Суммы трех кубов

Задача по теории чисел

Нерешенная задача по математике :

Существует ли число, которое не равно 4 или 5 по модулю 9 и которое не может быть выражено в виде суммы трех кубов?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Полулогарифмический график решений для целых , , и , и . Зеленые полосы обозначают значения , для которых доказано, что решение не существует. ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0\leq n\leq 100}$ ${\displaystyle n}$

В математике сумм степеней открытой проблемой является характеристика чисел, которые могут быть выражены как сумма трех кубов целых чисел, допускающая как положительные, так и отрицательные кубы в сумме. Необходимым условием для того, чтобы целое число равнялось такой сумме, является то, что оно не может быть равно 4 или 5 по модулю 9, потому что кубы по модулю 9 равны 0, 1 и −1, и никакие три из этих чисел не могут быть в сумме равны 4 или 5 по модулю 9. ^[1] Неизвестно, является ли это необходимое условие достаточным. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Вариации задачи включают суммы неотрицательных кубов и суммы рациональных кубов. Все целые числа имеют представление в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой натуральной плотностью .

Небольшие случаи

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трех кубов дало бы контрпример к Великой теореме Ферма для показателя три, так как один из трех кубов имел бы противоположный знак, как и два других, и его отрицание равнялось бы сумме двух других. Следовательно, согласно доказательству Леонарда Эйлера этого случая Великой теоремы Ферма ^[2] , существуют только тривиальные решения

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

Для представлений 1 и 2 существуют бесконечные семейства решений

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$ (открыт ^[3] К. Малером в 1936 году)

и

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}$(открыт ^[4] А.С. Веребрусовым в 1908 г., цитируется Л.Дж. Морделлом ^[5] ).

Их можно масштабировать, чтобы получить представления для любого куба или любого числа, которое является двойным кубом. ^[5] Существуют также другие известные представления числа 2, которые не даются этими бесконечными семействами: ^[6]

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы четвертыми полиномами , как указано выше. ^[5] Даже в случае представлений 3 Луис Дж. Морделл написал в 1953 году: «Я не знаю ничего» больше, чем его малые решения

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$

и тот факт, что каждое из трех кубических чисел должно быть равно по модулю 9. ^{[7] [8]}

Результаты вычислений

Начиная с 1955 года, и начиная с инициативы Морделла, многие авторы реализовали вычислительный поиск для этих представлений. ^{[9] [10] [6] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17]} Элзенханс и Джанель (2009) использовали метод Ноама Элкиса  (2000), включающий редукцию решетки , для поиска всех решений диофантова уравнения.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

для положительных не более 1000 и для , ^[16] оставляя только 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 и 975 как открытые проблемы в 2009 году для , и 192, 375 и 600 остаются без примитивных решений (т.е. ). После того, как Тимоти Браунинг осветил проблему на Numberphile в 2016 году, Хейсман (2016) расширил эти поиски до решения случая 74, с решением ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$ ${\displaystyle n\leq 1000}$ ${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$

${\displaystyle 74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^{3}+66\ 229\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 697\ 727^{3}.}$

В ходе этих поисков было обнаружено, что все числа, не равные 4 или 5 по модулю 9, имеют решение, за исключением максимум двух чисел: 33 и 42. ^[17] ${\displaystyle n<100}$

Однако в 2019 году Эндрю Букер урегулировал дело, обнаружив, что ${\displaystyle n=33}$

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}.}$

Чтобы добиться этого, Букер использовал альтернативную стратегию поиска, в которой время выполнения было пропорционально, а не их максимуму, ^[18] подход, первоначально предложенный Хит-Брауном и др. ^[19] Он также обнаружил, что ${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)}$

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3},}$

и установили, что не существует решений для или любых других нерешенных с . ${\displaystyle n=42}$ ${\displaystyle n\leq 1000}$ ${\displaystyle |z|\leq 10^{16}}$

Вскоре после этого, в сентябре 2019 года, Букер и Эндрю Сазерленд наконец урегулировали дело, используя 1,3 миллиона часов вычислений в глобальной сети Charity Engine, чтобы обнаружить, что ${\displaystyle n=42}$

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3},}$

а также решения для нескольких других ранее неизвестных случаев, включая и для . ^[20] ${\displaystyle n=165}$ ${\displaystyle 579}$ ${\displaystyle n\leq 1000}$

Букер и Сазерленд также нашли третье представление числа 3, используя еще 4 миллиона часов работы компьютера на Charity Engine:

