В математике здание (также здание Титса , названное в честь Жака Титса ) — это комбинаторная и геометрическая структура, которая одновременно обобщает некоторые аспекты многообразий флагов , конечных проективных плоскостей и римановых симметрических пространств . Первоначально здания были введены Жаком Титсом как средство понимания структуры изотропных редуктивных линейных алгебраических групп над произвольными полями. Более специализированная теория зданий Брюа–Титса (названная также в честь Франсуа Брюа ) играет роль в изучении p -адических групп Ли, аналогичную теории симметрических пространств в теории групп Ли .
Понятие здания было изобретено Жаком Титсом как средство описания простых алгебраических групп над произвольным полем . Титс продемонстрировал, как каждой такой группе G можно связать симплициальный комплекс Δ = Δ( G ) с действием G , называемым сферическим зданием G . Группа G накладывает очень сильные условия комбинаторной регулярности на комплексы Δ , которые могут возникать таким образом. Рассматривая эти условия как аксиомы для класса симплициальных комплексов, Титс пришел к своему первому определению здания. Частью данных, определяющих здание Δ , является группа Коксетера W , которая определяет высокосимметричный симплициальный комплекс Σ = Σ( W , S ) , называемый комплексом Коксетера . Здание Δ склеено из нескольких копий Σ , называемых его квартирами , определенным регулярным образом. Когда W — конечная группа Коксетера, комплекс Коксетера является топологической сферой, и соответствующие здания называются сферическими . Когда W — аффинная группа Вейля , комплекс Коксетера является подразделением аффинной плоскости, и говорят об аффинных , или евклидовых , зданиях. Аффинное здание типа Ã 1 — это то же самое, что и бесконечное дерево без конечных вершин.
Хотя теория полупростых алгебраических групп дала первоначальную мотивацию для понятия здания, не все здания возникают из группы. В частности, проективные плоскости и обобщенные четырехугольники образуют два класса графов, изучаемых в геометрии инцидентности , которые удовлетворяют аксиомам здания, но могут не быть связаны ни с одной группой. Это явление оказывается связанным с низким рангом соответствующей системы Коксетера (а именно, два). Титс доказал замечательную теорему: все сферические здания ранга не менее трех связаны с группой; более того, если здание ранга не менее двух связано с группой, то группа по существу определяется зданием (Tits 1974).
Ивахори–Мацумото, Борель–Титс и Брюа–Титс продемонстрировали, что по аналогии с построением Титсом сферических зданий, аффинные здания также могут быть построены из определенных групп, а именно, редуктивных алгебраических групп над локальным неархимедовым полем . Более того, если ранг расщепления группы равен по крайней мере трем, он по существу определяется ее зданием. Позднее Титс переработал основополагающие аспекты теории зданий, используя понятие камерной системы , кодируя здание исключительно в терминах свойств смежности симплексов максимальной размерности; это приводит к упрощениям как в сферическом, так и в аффинном случаях. Он доказал, что по аналогии со сферическим случаем каждое здание аффинного типа и ранга по крайней мере четыре возникает из группы.
N - мерное здание X — это абстрактный симплициальный комплекс , представляющий собой объединение подкомплексов A, называемых квартирами, таких, что
Симплекс n-го порядка в A называется камерой (первоначально chambre , т.е. комната по- французски ).
Ранг здания определяется как n + 1 .
Каждая квартира A в здании является комплексом Коксетера . Фактически, для каждых двух n -симплексов, пересекающихся в ( n – 1) -симплексе или панели , существует уникальный симплициальный автоморфизм периода два для A , называемый отражением , переносящий один n -симплекс на другой и фиксирующий их общие точки. Эти отражения порождают группу Коксетера W , называемую группой Вейля для A , а симплициальный комплекс A соответствует стандартной геометрической реализации W. Стандартные генераторы группы Коксетера задаются отражениями в стенах фиксированной камеры в A. Поскольку квартира A определяется с точностью до изоморфизма зданием, то же самое верно для любых двух симплексов в X, лежащих в некоторой общей квартире A. Когда W конечно, здание называется сферическим . Когда это аффинная группа Вейля , здание называется аффинным или евклидовым .
Система камер представляет собой граф смежности, образованный камерами; каждая пара соседних камер может быть дополнительно помечена одним из стандартных генераторов группы Коксетера (см. Титс 1981).
Каждое здание имеет каноническую метрику длины , унаследованную от геометрической реализации, полученной путем отождествления вершин с ортонормированным базисом гильбертова пространства . Для аффинных зданий эта метрика удовлетворяет неравенству сравнения CAT(0) Александрова , известному в этой установке как условие неположительной кривизны Брюа–Титса для геодезических треугольников: расстояние от вершины до середины противоположной стороны не больше расстояния в соответствующем евклидовом треугольнике с теми же длинами сторон (см. Брюа и Титс 1972).
