Схема Гильберта

Схема модулей подсхем схемы, представляет собой функтор плоского семейства подсхем

В алгебраической геометрии , разделе математики , схема Гильберта — это схема , которая является пространством параметров для замкнутых подсхем некоторого проективного пространства (или более общей проективной схемы), уточняя многообразие Чжоу . Схема Гильберта — это несвязное объединение проективных подсхем, соответствующих многочленам Гильберта . Основная теория схем Гильберта была разработана Александром Гротендиком  (1961). Пример Хиронаки показывает, что непроективные многообразия не обязательно должны иметь схемы Гильберта.

Схема Гильберта проективного пространства

Схема Гильберта классифицирует замкнутые подсхемы проективного пространства в следующем смысле: для любой локально нётеровой схемы S множество S -значных точек ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (S,\mathbf {Hilb} (n))}$

схемы Гильберта естественно изоморфна множеству замкнутых подсхем , которые плоские над S . Замкнутые подсхемы , которые плоские над S , можно неформально рассматривать как семейства подсхем проективного пространства, параметризованные S . Схема Гильберта распадается как несвязное объединение частей, соответствующих схеме Гильберта подсхем проективного пространства с полиномом Гильберта P . Каждая из этих частей проективна над . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$

Конструкция как детерминантный сорт

Гротендик построил схему Гильберта -мерного проективного пространства как подсхему грассманиана, определяемую обращением в нуль различных определителей . Ее фундаментальное свойство состоит в том, что для схемы она представляет функтор, -значные точки которого являются замкнутыми подсхемами , которые являются плоскими над . ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times T}$ ${\displaystyle T}$

Если является подсхемой -мерного проективного пространства, то соответствует градуированному идеалу кольца многочленов от переменных, с градуированными частями . Для достаточно больших все высшие группы когомологий с коэффициентами в обращаются в нуль. Используя точную последовательность ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I_{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle I_{X}^{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m)}$

${\displaystyle 0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

мы имеем имеет размерность , где — многочлен Гильберта проективного пространства. Это можно показать, тензоризируя точную последовательность выше локально плоскими пучками , что дает точную последовательность, где последние два члена имеют тривиальные когомологии, подразумевая тривиальность высших когомологий . Обратите внимание, что мы используем равенство многочлена Гильберта когерентного пучка с эйлеровой характеристикой его групп когомологий пучка. ${\displaystyle I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))}$ ${\displaystyle Q(m)-P_{X}(m)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)}$ ${\displaystyle I_{X}(m)}$

Выберите достаточно большое значение . -мерное пространство является подпространством -мерного пространства , поэтому представляет точку грассманиана . Это даст вложение части схемы Гильберта, соответствующей многочлену Гильберта, в этот грассманиан. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (Q(m)-P_{X}(m))}$ ${\displaystyle I_{X}^{m}}$ ${\displaystyle Q(m)}$ ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle {\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))}$ ${\displaystyle P_{X}}$

Осталось описать структуру схемы на этом изображении, другими словами, описать достаточно элементов для соответствующего ему идеала. Достаточно таких элементов задаются условиями, что отображение I _X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m ) имеет ранг не более dim( I _X ( k + m )) для всех положительных k , что эквивалентно обращению в нуль различных определителей. (Более тщательный анализ показывает, что достаточно просто взять k = 1 .)

Универсальность

Для замкнутой подсхемы над полем с многочленом Гильберта схема Гильберта H= Hilb ( n , P ) имеет универсальную плоскую подсхему над , такую ​​что ${\displaystyle Y\subset \mathbb {P} _{k}^{n}=X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle W\subset X\times H}$ ${\displaystyle H}$

• Слои над замкнутыми точками являются замкнутыми подсхемами . Для обозначим эту точку как . ${\displaystyle W_{x}}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [Y]\in H}$
• ${\displaystyle H}$является универсальным относительно всех плоских семейств подсхем , имеющих полином Гильберта . То есть, если заданы схема и плоское семейство , существует единственный морфизм такой, что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W'\subset X\times T}$ ${\displaystyle \phi :T\to H}$ ${\displaystyle \phi ^{*}W\cong W'}$