${\displaystyle 3=569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}.}$^{[20] [21]}

Это открытие решило 65-летний вопрос Луиса Дж. Морделла , который стимулировал многие исследования этой проблемы. ^[7]

Представляя третье представление числа 3 во время своего появления в видео на канале Youtube Numberphile , Букер также представил представление числа 906:

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.}$^[22]

Единственными оставшимися нерешенными случаями до 1000 являются семь чисел 114, 390, 627, 633, 732, 921 и 975, и нет известных примитивных решений (т. е. ) для 192, 375 и 600. ^{[20] [23]} ${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$

Популярный интерес

Задача о сумме трёх кубов была популяризирована в последние годы Брэди Хараном , создателем канала YouTube Numberphile , начиная с видео 2015 года «The Uncracked Problem with 33», в котором было представлено интервью с Тимоти Браунингом . ^[24] За этим последовало шесть месяцев спустя видео «74 is Cracked» с Браунингом, в котором обсуждалось открытие Хейсманом в 2016 году решения для 74. ^[25] В 2019 году Numberphile опубликовал три связанных видео: «42 is the new 33», «The mystery of 42 is solved» и «3 as the sum of 3 cubes», в ознаменование открытия решений для 33, 42 и нового решения для 3. ^{[26] [27] [22]}

Решение Букера для числа 33 было представлено в статьях, опубликованных в Quanta Magazine ^[28] и New Scientist ^[29] , а также в статье в Newsweek , в которой было объявлено о сотрудничестве Букера с Сазерлендом: «...математик теперь работает с Эндрю Сазерлендом из Массачусетского технологического института, пытаясь найти решение для последнего нерешённого числа меньше сотни: 42». ^[30] Число 42 имеет дополнительный общественный интерес из-за его появления в научно-фантастическом романе Дугласа Адамса 1979 года «Автостопом по Галактике» в качестве ответа на Главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого .

Заявления Букера и Сазерленда ^{[31] [32]} о решении для 42 получили международное освещение в прессе, включая статьи в New Scientist , ^[33] Scientific American , ^[34] Popular Mechanics , ^[35] The Register , ^[36] Die Zeit , ^[37] Der Tagesspiegel , ^[38] Helsingin Sanomat , ^[39] Der Spiegel , ^[40] New Zealand Herald , ^[41] Indian Express , ^[42] Der Standard , ^[43] Las Provincias , ^[44] Nettavisen , ^[45] Digi24 , ^[46] и BBC World Service . ^[47] Popular Mechanics назвал решение для 42 одним из «10 крупнейших математических прорывов 2019 года». ^[48]

Разрешение вопроса Морделла Букером и Сазерлендом несколько недель спустя вызвало новый виток освещения в новостях. ^{[21] [49] [50] [51] [52] [53] [54]}

В приглашенном докладе Букера на четырнадцатом симпозиуме по алгоритмической теории чисел он обсуждает некоторые аспекты общественного интереса к этой проблеме и реакцию общественности на объявление решений для 33 и 42. ^[55]

Разрешимость и разрешимость

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что каждое число, не равное 4 или 5 по модулю 9, имеет бесконечно много представлений в виде сумм трех кубов. ^[56] Случай этой проблемы был использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем в теории чисел , из которых десятая проблема Гильберта является самым известным примером. ^[57] Хотя этот конкретный случай с тех пор был решен, неизвестно, разрешимо ли представление чисел в виде сумм кубов. То есть неизвестно, может ли алгоритм для каждого ввода проверить за конечное время, имеет ли заданное число такое представление. Если гипотеза Хит-Брауна верна, проблема разрешима. В этом случае алгоритм мог бы правильно решить проблему, вычислив модуль 9, возвращая false, когда это 4 или 5, и в противном случае возвращая true. Исследование Хит-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, насколько далеко алгоритм должен будет зайти, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно. ^[56] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=33}$ ${\displaystyle n}$

Вариации

Вариант этой задачи, связанный с задачей Варинга, требует представления в виде сумм трех кубов неотрицательных целых чисел. В 19 веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачи. ^[58] Предполагается, что представимые числа имеют положительную натуральную плотность . ^{[59] [60]} Это остается неизвестным, но Тревор Вули показал, что числа из имеют такие представления. ^{[61] [62] [63]} Плотность не превышает . ^[1] ${\displaystyle \Omega (n^{0.917})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0.119}$

Каждое целое число можно представить в виде суммы трех кубов рациональных чисел (а не в виде суммы кубов целых чисел). ^{[64] [65]}

Смотрите также

• Задача на сумму четырех кубов : является ли каждое целое число суммой четырех кубов?
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней § k = 3 , касающаяся кубов, которые можно записать в виде суммы трех положительных кубов
• Число Платона , древний текст, возможно, обсуждающий уравнение 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³
• Номер такси , наименьшее целое число, которое может быть выражено как сумма двух кубов положительных целых чисел n различными способами.

