суммирование по Гёльдеру
• суммирование Ламберта
• Формула Перрона
• Рамануджан суммирование
• Рисс среднее
• Теорема Сильвермана–Теплица
• Теорема Штольца–Чезаро
• Предельная теорема Коши
• Суммирование по частям

Ссылки

1. Харди, ГХ (1992). Расходящиеся ряды . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2649-2.
2. Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.
3. Хенк К. Теймс (2003). Первый курс по стохастическим моделям. John Wiley & Sons. стр. 439. ISBN 978-0-471-49880-3.

Библиография

• Шойер, Брюс; Уотсон, Брюс (1994), Методы суммирования Бореля: теория и приложения , Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
• Титчмарш, EC (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Chelsea Publishing. Переиздано в 1986 году с ISBN 978-0-8284-0324-5 . 
• Волков, II (2001) [1994], "Методы суммирования Чезаро", Энциклопедия математики , EMS Press
• Зигмунд, Антони (1988) [1968], Тригонометрические ряды (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9