Анализ сетей (электрические цепи)

В электротехнике и электронике сеть — это совокупность взаимосвязанных компонентов . Анализ сети — это процесс нахождения напряжений и токов во всех компонентах сети. Существует множество методов расчета этих значений; однако, по большей части, эти методы предполагают линейные компоненты. За исключением случаев, когда указано иное, методы, описанные в этой статье, применимы только к линейному анализу сети.

Определения

Эквивалентные схемы

Полезной процедурой в сетевом анализе является упрощение сети путем сокращения количества компонентов. Это можно сделать, заменив физические компоненты другими воображаемыми компонентами, которые имеют тот же эффект. Конкретный метод может напрямую уменьшить количество компонентов, например, путем последовательного объединения импедансов. С другой стороны, он может просто изменить форму на такую, в которой компоненты могут быть сокращены в более поздней операции. Например, можно преобразовать генератор напряжения в генератор тока, используя теорему Нортона, чтобы иметь возможность позже объединить внутреннее сопротивление генератора с параллельной нагрузкой импеданса.

Резистивная цепь — это цепь, содержащая только резисторы , идеальные источники тока и идеальные источники напряжения . Если источники являются постоянными ( DC ) источниками, результатом является цепь постоянного тока . Анализ цепи состоит из решения для напряжений и токов, присутствующих в цепи. Принципы решения, изложенные здесь, также применимы к векторному анализу цепей переменного тока.

Две цепи называются эквивалентными по отношению к паре клемм, если напряжение на клеммах и ток через клеммы для одной сети имеют такое же соотношение, как напряжение и ток на клеммах другой сети.

Если подразумевается для всех (действительных) значений $V$ $1$ , то относительно клемм $ab$ и $xy$ схема 1 и схема 2 эквивалентны. $V_{2}=V_{1}$ $I_{2}=I_{1}$

Вышеприведенное определение является достаточным для однопортовой сети. Для более чем одного порта необходимо определить, что токи и напряжения между всеми парами соответствующих портов должны иметь одинаковое соотношение. Например, сети звезда и треугольник фактически являются трехпортовыми сетями и, следовательно, требуют трех одновременных уравнений для полного определения их эквивалентности.

Сопротивления последовательно и параллельно

Некоторая двухконцевая сеть сопротивлений в конечном итоге может быть сведена к единому сопротивлению путем последовательного или параллельного применения сопротивлений.

Сопротивления последовательно : $Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}+\,\cdots \,+Z_{n}.$
Параллельное сопротивление : ${\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.$
- Вышеприведенное упрощенное выражение относится только к двум параллельным сопротивлениям: $Z_{\mathrm {eq} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.$

Преобразование треугольник-звезда

Сеть импедансов с более чем двумя терминалами не может быть сведена к одной эквивалентной схеме импеданса. Сеть с $n$ терминалами в лучшем случае может быть сведена к $n$ импедансам (в худшем случае ). Для трехтерминальной сети три импеданса могут быть выражены как трехузловая сеть типа «дельта» (Δ) или четырехузловая сеть типа «звезда» (Y). Эти две сети эквивалентны, и преобразования между ними приведены ниже. Общую сеть с произвольным числом узлов нельзя свести к минимальному числу импедансов, используя только последовательные и параллельные комбинации. В общем случае необходимо также использовать преобразования Y-Δ и Δ-Y. Для некоторых сетей может также потребоваться расширение Y-Δ до преобразований типа «звезда-полигон». ${\tbinom {n}{2}}$

Для эквивалентности импедансы между любой парой терминалов должны быть одинаковыми для обеих сетей, что приводит к набору из трех одновременных уравнений. Уравнения ниже выражены как сопротивления, но в равной степени применимы к общему случаю с импедансами.