Если группа G действует симплициально на здании X , транзитивно на парах ( C , A ) комнат C и квартир A , содержащих их, то стабилизаторы такой пары определяют пару ( B , N ) или систему Титса . Фактически пара подгрупп
удовлетворяет аксиомам пары ( B , N ) , а группа Вейля может быть отождествлена с N / N ∩ B.
Наоборот, здание может быть восстановлено из пары ( B , N ) , так что каждая пара ( B , N ) канонически определяет здание. Фактически, используя терминологию пар ( B , N ) и называя любое сопряжение B подгруппой Бореля , а любую группу, содержащую подгруппу Бореля, параболической подгруппой,
Одно и то же здание часто может быть описано разными парами ( B , N ) . Более того, не каждое здание происходит из пары ( B , N ) : это соответствует неудаче результатов классификации в низком ранге и размерности (см. ниже).
Теорема Соломона-Титса — это результат, утверждающий, что гомотопический тип построения группы лиева типа совпадает с гомотопическим типом построения букета сфер .
Симплициальную структуру аффинных и сферических зданий, связанных с SL n ( Q p ) , а также их взаимосвязи легко объяснить напрямую, используя только понятия из элементарной алгебры и геометрии (см. Garrett 1997). В этом случае есть три различных здания, два сферических и одно аффинное. Каждое из них является объединением апартаментов , которые сами по себе являются симплициальными комплексами. Для аффинного здания апартаменты являются симплициальным комплексом, замощающим евклидово пространство En −1 ( n − 1) -мерными симплексами; в то время как для сферического здания это конечный симплициальный комплекс, образованный всеми ( n − 1)! симплексами с заданной общей вершиной в аналогичной замощении в En −2 .
Каждое здание представляет собой симплициальный комплекс X , который должен удовлетворять следующим аксиомам:
Пусть F — поле , а X — симплициальный комплекс с вершинами — нетривиальными векторными подпространствами V = F n . Два подпространства U 1 и U 2 связаны, если одно из них является подмножеством другого. K -симплексы X образованы наборами из k + 1 взаимно связанных подпространств. Максимальная связность получается путем взятия n − 1 собственных нетривиальных подпространств, а соответствующий ( n − 1) -симплекс соответствует полному флагу
Симплексы меньшей размерности соответствуют частичным флагам с меньшим количеством промежуточных подпространств U i .
Чтобы определить апартаменты в X , удобно определить фрейм в V как базис ( v i ), определенный с точностью до скалярного умножения каждого из его векторов v i ; другими словами, фрейм - это набор одномерных подпространств L i = F · v i , такой, что любые k из них порождают k -мерное подпространство. Теперь упорядоченный фрейм L 1 , ..., L n определяет полный флаг с помощью
Поскольку переупорядочения различных L i также дают фрейм, легко увидеть, что подпространства, полученные как суммы L i , образуют симплициальный комплекс типа, требуемого для квартиры сферического здания. Аксиомы для здания можно легко проверить с помощью классического аргумента уточнения Шрайера, использованного для доказательства единственности разложения Жордана–Гёльдера .
Пусть K — поле, лежащее между Q и его p -адическим пополнением Q p относительно обычной неархимедовой p -адической нормы ‖ x ‖ p на Q для некоторого простого p . Пусть R — подкольцо K , определяемое соотношением
Когда K = Q , R является локализацией Z в точке p , а когда K = Q p , R = Z p , то это p -адические целые числа , т.е. замыкание Z в Q p .
Вершинами здания X являются R -решетки в V = K n , т.е. R - подмодули вида
где ( v i ) — базис V над K . Две решетки называются эквивалентными , если одна из них является скалярным кратным другой на элемент мультипликативной группы K * из K (фактически необходимо использовать только целые степени p ). Две решетки L 1 и L 2 называются смежными , если некоторая решетка, эквивалентная L 2, лежит между L 1 и ее подрешеткой p · L 1 : это отношение симметрично. k -симплексы X являются классами эквивалентности k + 1 взаимно смежных решеток, ( n − 1) -симплексы соответствуют, после переименования, цепям
где каждое последующее частное имеет порядок p . Квартиры определяются путем фиксации базиса ( v i ) V и взятия всех решеток с базисом ( p a i v i ) , где ( a i ) лежит в Z n и определяется однозначно с точностью до добавления одного и того же целого числа к каждому элементу.
