Суперматрица

В математике и теоретической физике суперматрица — это Z ₂ -градуированный аналог обычной матрицы . В частности, суперматрица — это блочная матрица 2×2 с записями в супералгебре (или суперкольце ). Наиболее важными примерами являются те, у которых записи находятся в коммутативной супералгебре (например, алгебре Грассмана ) или обычном поле (рассматриваемом как чисто четная коммутативная супералгебра).

Суперматрицы возникают при изучении суперлинейной алгебры , где они появляются как координатные представления линейных преобразований между конечномерными супервекторными пространствами или свободными супермодулями . Они имеют важные приложения в области суперсимметрии .

Определения и обозначения

Пусть R — фиксированная супералгебра (предполагается, что она унитальна и ассоциативна ). Часто требуется, чтобы R также была суперкоммутативной (по сути, по тем же причинам, что и в неградуированном случае).

Пусть p , q , r и s — неотрицательные целые числа. Суперматрица размерности ( r | s )×( p | q ) — это матрица с элементами в R, которая разбита на блочную структуру 2×2

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}}$

с общим числом строк r + s и общим числом столбцов p + q (так что подматрица X ₀₀ имеет размеры r × p , а X ₁₁ имеет размеры s × q ). Обычную (неградуированную) матрицу можно рассматривать как суперматрицу, для которой q и s оба равны нулю.

Квадратная суперматрица — это такая , для которой ( r | s ) = ( p | q ). Это означает, что не только неразделенная матрица X является квадратной , но и диагональные блоки X ₀₀ и X ₁₁ также являются квадратными.

Четная суперматрица — это суперматрица, в которой диагональные блоки ( X ₀₀ и X ₁₁ ) состоят исключительно из четных элементов R (т.е. однородных элементов четности 0), а недиагональные блоки ( X ₀₁ и X ₁₀ ) состоят исключительно из нечетных элементов R .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}}$

Нечетная суперматрица — это такая матрица, для которой справедливо обратное: диагональные блоки нечетные, а недиагональные — четные.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}}$

Если скаляры R чисто четные, то не существует ненулевых нечетных элементов, поэтому четные суперматрицы являются блочно-диагональными , а нечетные суперматрицы — недиагональными.

Суперматрица однородна , если она либо четная, либо нечетная. Четность | X | ненулевой однородной суперматрицы X равна 0 или 1 в зависимости от того, четная она или нечетная. Каждая суперматрица может быть записана однозначно как сумма четной суперматрицы и нечетной.

Алгебраическая структура

Суперматрицы совместимых размерностей можно складывать и умножать так же, как и обычные матрицы. Эти операции точно такие же, как и обычные, с тем ограничением, что они определены только тогда, когда блоки имеют совместимые размерности. Можно также умножать суперматрицы на элементы R (слева или справа), однако эта операция отличается от неградуированного случая из-за наличия нечетных элементов в R.

Пусть M _{r | s × p | q} ( R ) обозначает множество всех суперматриц над R размерности ( r | s )×( p | q ). Это множество образует супермодуль над R относительно сложения суперматриц и скалярного умножения. В частности, если R является супералгеброй над полем K , то M _{r | s × p | q} ( R ) образует супервекторное пространство над K .

Пусть M _{p | q} ( R ) обозначает множество всех квадратных суперматиков над R с размерностью ( p | q )×( p | q ). Это множество образует суперкольцо относительно сложения и умножения суперматриц. Более того, если R — коммутативная супералгебра , то умножение суперматриц является билинейной операцией, так что M _{p | q} ( R ) образует супералгебру над R .

Добавление

Две суперматрицы размерности ( r | s )×( p | q ) можно сложить так же, как и в неградуированном случае , чтобы получить суперматрицу той же размерности. Сложение можно выполнять поблочно, поскольку блоки имеют совместимые размеры. Легко видеть, что сумма двух четных суперматриц четна, а сумма двух нечетных суперматриц нечетна.

Умножение

Можно умножить суперматрицу с размерами ( r | s )×( p | q ) на суперматрицу с размерами ( p | q )×( k | l ), ​​как в неградуированном случае , чтобы получить матрицу размерностью ( r | s )×( k | l ). Умножение можно выполнить на уровне блоков очевидным образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что блоки суперматрицы произведения Z = XY задаются как

${\displaystyle Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,}$

Если X и Y однородны с четностями | X | и | Y |, то XY однородна с четностью | X | + | Y |. То есть произведение двух четных или двух нечетных суперматриц четно, а произведение четной и нечетной суперматриц нечетно.

