Квадратичные отклонения от среднего значения

Расчеты в теории вероятностей

Квадратичные отклонения от среднего ( SDM ) являются результатом возведения отклонений в квадрат . В теории вероятностей и статистике определение дисперсии — это либо ожидаемое значение SDM (при рассмотрении теоретического распределения ), либо его среднее значение (для фактических экспериментальных данных). Вычисления для дисперсионного анализа включают разбиение суммы SDM.

Фон

Понимание используемых вычислений значительно улучшается благодаря изучению статистических значений.

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$, где — оператор ожидаемого значения. ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Для случайной величины со средним значением и дисперсией , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.}$^[1]

(Его вывод показан здесь .) Следовательно,

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+\mu ^{2}.}$

Из вышеизложенного можно сделать следующие выводы:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \left(X^{2}\right)\right)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2},}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\sum X\right)^{2}\right)=n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}.}$

Дисперсия выборки

Сумму квадратов отклонений, необходимую для расчета дисперсии выборки (до принятия решения о делении на n или n  − 1), проще всего вычислить следующим образом:

${\displaystyle S=\sum x^{2}-{\frac {\left(\sum x\right)^{2}}{n}}}$

Из двух полученных выше ожиданий ожидаемое значение этой суммы равно

${\displaystyle \operatorname {E} (S)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-{\frac {n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}}{n}}}$

что подразумевает

${\displaystyle \operatorname {E} (S)=(n-1)\sigma ^{2}.}$

Это фактически доказывает использование делителя n  − 1 при вычислении несмещенной выборочной оценки  σ ² .

Разделение — дисперсионный анализ

В ситуации, когда имеются данные для k различных групп лечения размером n _{i ,} где i варьируется от 1 до k , то предполагается, что ожидаемое среднее значение каждой группы равно

${\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}$

и дисперсия каждой группы лечения не отличается от дисперсии популяции . ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

При нулевой гипотезе о том, что лечение не оказывает никакого эффекта, каждый из показателей будет равен нулю. ${\displaystyle T_{i}}$

Теперь можно вычислить три суммы квадратов:

Индивидуальный

${\displaystyle I=\sum x^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (I)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

Процедуры

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}$

При нулевой гипотезе о том, что методы лечения не вызывают никаких различий и все равны нулю, ожидание упрощается до ${\displaystyle T_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.}$

Комбинация

${\displaystyle C=\left(\sum x\right)^{2}/n}$

${\displaystyle \operatorname {E} (C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

Суммы квадратов отклонений

При нулевой гипотезе разность любой пары I , T и C не содержит никакой зависимости от , а только от . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}}$общее квадратичное отклонение, также известное как общая сумма квадратов

${\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}}$квадратичные отклонения обработки, также известные как объяснимая сумма квадратов

${\displaystyle \operatorname {E} (I-T)=(n-k)\sigma ^{2}}$остаточные квадратичные отклонения, также известные как остаточная сумма квадратов

Константы ( n  − 1), ( k  − 1) и ( n  −  k ) обычно называют числом степеней свободы .

Пример

В очень простом примере из двух обработок получается 5 наблюдений. Первая обработка дает три значения 1, 2 и 3, а вторая обработка дает два значения 4 и 6.

${\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66}$

${\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62}$

${\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.2}$

Давать

Суммарные квадратичные отклонения = 66 − 51,2 = 14,8 с 4 степенями свободы.

Квадратичные отклонения обработки = 62 − 51,2 = 10,8 с 1 степенью свободы.

Остаточные квадратичные отклонения = 66 − 62 = 4 с 3 степенями свободы.

Двусторонний дисперсионный анализ

В статистике двухфакторный дисперсионный анализ (ANOVA) является расширением однофакторного ANOVA , который изучает влияние двух различных категориальных независимых переменных на одну непрерывную зависимую переменную . Двухфакторный ANOVA направлен не только на оценку основного эффекта каждой независимой переменной, но и на то, есть ли между ними какое-либо взаимодействие .

Смотрите также

• Абсолютное отклонение
• Алгоритмы расчета дисперсии
• Ошибки и остатки
• Наименьшие квадраты
• Среднеквадратическая ошибка
• Остаточная сумма квадратов
• Среднеквадратичное отклонение
• Разложение дисперсии

Ссылки

1. Mood & Graybill: Введение в теорию статистики (McGraw Hill)