Касательное пространство

Касательное пространство точки задается глобальными сечениями нормального расслоения , то есть, ${\displaystyle [Y]\in H}$ ${\displaystyle N_{Y/X}}$

${\displaystyle T_{[Y]}H=H^{0}(Y,N_{Y/X})}$

Беспрепятственность полных перекрестков

Для локальных полных пересечений, таких что , точка гладкая. Это подразумевает, что любая деформация в не встречает препятствий. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})=0}$ ${\displaystyle [Y]\in H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Размерность касательного пространства

В случае размерность at больше или равна . ${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})\neq 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle [Y]}$ ${\displaystyle h^{0}(Y,N_{X/Y})-h^{1}(Y,N_{X/Y})}$

В дополнение к этим свойствам Фрэнсис Соуэрби Маколей  (1927) определил, для каких полиномов схема Гильберта непуста, а Робин Хартшорн  (1966) показал, что если непусто, то она линейно связна. Таким образом, две подсхемы проективного пространства находятся в одной и той же связной компоненте схемы Гильберта тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же полином Гильберта. ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$

Схемы Гильберта могут иметь плохие сингулярности, такие как неприводимые компоненты, которые неприводимы во всех точках. Они также могут иметь неприводимые компоненты неожиданно высокой размерности. Например, можно было бы ожидать, что схема Гильберта d точек (точнее, размерность 0, длина d подсхем) схемы размерности n будет иметь размерность dn , но если n ≥ 3, ее неприводимые компоненты могут иметь гораздо большую размерность.

Функториальная интерпретация

Существует альтернативная интерпретация схемы Гильберта, которая приводит к обобщению относительных схем Гильберта, параметризующих подсхемы относительной схемы. Для фиксированной базовой схемы пусть и пусть ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\in (Sch/S)}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

— функтор, отправляющий относительную схему множеству классов изоморфизма множества ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}(T)=\left\{{\begin{matrix}Z&\hookrightarrow &X\times _{S}T&\to &X\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\T&=&T&\to &S\end{matrix}}:Z\to T{\text{ is flat}}\right\}/\sim }$

где отношение эквивалентности задается классами изоморфизма . Эта конструкция функториальна, если взять обратные образы семейств. Если задано , существует семейство над . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:T'\to T}$ ${\displaystyle f^{*}Z=Z\times _{T}T'}$ ${\displaystyle T'}$

Представимость для проективных отображений

Если структурное отображение проективно, то этот функтор представляется схемой Гильберта, построенной выше. Обобщение этого на случай отображений конечного типа требует технологии алгебраических пространств, разработанной Артином. ^[1] ${\displaystyle X\to S}$

Относительная схема Гильберта для отображений алгебраических пространств

В наибольшей общности функтор Гильберта определяется для отображения конечного типа алгебраических пространств, определенных над схемой . Тогда функтор Гильберта определяется как ^[2] ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}:(Sch/B)^{op}\to Sets}$

отправка T в

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}(T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{aligned}&Z\to T{\text{ is flat, proper,}}\\&{\text{and of finite presentation}}\end{aligned}}\right\}}$.

Этот функтор не представим схемой, а алгебраическим пространством. Кроме того, если , и является конечным типом отображения схем, их функтор Гильберта представляется алгебраическим пространством. ${\displaystyle S={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle X\to B}$

Примеры схем Гильберта

Схемы Фано гиперповерхностей

Одним из мотивирующих примеров для исследования схемы Гильберта в целом была схема Фано проективной схемы. При наличии подсхемы степени существует схема в параметризации , где есть -плоскость в , то есть это вложение степени один из . ^[3] Для гладких поверхностей в степени непустые схемы Фано являются гладкими и нульмерными. Это происходит потому, что линии на гладких поверхностях имеют отрицательное самопересечение. ^[3] ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F_{k}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (k,n)}$ ${\displaystyle H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle F_{k}(X)}$

Схема точек Гильберта

Другим распространенным набором примеров являются схемы Гильберта -точек схемы , обычно обозначаемые . Для этого существует хорошая геометрическая интерпретация, где граничные геометрические места, описывающие пересечение точек, можно рассматривать как параметризующие точки вместе с их касательными векторами. Например, это раздутие диагонали ^[4] по модулю симметричного действия. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{[n]}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle B\subset H}$ ${\displaystyle (\mathbb {P} ^{2})^{[2]}}$ ${\displaystyle Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})}$

Гиперповерхности степени d

Схема Гильберта гиперповерхностей степени k в задается проективизацией . Например, схема Гильберта гиперповерхностей степени 2 в имеет универсальную гиперповерхность, заданную как ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}}$

где базовое кольцо имеет большую градацию.