Скалярное умножение

Скалярное умножение для суперматриц отличается от неградуированного случая из-за наличия нечетных элементов в R. Пусть X — суперматрица. Левое скалярное умножение на α ∈ R определяется как

${\displaystyle \alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}}$

где внутренние скалярные умножения являются обычными неградуированными и обозначают инволюцию градации в R. Это задается на однородных элементах как ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .}$

Аналогично определяется правое скалярное умножение на α:

${\displaystyle X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.}$

Если α четно, то и обе эти операции такие же, как и неградуированные версии. Если α и X однородны, то α⋅ X и X ⋅α оба однородны с четностью |α| + | X |. Более того, если R суперкоммутативно, то имеем ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha }$

${\displaystyle \alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .}$

Как линейные преобразования

Обычные матрицы можно рассматривать как координатные представления линейных отображений между векторными пространствами (или свободными модулями ). Аналогично, суперматрицы можно рассматривать как координатные представления линейных отображений между супервекторными пространствами (или свободными супермодулями ). Однако в градуированном случае есть важное отличие. Гомоморфизм из одного супервекторного пространства в другое, по определению, сохраняет градуировку (т. е. отображает четные элементы в четные элементы, а нечетные элементы в нечетные элементы). Координатное представление такого преобразования всегда является четной суперматрицей . Нечетные суперматрицы соответствуют линейным преобразованиям, которые обращают градуировку. Общие суперматрицы представляют собой произвольное неградуированное линейное преобразование. Такие преобразования по-прежнему важны в градуированном случае, хотя и менее важны, чем градуированные (четные) преобразования.

Супермодуль M над супералгеброй R свободен, если он имеет свободный однородный базис. Если такой базис состоит из p четных элементов и q нечетных элементов, то говорят, что M имеет ранг p | q . Если R суперкоммутативен , ранг не зависит от выбора базиса, как и в неградуированном случае.

Пусть R ^{p | q} — пространство супервекторов столбцов — суперматриц размерности ( p | q )×(1|0). Это, естественно, правый R -супермодуль, называемый правым координатным пространством . Суперматрица T размерности ( r | s )×( p | q ) может тогда рассматриваться как правое R -линейное отображение

${\displaystyle T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,}$

где действие T на R ^{p | q} — это просто суперматричное умножение (это действие, как правило, не является левым R -линейным, поэтому мы рассматриваем R ^{p | q} как правый супермодуль).

Пусть M — свободный правый R -супермодуль ранга p | q и пусть N — свободный правый R -супермодуль ранга r | s . Пусть ( e _i ) — свободный базис для M и пусть ( f _k ) — свободный базис для N . Такой выбор базисов эквивалентен выбору изоморфизмов из M в R ^{p | q} и из N в R ^{r | s} . Любое (неградуированное) линейное отображение

${\displaystyle T:M\to N\,}$

может быть записана как суперматрица ( r | s )×( p | q ) относительно выбранных базисов. Компоненты связанной суперматрицы определяются по формуле

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.}$

Блочное разложение суперматрицы T соответствует разложению M и N на четные и нечетные подмодули:

${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.}$

Операции

Многие операции над обычными матрицами можно обобщить до суперматриц, хотя обобщения не всегда очевидны или просты.

Супертранспонирование

Супертранспонирование суперматрицы является Z 2 _{-градуированным} аналогом транспонирования . Пусть

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

быть однородной ( r | s )×( p | q ) суперматрицей. Супертранспонирование X — это ( p | q )×( r | s ) суперматрица

${\displaystyle X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}}$

где A ^t обозначает обычную транспонированную матрицу A . Это можно распространить на произвольные суперматрицы по линейности. В отличие от обычной транспонированной матрицы, супертранспонированная матрица, как правило, не является инволюцией , а имеет порядок 4. Применение супертранспонированной матрицы дважды к суперматрице X дает

${\displaystyle (X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.}$

Если R суперкоммутативно, супертранспонирование удовлетворяет тождеству

${\displaystyle (XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,}$

Транспонирование четности

Транспонирование суперматрицы по четности — это новая операция, не имеющая неградуированного аналога. Пусть

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

быть ( r | s )×( p | q ) суперматрицей. Транспонированная по четности матрица X является ( s | r )×( q | p ) суперматрицей

${\displaystyle X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.}$

То есть блок ( i , j ) транспонированной матрицы является блоком (1− i ,1− j ) исходной матрицы.

Операция транспонирования четности подчиняется тождествам

• ${\displaystyle (X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }}$
• ${\displaystyle (X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}}$

а также

• ${\displaystyle \pi ^{2}=id\,}$
• ${\displaystyle \pi \circ st\circ \pi =(st)^{3}}$

где st обозначает операцию супертранспонирования.

Супертрассировка

Суперслед квадратной суперматрицы — это Z 2 _{-градуированный} аналог следа . Он определяется на однородных суперматрицах формулой

${\displaystyle \mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,}$

где tr обозначает обычный след.

Если R суперкоммутативно, суперслед удовлетворяет тождеству

${\displaystyle \mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,}$

для однородных суперматриц X и Y.

Березинский

Березинов (или супердетерминант ) квадратной суперматрицы — это Z ₂ -градуированный аналог детерминанта . Березинов хорошо определен только на четных обратимых суперматрицах над коммутативной супералгеброй R . В этом случае он задается формулой

${\displaystyle \mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.}$

где det обозначает обычный определитель (квадратных матриц с элементами коммутативной алгебры R ₀ ).

Березиниан удовлетворяет свойствам, аналогичным свойствам обычного определителя. В частности, он мультипликативен и инвариантен относительно супертранспонирования. Он связан с суперследом формулой

${\displaystyle \mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,}$

Ссылки

• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Заметки лекций Куранта по математике 11. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3574-2.
• Делинь, Пьер; Морган, Джон В. (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернстайном)». Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том 1. Американское математическое общество. стр. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.