Ссылки

1. Davenport, H. (1939), «О проблеме Варинга для кубов», Acta Mathematica , 71 : 123–143, doi : 10.1007/BF02547752 , MR  0000026
2. Мачис, Ю. Ю. (2007), «О гипотетическом доказательстве Эйлера», Mathematical Notes , 82 (3): 352–356, doi :10.1134/S0001434607090088, MR  2364600, S2CID  121798358
3. Малер, Курт (1936), «Заметка о гипотезе K Харди и Литтлвуда», Журнал Лондонского математического общества , 11 (2): 136–138, doi :10.1112/jlms/s1-11.2.136, MR  1574761
4. Веребрусов, А.С. (1908), «Объ уравненiи x3 + y3 + z3 = 2u3» , Математический сборник , 26 (4): 622–624, ЖФМ  39.0259.02 ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=2u^{3}}$
5. Mordell, LJ (1942), «О суммах трех кубов», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 17 (3): 139–144, doi :10.1112/jlms/s1-17.3.139, MR  0007761
6. Heath-Brown, DR ; Lioen, WM; te Riele, HJJ (1993), "О решении диофантова уравнения x 3 + y 3 + z 3 = k {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k} на векторном компьютере", Mathematics of Computation , 61 (203): 235–244, Bibcode : 1993MaCom..61..235H, doi : 10.2307/2152950, ​​JSTOR  2152950, ​​MR  1202610
7. Mordell, LJ (1953), "О целочисленных решениях уравнения ", Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 28 : 500–510, doi :10.1112/jlms/s1-28.4.500, MR  0056619 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n}$
8. Равенство по модулю 9 чисел, кубы которых в сумме дают 3, было приписано Дж. В. С. Касселсу Морделлом (1953), но его доказательство было опубликовано только в работе Касселса, Дж. В. С. Касселса (1985), «Заметка о диофантовом уравнении », Математика вычислений , 44 (169): 265–266, doi :10.2307/2007811, JSTOR  2007811, MR  0771049, S2CID  121727002 ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3}$.
9. Миллер, JCP ; Вуллетт, MFC (1955), «Решения диофантова уравнения », Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 30 : 101–110, doi :10.1112/jlms/s1-30.1.101, MR  0067916 ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$
10. Гардинер, В. Л.; Лазарус, Р. Б.; Стайн, П. Р. (1964), «Решения диофантова уравнения », Математика вычислений , 18 (87): 408–413, doi :10.2307/2003763, JSTOR  2003763, MR  0175843 ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}-d}$
11. Конн, В.; Васерштейн, Л.Н. (1994), «О суммах трех целых кубов», Наследие Радемахера в математике (Университетский парк, Пенсильвания, 1992) , Contemporary Mathematics, т. 166, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 285–294, doi : 10.1090/conm/166/01628, MR  1284068
12. Бремнер, Эндрю (1995), «О суммах трех кубов», Теория чисел (Галифакс, Новая Шотландия, 1994) , Труды конференции CMS, т. 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 87–91, MR  1353923
13. Кояма, Кэндзи; Цуруока, Юкио; Сэкигава, Хироси (1997), «О поиске решений диофантова уравнения », Математика вычислений , 66 (218): 841–851, doi : 10.1090/S0025-5718-97-00830-2 , MR  1401942 ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$
14. Элкис, Ноам Д. (2000), «Рациональные точки вблизи кривых и малые ненулевые через редукцию решетки», Алгоритмическая теория чисел (Лейден, 2000) , Lecture Notes in Computer Science, т. 1838, Springer, Берлин, стр. 33–63, arXiv : math/0005139 , doi :10.1007/10722028_2, ISBN ${\displaystyle |x^{3}-y^{2}|}$ 978-3-540-67695-9, MR  1850598, S2CID  40620586
15. Бек, Майкл; Пайн, Эрик; Таррант, Уэйн; Ярбро Дженсен, Ким (2007), «Новые представления целых чисел в виде суммы трех кубов», Математика вычислений , 76 (259): 1683–1690, doi : 10.1090/S0025-5718-07-01947-3 , MR  2299795
16. Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009), «Новые суммы трех кубов», Mathematics of Computation , 78 (266): 1227–1230, doi : 10.1090/S0025-5718-08-02168-6 , MR  2476583
17. Huisman, Sander G. (2016), Новые суммы трех кубов , arXiv : 1604.07746
18. Букер, Эндрю Р. (2019), «Решение проблемы с 33», Исследования по теории чисел , 5 (26), doi : 10.1007/s40993-019-0162-1 , hdl : 1983/b29fce73-2c20-4c07-9daf-afc04bf269b1 , MR  3983550
19. Хит-Браун, DR ; Лиоен, WM; те Риеле, HJJ (1993), «О решении диофантова уравнения x 3 + y 3 + z 3 = k {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k} на векторном компьютере», Математика вычислений , 61 (203): 235–244, Bibcode : 1993MaCom..61..235H, doi : 10.2307/2152950, ​​JSTOR  2152950, ​​MR  1202610
20. Букер, Эндрю Р.; Сазерленд, Эндрю В. (2021), «К вопросу о Морделле», Труды Национальной академии наук , 118 (11), arXiv : 2007.01209 , doi : 10.1073/pnas.2022377118 , PMC 7980389 , PMID  33692126 
21. Lu, Donna (18 сентября 2019 г.), «Математики нашли совершенно новый способ записи числа 3», New Scientist
22. Haran, Brady (24 сентября 2019 г.), 3 как сумма 3 кубов, Numberphile
23. Хьюстон, Робин (6 сентября 2019 г.), «42 — это ответ на вопрос «чему равно (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313?»», The Aperiodical
24. Харан, Брэди (6 ноября 2015 г.), Неразрешимая проблема с 33, Numberphile
25. Харан, Брэди (31 мая 2016 г.), 74 взломан, Numberphile
26. Харан, Брэди (12 марта 2019 г.), 42 — это новое 33, Numberphile
27. Харан, Брэди (6 сентября 2019 г.), Тайна числа 42 раскрыта, Numberphile
28. Павлус, Джон (10 марта 2019 г.), «Задача о сумме трех кубов решена для «упрямого» числа 33», Quanta Magazine
29. Лу, Донна (14 марта 2019 г.), «Математик решает многовековую задачу о числе 33», New Scientist
30. Георгиу, Аристос (3 апреля 2019 г.), «Неразрешимая проблема с 33: математик решает 64-летнюю «диофантову головоломку»», Newsweek
31. Сумма трех кубов для 42 наконец решена – с использованием реального планетарного компьютера, Университет Бристоля, 6 сентября 2019 г.
32. Миллер, Сэнди (10 сентября 2019 г.), «Ответ на вопрос жизни, вселенной и всего остального: исследователь-математик Дрю Сазерленд помогает решить головоломку о сумме трех кубов, которой уже несколько десятилетий, с помощью «Автостопом по Галактике».», MIT News , Массачусетский технологический институт
33. Лу, Донна (6 сентября 2019 г.), «Математики разгадали неуловимую головоломку с числом 42», New Scientist
34. Делаэ, Жан-Поль (20 сентября 2020 г.), «Для любителей математики: Автостопом по числу 42», Scientific American
35. Гроссман, Дэвид (6 сентября 2019 г.), «Спустя 65 лет суперкомпьютеры наконец решили эту неразрешимую математическую задачу», Popular Mechanics
36. Куах, Катянна (7 сентября 2019 г.), «Наконец-то! Решение 42 — Ответ на Главный Вопрос Жизни, Вселенной и Всего остального», The Register
37. "Matheproblem um die Zahl 42 geknackt", Die Zeit , 16 сентября 2019 г.
38. "Das Matheproblem um die Zahl 42 ist geknackt", Der Tagesspiegel , 16 сентября 2019 г.
39. Кивимяки, Антти (18 сентября 2019 г.), «Matemaatikkojen vaikea laskelma tuotti vihdoin kaivatun luvun 42», Helsingin Sanomat
40. «Matheproblem um die 42 geknackt», Der Spiegel , 16 сентября 2019 г.
41. «Почему число 42 — это ответ на жизнь, вселенную и все такое», New Zealand Herald , 9 сентября 2019 г.
42. Фирак, Кабир (20 сентября 2019 г.), «Объяснение: как была решена математическая задача 65-летней давности», Indian Express
43. Ташвер, Клаус (15 сентября 2019 г.), «Endlich: Das Rätsel um die Zahl 42 ist gelöst», Der Standard