Схема Гильберта кривых и модулей кривых

Для фиксированного рода алгебраической кривой степень тритензорного дуализирующего пучка генерируется глобально, то есть его эйлерова характеристика определяется размерностью глобальных сечений, поэтому ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle \chi (\omega _{C}^{\otimes 3})=\dim H^{0}(C,\omega _{X}^{\otimes 3})}$.

Размерность этого векторного пространства равна , поэтому глобальные сечения определяют вложение в для каждой кривой рода. Используя формулу Римана-Роха, ассоциированный полином Гильберта можно вычислить как ${\displaystyle 5g-5}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5g-6}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g)}$.

Тогда схема Гильберта

${\displaystyle {\text{Hilb}}_{\mathbb {P} ^{5g-6}}^{H_{C}(t)}}$

параметризует все кривые рода g . Построение этой схемы является первым шагом в построении стека модулей алгебраических кривых. Другим основным техническим инструментом являются коэффициенты GIT, поскольку это пространство модулей строится как фактор

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6}]}$,

где — подлокус гладких кривых в схеме Гильберта. ${\displaystyle U_{g}}$

Схема Гильберта точек на многообразии

«Схема Гильберта» иногда относится к пунктуальной схеме Гильберта 0-мерных подсхем на схеме. Неформально это можно рассматривать как нечто вроде конечных наборов точек на схеме, хотя эта картина может быть очень обманчивой, когда несколько точек совпадают.

Существует морфизм Гильберта–Чжоу из редуцированной схемы Гильберта точек в многообразие циклов Чжоу, переводящий любую 0-мерную схему в связанный с ней 0-цикл. (Фогарти 1968, 1969, 1973).

Схема Гильберта n точек на M снабжена естественным морфизмом в n -ное симметричное произведение M. Этот морфизм бирационален для M размерности не более 2. Для M размерности не менее 3 морфизм не бирационален при больших n : схема Гильберта в общем случае приводима и имеет компоненты размерности, намного большей, чем у симметричного произведения. ${\displaystyle M^{[n]}}$

Схема Гильберта точек на кривой C ( комплексное многообразие размерности 1) изоморфна симметричной степени C. Она гладкая.

Схема Гильберта n точек на поверхности также является гладкой (Гротендик). Если , то она получается из раздутием диагонали и последующим делением на действие, индуцированное . Это использовал Марк Хайман в своем доказательстве положительности коэффициентов некоторых полиномов Макдональда . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$

Схема Гильберта гладкого многообразия размерности 3 и более обычно не является гладкой.

Схемы Гильберта и гиперкэлерова геометрия

Пусть M — комплексная кэлерова поверхность с ( поверхностью K3 или тором). Каноническое расслоение M тривиально, как следует из классификации поверхностей Кодаиры . Следовательно, M допускает голоморфную симплектическую форму. Это заметили Акира Фуджики (для ) и Арно Бовилль, что также является голоморфно симплектической. Это не очень трудно увидеть, например, для . Действительно, является раздутием симметричного квадрата M . Особенности локально изоморфны . Раздутие есть , и это пространство является симплектическим. Это используется для того, чтобы показать, что симплектическая форма естественным образом продолжается на гладкую часть исключительных дивизоров . Она продолжается на остальную часть по принципу Хартогса . ${\displaystyle c_{1}=0}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M^{[2]}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\times \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle T^{*}\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$

Голоморфно симплектическое кэлерово многообразие является гиперкэлеровым , как следует из теоремы Калаби–Яу . Схемы Гильберта точек на поверхности K3 и на 4-мерном торе дают две серии примеров гиперкэлеровых многообразий : схему Гильберта точек на K3 и обобщенную поверхность Куммера .