Уравнения преобразования «дельта-звезда»

{\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{\mathrm {ac} }R_{\mathrm {ab} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{b}&={\frac {R_{\mathrm {ab} }R_{\mathrm {bc} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{c}&={\frac {R_{\mathrm {bc} }R_{\mathrm {ac} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\end{aligned}}

Уравнения преобразования звезда-треугольник

{\begin{aligned}R_{\mathrm {ac} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}\\R_{\mathrm {ab} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\\R_{\mathrm {bc} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}\end{aligned}}

Общая форма устранения сетевого узла

Преобразования звезда-треугольник и последовательное сопротивление являются частными случаями общего алгоритма устранения узлов сети резисторов. Любой узел, соединенный $N$ резисторами $(R 1 \dots RN)$ с узлами $1 \dots N,$ может быть заменен резисторами, соединяющими оставшиеся $N$ узлов. Сопротивление между любыми двумя узлами $x, y$ определяется по формуле $:$ ${\tbinom {N}{2}}$

R_{\mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{R_{i}}}

Для схемы «звезда-треугольник» ( $N = 3$ ) это сводится к:

{\begin{aligned}R_{\mathrm {ab} }&=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}+{\frac {1}{R}}_{c}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c})}{R_{a}R_{b}R_{c}}}\\&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\end{aligned}}

Для последовательного сокращения ( $N = 2$ ) это сводится к:

R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}R_{b}}}=R_{a}+R_{b}

Для оборванного резистора ( $N = 1$ ) это приводит к исключению резистора, поскольку . ${\tbinom {1}{2}}=0$

Преобразование источника

Генератор с внутренним импедансом (т.е. неидеальный генератор) может быть представлен либо как идеальный генератор напряжения, либо как идеальный генератор тока плюс импеданс. Эти две формы эквивалентны, и преобразования приведены ниже. Если две сети эквивалентны относительно клемм ab, то $V$ и $I$ должны быть идентичны для обеих сетей. Таким образом,

V_{\mathrm {s} }=RI_{\mathrm {s} }\,\!

или

I_{\mathrm {s} }={\frac {V_{\mathrm {s} }}{R}}

Теорема Нортона утверждает, что любую двухполюсную линейную сеть можно свести к идеальному генератору тока и параллельному сопротивлению.
Теорема Тевенена утверждает, что любую двухполюсную линейную сеть можно свести к идеальному генератору напряжения плюс последовательное сопротивление.

Простые сети

Некоторые очень простые сети можно анализировать без необходимости применения более систематических подходов.

Деление напряжения последовательных компонентов

Рассмотрим n сопротивлений, соединенных последовательно . Напряжение на любом сопротивлении равно $V_{i}$ $Z_{i}$

V_{i}=Z_{i}I=\left({\frac {Z_{i}}{Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}}}\right)V

Текущее разделение параллельных компонентов

Рассмотрим n проводимостей, соединенных параллельно . Ток через любую проводимость равен $I_{i}$ $Y_{i}$

I_{i}=Y_{i}V=\left({\frac {Y_{i}}{Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n}}}\right)I

для $i=1,2,...,n.$

Особый случай: Текущее деление двух параллельных компонент

I_{1}=\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I

I_{2}=\left({\frac {Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I

Узловой анализ

Узловой анализ использует концепцию напряжения узла и рассматривает напряжения узлов как неизвестные переменные. ^[2]^{: 2-8 - 2-9} Для всех узлов, за исключением выбранного опорного узла, напряжение узла определяется как падение напряжения от узла до опорного узла. Таким образом, для цепи с N узлами существует N-1 напряжений узлов. ^[2]^{: 2-10}

В принципе, узловой анализ использует закон токов Кирхгофа (KCL) в N-1 узлах для получения N-1 независимых уравнений. Поскольку уравнения, генерируемые с помощью KCL, выражены в терминах токов, входящих и исходящих из узлов, эти токи, если их значения неизвестны, должны быть представлены неизвестными переменными (напряжениями узлов). Для некоторых элементов (таких как резисторы и конденсаторы) получение токов элементов в терминах напряжений узлов является тривиальной задачей.

Для некоторых общих элементов, где это невозможно, разрабатываются специализированные методы. Например, для цепей с независимыми источниками напряжения используется концепция, называемая суперузлом. ^[2]^{: 2-12 - 2-13}

Пометьте все узлы в схеме. Произвольно выберите любой узел в качестве опорного.
Определить переменную напряжения от каждого оставшегося узла до опорного. Эти переменные напряжения должны быть определены как повышения напряжения относительно опорного узла.
Напишите уравнение KCL для каждого узла, кроме опорного.
Решите полученную систему уравнений.