44. "Matemáticos resuelven el enigma del número 42 planteado hace 65 años", Las Provincias , 18 сентября 2019 г.
45. Верстад, Ларс (10 октября 2019 г.), «Супермаска для людей старше 60 лет», Nettavisen
46. "A fost rezolvată проблема ухода за le-a dat bătăi de cap matematicienilor timp de 6 decenii. A fost nevoie de 1 million de ore de procesare", Digi24 , 16 сентября 2019 г.
47. Пол, Фернанда (12 сентября 2019 г.), «Загадка суммы трех кубиков: математические решения, окончательные после 65 лет», BBC News Mundo
48. Линклеттер, Дэйв (27 декабря 2019 г.), «10 крупнейших математических прорывов 2019 года», Popular Mechanics
49. Мандельбаум, Райан Ф. (18 сентября 2019 г.), «Математики больше не озадачены числом 3», Gizmodo
50. "42:n ongelman ratkaisijat löysivät ratkaisun myös 3:lle", Tiede , 23 сентября 2019 г.
51. Кивимяки, Антти (22 сентября 2019 г.), «Numeron 42 ratkaisseet matemaatikot yllättivät: Löysivät myös luvulle 3 kauan odotetun ratkaisun», Helsingin Sanomat
52. Хесус Побласьон, Альфонсо (3 октября 2019 г.), «Matemáticos encuentran una nueva forma de llegar al número 3», El Diario Vasco
53. Хоннер, Патрик (5 ноября 2019 г.), «Почему сумма трех кубов — сложная математическая задача», Quanta Magazine
54. Д'Соуза, Дилип (28 ноября 2019 г.), «Не тратьте впустую, есть третий способ сделать кубики», LiveMint
55. Букер, Эндрю Р. (4 июля 2020 г.), 33 и все такое, Симпозиум по алгоритмической теории чисел
56. Heath-Brown, DR (1992), "Плотность нулей форм, для которых слабая аппроксимация невозможна", Mathematics of Computation , 59 (200): 613–623, doi : 10.1090/s0025-5718-1992-1146835-5 , JSTOR  2153078, MR  1146835
57. Пунен, Бьорн (2008), «Неразрешимость в теории чисел» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (3): 344–350, MR  2382821
58. Диксон, Леонард Юджин (1920), История теории чисел, т. II: Диофантов анализ, Институт Карнеги в Вашингтоне, стр. 717
59. Балог, Антал; Брюдерн, Йорг (1995), «Суммы трех кубов в трех связанных трехпрогрессиях», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1995 (466): 45–85, doi : 10.1515/crll.1995.466.45, MR  1353314, S2CID  118818354
60. Deshouillers, Jean-Marc ; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2006), "On the density of sums of three cubes", in Hess, Florian; Pauli, Sebastian; Pohst, Michael (ред.), Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings , Lecture Notes in Computer Science, vol. 4076, Berlin: Springer, стр. 141–155, doi :10.1007/11792086_11, ISBN 978-3-540-36075-9, г-н  2282921
61. Вули, Тревор Д. (1995), «Нарушение классической выпуклости в проблеме Варинга: суммы кубов и квазидиагональное поведение» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 122 (3): 421–451, doi :10.1007/BF01231451, hdl : 2027.42/46588 , MR  1359599
62. Вули, Тревор Д. (2000), «Суммы трех кубов», Mathematika , 47 (1–2): 53–61 (2002), doi : 10.1112/S0025579300015710, hdl : 2027.42/152941 , MR  1924487
63. Вули, Тревор Д. (2015), «Суммы трех кубов, II», Acta Arithmetica , 170 (1): 73–100, arXiv : 1502.01944 , doi : 10.4064/aa170-1-6, MR  3373831, S2CID  119155786
64. Richmond, HW (1923), «Об аналогах проблемы Варинга для рациональных чисел», Труды Лондонского математического общества , Вторая серия, 21 : 401–409, doi :10.1112/plms/s2-21.1.401, MR  1575369
65. Дэвенпорт, Х.; Ландау , Э. (1969), «О представлении положительных целых чисел в виде сумм трех кубов положительных рациональных чисел», Теория чисел и анализ (Доклады в честь Эдмунда Ландау) , Нью-Йорк: Пленум, стр. 49–53, MR  0262198

Внешние ссылки

• Решения n = x3 + y3 + z3 для 0 ≤ n ≤ 99, Хисанори Мисима
• threecubes, Дэниел Дж. Бернстайн
• Суммы трех кубов, Mathpages