По определению каждая квартира имеет требуемую форму, а их объединение — это все X. Вторая аксиома следует из варианта аргумента Шрайера об уточнении. Последняя аксиома следует из простого аргумента подсчета, основанного на порядках конечных абелевых групп вида
Стандартный аргумент компактности показывает, что X на самом деле не зависит от выбора K. В частности, если взять K = Q , то X счетно. С другой стороны, если взять K = Q p , то определение показывает, что GL n ( Q p ) допускает естественное симплициальное действие на здании.
Здание снабжено маркировкой своих вершин со значениями в Z / n Z. Действительно, фиксируя опорную решетку L , маркировка M задается как
для k достаточно большого. Вершины любого ( n – 1) -симплекса в X имеют различные метки, проходящие через все Z / n Z . Любой симплициальный автоморфизм φ из X определяет перестановку π из Z / n Z такую, что label( φ ( M )) = π (label( M )) . В частности, для g в GL n ( Q p ) ,
Таким образом, g сохраняет метки, если g лежит в SL n ( Q p ) .
Титс доказал, что любой сохраняющий метки автоморфизм аффинного построения возникает из элемента SL n ( Q p ) . Поскольку автоморфизмы построения переставляют метки, существует естественный гомоморфизм
Действие GL n ( Q p ) порождает n -цикл τ . Другие автоморфизмы построения возникают из внешних автоморфизмов SL n ( Q p ), связанных с автоморфизмами диаграммы Дынкина . Принимая стандартную симметричную билинейную форму с ортонормированным базисом v i , отображение, отправляющее решетку в ее двойственную решетку, дает автоморфизм, квадрат которого является тождеством, задавая перестановку σ , которая отправляет каждую метку в ее отрицательный модуль n . Образ вышеуказанного гомоморфизма порождается σ и τ и изоморфен диэдральной группе D n порядка 2 n ; когда n = 3 , он дает всю S 3 .
Если E является конечным расширением Галуа Q p и здание построено из SL n ( E ) вместо SL n ( Q p ) , группа Галуа Gal( E / Q p ) также будет действовать посредством автоморфизмов на здании.
Сферические здания возникают двумя совершенно разными способами в связи с аффинным зданием X для SL n ( Q p ) :
Когда L является архимедовым локальным полем, то на построение для группы SL 2 ( L ) может быть наложена дополнительная структура построения с комплексным умножением. Они были впервые введены Мартином Л. Брауном (Brown 2004). Эти построения возникают, когда квадратичное расширение L действует на векторное пространство L 2 . Эти построения с комплексным умножением могут быть расширены на любое глобальное поле. Они описывают действие операторов Гекке на точки Хегнера на классической модулярной кривой X 0 ( N ), а также на модулярной кривой Дринфельда XПить
0( I ) . Эти здания с комплексным умножением полностью классифицированы для случая SL 2 ( L ) в Brown 2004.
Титс доказал, что все неприводимые сферические здания (т.е. с конечной группой Вейля ) ранга больше 2 связаны с простыми алгебраическими или классическими группами.
Аналогичный результат справедлив для неприводимых аффинных зданий размерности больше 2 (их здания «на бесконечности» являются сферическими ранга больше двух). В более низком ранге или размерности такой классификации нет. Действительно, каждая структура инцидентности дает сферическое здание ранга 2 (см. Pott 1995); и Баллманн и Брин доказали, что каждый 2-мерный симплициальный комплекс, в котором связи вершин изоморфны флаговому комплексу конечной проективной плоскости, имеет структуру здания, не обязательно классическую. Многие 2-мерные аффинные здания были построены с использованием гиперболических групп отражений или других более экзотических конструкций, связанных с орбифолдами .
Титс также доказал, что каждый раз, когда здание описывается парой ( B , N ) в группе, то почти во всех случаях автоморфизмы здания соответствуют автоморфизмам группы (см. Титс 1974).
Теория зданий имеет важные приложения в нескольких довольно разрозненных областях. Помимо уже упомянутых связей со структурой редуктивных алгебраических групп над общими и локальными полями, здания используются для изучения их представлений . Результаты Титса об определении группы ее зданием имеют глубокие связи с теоремами о жесткости Джорджа Мостова и Григория Маргулиса , а также с арифметикой Маргулиса.
Специальные типы зданий изучаются в дискретной математике, и идея геометрического подхода к характеристике простых групп оказалась весьма плодотворной в классификации конечных простых групп . Теория зданий типа более общего, чем сферический или аффинный, все еще относительно не развита, но эти обобщенные здания уже нашли применение в построении групп Каца–Муди в алгебре, а также в неположительно искривленных многообразиях и гиперболических группах в топологии и геометрической теории групп .