Анализ сетки

Сетка — контур, не содержащий внутреннего контура.

Подсчитайте количество «оконных стекол» в цепи. Назначьте ток сетки для каждого оконного стекла.
Запишите уравнение KVL для каждой сетки, ток которой неизвестен.
Решите полученные уравнения.

Суперпозиция

В этом методе вычисляется эффект каждого генератора по очереди. Все генераторы, кроме рассматриваемого, удаляются и либо замыкаются накоротко в случае генераторов напряжения, либо размыкаются в случае генераторов тока. Затем вычисляется общий ток или общее напряжение на конкретной ветви путем суммирования всех отдельных токов или напряжений.

В основе этого метода лежит предположение, что общий ток или напряжение являются линейной суперпозицией своих частей. Поэтому метод не может быть использован при наличии нелинейных компонентов. ^[2]^{: 6–14} Суперпозиция мощностей не может быть использована для нахождения общей мощности, потребляемой элементами даже в линейных цепях. Мощность изменяется в соответствии с квадратом общего напряжения или тока, а квадрат суммы обычно не равен сумме квадратов. Общая мощность в элементе может быть найдена путем применения суперпозиции к напряжениям и току независимо, а затем вычисления мощности из общего напряжения и тока.

Выбор метода

Выбор метода ^[3]^{: 112–113} в некоторой степени является делом вкуса. Если сеть особенно проста или требуется только определенный ток или напряжение, то применение ad-hoc некоторых простых эквивалентных схем может дать ответ без обращения к более систематическим методам.

Узловой анализ : количество переменных напряжения и, следовательно, одновременных уравнений для решения равно количеству узлов минус один. Каждый источник напряжения, подключенный к опорному узлу, уменьшает количество неизвестных и уравнений на единицу.
Анализ сетки : количество текущих переменных и, следовательно, одновременных уравнений для решения равно количеству сеток. Каждый источник тока в сетке уменьшает количество неизвестных на единицу. Анализ сетки можно использовать только с сетями, которые можно нарисовать как плоскую сеть, то есть без пересекающихся компонентов. ^[3]^{: 94}
Суперпозиция , возможно, является наиболее концептуально простым методом, но по мере увеличения размера сети она быстро приводит к большому количеству уравнений и запутанным комбинациям импедансов.
Эффективные средние приближения : Для сети, состоящей из высокой плотности случайных резисторов, точное решение для каждого отдельного элемента может быть непрактичным или невозможным. Вместо этого эффективное сопротивление и свойства распределения тока могут быть смоделированы в терминах графических мер и геометрических свойств сетей. ^[4]

Передаточная функция

Передаточная функция выражает связь между входом и выходом сети. Для резистивных сетей это всегда будет простое действительное число или выражение, которое сводится к действительному числу. Резистивные сети представлены системой одновременных алгебраических уравнений. Однако в общем случае линейных сетей сеть представлена системой одновременных линейных дифференциальных уравнений. В сетевом анализе, вместо того чтобы использовать дифференциальные уравнения напрямую, обычно сначала выполняют преобразование Лапласа , а затем выражают результат через параметр Лапласа s, который в общем случае является комплексным . Это описывается как работа в s-области . Работа с уравнениями напрямую будет описана как работа во временной (или t) области, потому что результаты будут выражены как изменяющиеся во времени величины. Преобразование Лапласа — это математический метод преобразования между s-областью и t-областью.

Такой подход является стандартным в теории управления и полезен для определения устойчивости системы, например, усилителя с обратной связью.

Две терминальные функции передачи компонентов

Для двух терминальных компонентов передаточная функция или, в более общем смысле, для нелинейных элементов, конститутивное уравнение , представляет собой соотношение между током, поступающим на устройство, и результирующим напряжением на нем. Таким образом, передаточная функция Z(s) будет иметь единицы импеданса, Ом. Для трех пассивных компонентов, обнаруженных в электрических сетях, передаточные функции следующие:

Для сети, к которой применяются только постоянные сигналы переменного тока, s заменяется на jω, и в результате получаются более знакомые значения из теории сетей переменного тока.