Смотрите также

• Схема цитаты
• Закономерность Кастельнуово–Мамфорда
• Большая теорема Мацусаки
• Модули алгебраических кривых
• Пространство модулей
• Модульная поверхность Гильберта
• Модульная разновидность Siegel

Ссылки

1. Артин, М. (2015-12-31), «Алгебраизация формальных модулей: I», Глобальный анализ: Статьи в честь К. Кодаиры (PMS-29) , Принстон: Princeton University Press, стр. 21–72, doi :10.1515/9781400871230-003, ISBN 978-1-4008-7123-0
2. "Раздел 97.9 (0CZX): Функтор Гильберта — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 17.06.2020 .
3. "3264 и все такое" (PDF) . стр. 203, 212.
4. "Общее введение в схему Гильберта точек на плоскости" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 февраля 2020 г.

• Бовилль, Арно (1983), «Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle», Journal of Differential Geometry , 18 (4): 755–782, doi : 10.4310/jdg/1214438181 , MR  0730926
• И. Долгачев (2001) [1994], "Схема Гильберта", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc ; Kleiman, Steven L .; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Фундаментальная алгебраическая геометрия, Математические обзоры и монографии, т. 123, Providence, RI: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3541-8, г-н  2222646
• Фогарти, Джон (1968), «Алгебраические семейства на алгебраической поверхности», American Journal of Mathematics , 90 (2), Издательство Университета Джонса Хопкинса: 511–521, doi : 10.2307/2373541, JSTOR  2373541, MR  0237496
• Фогарти, Джон (1969), «Усеченные функторы Гильберта», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 234 : 65–88, MR  0244268, заархивировано из оригинала 12 февраля 2013 г.
• Фогарти, Джон (1973), «Алгебраические семейства на алгебраической поверхности. II. Схема Пикара пунктуальной схемы Гильберта», American Journal of Mathematics , 95 (3), Johns Hopkins University Press : 660–687, doi : 10.2307/2373734, JSTOR  2373734, MR  0335512
• Гётче, Лотар (1994), Схемы Гильберта нульмерных подсхем гладких многообразий , Lecture Notes in Mathematics, т. 1572, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0073491, ISBN 978-3-540-57814-7, МР  1312161
• Гротендик, Александр (1961), Методы построения и теории существования в алгебраической геометрии. IV. Схемы Гильберта, Семинар Бурбаки 221Перепечатано в Адриане Дуади; Роджер Годеман; Ален Гишарде ... (1995), Семинар Бурбаки, Том. 6 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 249–276, ISBN. 2-85629-039-6, г-н  1611822
• Хартшорн, Робин (1966), «Связность схемы Гильберта», Publications Mathématiques de l'IHÉS (29): 5–48, MR  0213368
• Маколей, Фрэнсис Соуэрби (1927), «Некоторые свойства перечисления в теории модульных систем», Труды Лондонского математического общества , Серия 2, 26 : 531–555, doi :10.1112/plms/s2-26.1.531
• Мамфорд, Дэвид (1966-08-21), Лекции о кривых на алгебраической поверхности , Annals of Mathematics Studies, т. 59, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
• Накадзима, Хираку (1999), Лекции по схемам Гильберта точек на поверхностях , Серия университетских лекций, т. 18, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1956-2, г-н  1711344
• Ницуре, Нитин (2005), «Построение схем Гильберта и Кота», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Математические обзоры, моногр., т. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 105–137, arXiv : math/0504590 , Bibcode : 2005math......4590N, MR  2223407
• Цинь, Чжэньбо (2018), Схемы Гильберта точек и бесконечномерные алгебры Ли , Математические обзоры и монографии, т. 228, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-4188-3

Примеры и приложения

• Формула Ботта и исчислительная геометрия
• Число скрученных кубик на квинтике трифолде
• Рациональные кривые на трехмерных многообразиях Калаби–Яу: проверка предсказаний зеркальной симметрии

Внешние ссылки

• Бертрам, Аарон (1999), Построение схемы Гильберта , получено 06.09.2008
• Болоньезе, Барбара; Лосев, Иван, Общее введение в схему Гильберта точек на плоскости (PDF) , архивировано из оригинала 2017-08-30{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• Маклаган, Диана , Заметки о схемах Гильберта (PDF) , архивировано из оригинала 2016-03-07{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)