Наконец, для сети, к которой применяется только постоянный постоянный ток, s заменяется нулем и применяется теория сети постоянного тока.

Функция передачи двухполюсной сети

Передаточные функции, в общем, в теории управления обозначаются символом H(s). Чаще всего в электронике передаточная функция определяется как отношение выходного напряжения к входному напряжению и обозначается символом A(s) или, что более распространено (поскольку анализ неизменно выполняется в терминах синусоидальной характеристики), A ( jω ), так что; $A(j\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}$

A означает затухание или усиление, в зависимости от контекста. В общем случае это будет комплексная функция jω , которую можно вывести из анализа импедансов в сети и их индивидуальных передаточных функций. Иногда аналитика интересует только величина усиления, а не фазовый угол. В этом случае комплексные числа можно исключить из передаточной функции, и тогда ее можно записать как; $A(\omega )=\left|{\frac {V_{o}}{V_{i}}}\right|$

Два параметра порта

Концепция двухпортовой сети может быть полезна в сетевом анализе в качестве подхода черного ящика к анализу. Поведение двухпортовой сети в более крупной сети можно полностью охарактеризовать, не обязательно указывая что-либо о внутренней структуре. Однако для этого необходимо иметь больше информации, чем просто A(jω), описанное выше. Можно показать, что для полной характеристики двухпортовой сети требуются четыре таких параметра. Это могут быть прямая передаточная функция, входное сопротивление, обратная передаточная функция (т. е. напряжение, появляющееся на входе, когда напряжение подается на выход) и выходное сопротивление. Есть много других (см. основную статью для полного списка), один из них выражает все четыре параметра как импедансы. Обычно четыре параметра выражаются в виде матрицы; ${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z(j\omega )_{11}&z(j\omega )_{12}\\z(j\omega )_{21}&z(j\omega )_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{0}\end{bmatrix}}$

Матрицу можно сократить до репрезентативного элемента;

$\left[z(j\omega )\right]$ или просто $\left[z\right]$

Эти концепции могут быть расширены на сети с более чем двумя портами. Однако в реальности это делается редко, поскольку во многих практических случаях порты считаются либо чисто входными, либо чисто выходными. Если игнорировать функции передачи обратного направления, многопортовую сеть всегда можно разложить на ряд двухпортовых сетей.

Распределенные компоненты

Если сеть состоит из дискретных компонентов, анализ с использованием двухпортовых сетей является вопросом выбора, а не обязательным. Сеть всегда можно альтернативно проанализировать с точки зрения передаточных функций ее отдельных компонентов. Однако, если сеть содержит распределенные компоненты , например, в случае линии передачи , то анализ с точки зрения отдельных компонентов невозможен, поскольку они не существуют. Наиболее распространенный подход к этому — моделировать линию как двухпортовую сеть и характеризовать ее с помощью двухпортовых параметров (или чего-то эквивалентного им). Другим примером этой техники является моделирование носителей, пересекающих базовую область в высокочастотном транзисторе. Базовая область должна быть смоделирована как распределенное сопротивление и емкость, а не как сосредоточенные компоненты .

Анализ изображения

Линии передачи и некоторые типы конструкций фильтров используют метод изображения для определения своих параметров передачи. В этом методе рассматривается поведение бесконечно длинной каскадно соединенной цепи идентичных сетей. Затем для этой бесконечно длинной цепи вычисляются входные и выходные импедансы, а также прямые и обратные функции передачи. Хотя полученные таким образом теоретические значения никогда не могут быть точно реализованы на практике, во многих случаях они служат очень хорошим приближением для поведения конечной цепи, если только она не слишком коротка.

Анализ сети на основе времени с помощью моделирования

Большинство методов анализа вычисляют значения напряжения и тока для статических сетей, которые представляют собой схемы, состоящие только из компонентов без памяти, но испытывающие трудности со сложными динамическими сетями. В общем, уравнения, описывающие поведение динамической схемы, имеют форму дифференциально-алгебраической системы уравнений (ДАУ). ДАУ сложны для решения, и методы для этого еще не полностью изучены и разработаны (по состоянию на 2010 год). Кроме того, не существует общей теоремы, которая гарантирует, что решения ДАУ будут существовать и будут уникальными. ^[5]^{: 204–205} В особых случаях уравнения динамической схемы будут иметь форму обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые легче решать, поскольку численные методы решения ОДУ имеют богатую историю, восходящую к концу 1800-х годов. Одна из стратегий адаптации методов решения ОДУ к ДАУ называется прямой дискретизацией и является методом выбора при моделировании схем. ^[5]^{: 204-205}

Методы моделирования для анализа сетей на основе времени решают схему, которая ставится как задача начального значения (IVP). То есть значения компонентов с памятью (например, напряжения на конденсаторах и токи через индукторы) задаются в начальный момент времени $t 0$ , а анализ выполняется для времени . ^[5]^{: 206-207} Поскольку нахождение численных результатов для бесконечного числа временных точек от $t$ $0$ до $t$ $f$ невозможно, этот период времени дискретизируется на дискретные временные моменты, и численное решение находится для каждого момента. Время между временными моментами называется временным шагом и может быть фиксированным на протяжении всего моделирования или может быть адаптивным . $t_{0}\leq t\leq t_{f}$

В IVP при нахождении решения для времени $t n+1$ решение для времени $t n$ уже известно. Затем используется временная дискретизация для замены производных разностями, например, для обратного метода Эйлера , где $h$ $n+1$ — это временной шаг. ^[5]^{: 266} $x'(t_{n+1})\approx {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{h_{n+1}}}$

Если все компоненты схемы были линейными или схема была линеаризована заранее, то система уравнений в этой точке является системой линейных уравнений и решается с помощью численных методов линейной алгебры . В противном случае это нелинейная алгебраическая система уравнений и решается с помощью нелинейных численных методов, таких как алгоритмы поиска корней .

Сравнение с другими методами

Методы моделирования гораздо более применимы, чем методы на основе преобразования Лапласа , такие как передаточные функции, которые работают только для простых динамических сетей с конденсаторами и индукторами. Кроме того, входные сигналы в сеть не могут быть произвольно определены для методов на основе преобразования Лапласа.

Нелинейные сети

Большинство электронных конструкций, на самом деле, нелинейны. Очень немногие не включают в себя некоторые полупроводниковые приборы. Они неизменно нелинейны, передаточная функция идеального полупроводникового pn-перехода задается очень нелинейным соотношением;

i=I_{o}\left(e^{{v}/{V_{T}}}-1\right)

где;

i и v — мгновенные ток и напряжение.
I _o — произвольный параметр, называемый обратным током утечки, значение которого зависит от конструкции устройства.
V _T — параметр, пропорциональный температуре, называемый тепловым напряжением и равный примерно 25 мВ при комнатной температуре.

Существует много других способов, которыми нелинейность может появиться в сети. Все методы, использующие линейную суперпозицию, потерпят неудачу, если присутствуют нелинейные компоненты. Существует несколько вариантов борьбы с нелинейностью в зависимости от типа схемы и информации, которую аналитик хочет получить.

Уравнения состояния

Приведенное выше уравнение диода является примером уравнения состояния элемента общего вида:

f(v,i)=0

Это можно рассматривать как нелинейный резистор. Соответствующие уравнения состояния для нелинейных индукторов и конденсаторов соответственно;

f(v,\varphi )=0

f(v,q)=0

где f — любая произвольная функция, φ — сохраненный магнитный поток, а q — сохраненный заряд.

Существование, уникальность и стабильность

Важным соображением в нелинейном анализе является вопрос уникальности. Для сети, состоящей из линейных компонентов, всегда будет одно и только одно уникальное решение для заданного набора граничных условий. Это не всегда так в нелинейных цепях. Например, линейный резистор с фиксированным током, приложенным к нему, имеет только одно решение для напряжения на нем. С другой стороны, нелинейный туннельный диод имеет до трех решений для напряжения для заданного тока. То есть, частное решение для тока через диод не является уникальным, могут быть другие, в равной степени действительные. В некоторых случаях решения может вообще не быть: необходимо рассмотреть вопрос о существовании решений.

Другим важным соображением является вопрос стабильности. Конкретное решение может существовать, но оно может быть нестабильным, быстро отходя от этой точки при малейшей стимуляции. Можно показать, что сеть, которая абсолютно стабильна для всех условий, должна иметь одно и только одно решение для каждого набора условий. ^[6]

Методы

Булев анализ коммутационных сетей

Коммутационное устройство — это устройство, в котором нелинейность используется для создания двух противоположных состояний. Например, выходы КМОП-устройств в цифровых схемах подключены либо к положительной, либо к отрицательной шине питания, и они никогда не находятся где-либо посередине, за исключением переходного периода, когда устройство переключается. Здесь нелинейность спроектирована так, чтобы быть экстремальной, и аналитик может воспользоваться этим фактом. Такие сети можно анализировать с помощью булевой алгебры , назначая два состояния («вкл.»/«выкл.», «положительное»/«отрицательное» или любые другие используемые состояния) булевым константам «0» и «1».

Переходные процессы игнорируются в этом анализе, как и любое небольшое расхождение между состоянием устройства и номинальным состоянием, назначенным логическому значению. Например, логическое значение "1" может быть назначено состоянию +5 В. Выход устройства может быть +4,5 В, но аналитик все равно считает это логическим значением "1". Производители устройств обычно указывают в своих технических описаниях диапазон значений, которые следует считать неопределенными (т. е. результат будет непредсказуемым).

Переходные процессы не совсем неинтересны аналитику. Максимальная скорость переключения определяется скоростью перехода из одного состояния в другое. К счастью для аналитика, для многих устройств большая часть перехода происходит в линейной части передаточной функции устройства, и линейный анализ может быть применен для получения хотя бы приблизительного ответа.

Математически возможно вывести булевы алгебры , имеющие более двух состояний. В электронике они не нашли особого применения, хотя устройства с тремя состояниями встречаются довольно часто.

Разделение анализа смещения и сигнала

Этот метод используется, когда работа схемы должна быть по существу линейной, но устройства, используемые для ее реализации, нелинейны. Транзисторный усилитель является примером такого типа сети. Суть этого метода заключается в разделении анализа на две части. Во-первых, смещение постоянного тока анализируется с использованием некоторого нелинейного метода. Это устанавливает рабочую точку покоя схемы. Во-вторых, характеристики малого сигнала схемы анализируются с использованием линейного анализа сети. Примеры методов, которые могут быть использованы для обоих этих этапов, приведены ниже.

Графический метод анализа постоянного тока

В очень многих схемах смещение постоянного тока подается на нелинейный компонент через резистор (или, возможно, сеть резисторов). Поскольку резисторы являются линейными компонентами, особенно легко определить рабочую точку покоя нелинейного устройства из графика его передаточной функции. Метод заключается в следующем: из линейного анализа сети выходная передаточная функция (то есть выходное напряжение против выходного тока) рассчитывается для сети резисторов и генератора, который их питает. Это будет прямая линия (называемая линией нагрузки ) и ее можно легко наложить на график передаточной функции нелинейного устройства. Точка пересечения линий является рабочей точкой покоя.

Возможно, самый простой практический метод — рассчитать (линейное) напряжение холостого хода сети и ток короткого замыкания и нанести их на передаточную функцию нелинейного устройства. Прямая линия, соединяющая эти две точки, является передаточной функцией сети.

В действительности, разработчик схемы действовал бы в обратном направлении к описанному. Начиная с графика, предоставленного в техническом описании производителя для нелинейного устройства, разработчик выбирал бы желаемую рабочую точку, а затем вычислял бы значения линейных компонентов, необходимые для ее достижения.

Этот метод все еще можно использовать, если смещение смещаемого устройства подается через другое устройство, которое само по себе нелинейно, например, диод. Однако в этом случае график функции передачи сети на смещаемое устройство больше не будет прямой линией и, следовательно, его будет сложнее построить.

Эквивалентная схема малого сигнала

Этот метод может быть использован, когда отклонение входных и выходных сигналов в сети остается в пределах существенно линейной части передаточной функции нелинейных устройств или же настолько мало, что кривая передаточной функции может считаться линейной. При наборе этих конкретных условий нелинейное устройство может быть представлено эквивалентной линейной сетью. Следует помнить, что эта эквивалентная схема полностью условна и действительна только для малых отклонений сигнала. Она совершенно неприменима к смещению постоянного тока устройства.

Для простого двухполюсного устройства эквивалентная схема малого сигнала может состоять не более чем из двух компонентов. Сопротивление, равное наклону кривой v/i в рабочей точке (называемое динамическим сопротивлением), и касательная к кривой. Генератор, поскольку эта касательная, в общем случае, не будет проходить через начало координат. При большем количестве выводов требуются более сложные эквивалентные схемы.

Популярной формой указания малосигнальной эквивалентной схемы среди производителей транзисторов является использование параметров двухпортовой сети, известных как параметры [h] . Они представляют собой матрицу из четырех параметров, как и параметры [z], но в случае параметров [h] они представляют собой гибридную смесь импедансов, проводимостей, коэффициентов усиления тока и коэффициентов усиления напряжения. В этой модели трехконтактный транзистор считается двухпортовой сетью, один из его терминалов является общим для обоих портов. Параметры [h] существенно различаются в зависимости от того, какой терминал выбран в качестве общего. Наиболее важным параметром для транзисторов обычно является коэффициент усиления прямого тока, h ₂₁ , в конфигурации с общим эмиттером. В технических описаниях он обозначается как h _{fe .}

Эквивалентная схема малого сигнала в терминах двухпортовых параметров приводит к концепции зависимых генераторов. То есть, значение генератора напряжения или тока линейно зависит от напряжения или тока в другом месте цепи. Например, модель параметра [z] приводит к зависимым генераторам напряжения, как показано на этой диаграмме;

В двухпортовой параметрической эквивалентной схеме всегда будут зависимые генераторы. Это относится как к параметрам [h], так и к [z] и любому другому типу. Эти зависимости должны быть сохранены при разработке уравнений в более крупном линейном сетевом анализе.

Кусочно-линейный метод

В этом методе передаточная функция нелинейного устройства разбивается на области. Каждая из этих областей аппроксимируется прямой линией. Таким образом, передаточная функция будет линейной до определенной точки, где будет разрыв. После этой точки передаточная функция снова станет линейной, но с другим наклоном.

Хорошо известным применением этого метода является аппроксимация передаточной функции диода с pn-переходом. Передаточная функция идеального диода была приведена в верхней части этого (нелинейного) раздела. Однако эта формула редко используется в сетевом анализе, вместо этого используется кусочная аппроксимация. Видно, что ток диода быстро уменьшается до -I _o по мере падения напряжения. Этот ток для большинства целей настолько мал, что его можно игнорировать. С ростом напряжения ток увеличивается экспоненциально. Диод моделируется как разомкнутая цепь до колена экспоненциальной кривой, затем после этой точки как резистор, равный объемному сопротивлению полупроводникового материала.

Общепринятые значения напряжения точки перехода составляют 0,7 В для кремниевых приборов и 0,3 В для германиевых приборов. Еще более простая модель диода, иногда используемая в коммутационных приложениях, — это короткое замыкание для прямых напряжений и разомкнутая цепь для обратных напряжений.

Модель прямого смещения p-n-перехода, имеющего приблизительно постоянное напряжение 0,7 В, также часто используется в качестве приближения для напряжения перехода база-эмиттер транзистора при проектировании усилителей.

Кусочный метод похож на метод малого сигнала в том, что методы линейного анализа сети могут применяться только в том случае, если сигнал остается в определенных границах. Если сигнал пересекает точку разрыва, то модель больше не подходит для целей линейного анализа. Однако модель имеет преимущество перед малым сигналом в том, что она одинаково применима к сигналу и смещению постоянного тока. Поэтому их можно анализировать в одних и тех же операциях, и они будут линейно накладываться друг на друга.

Компоненты, изменяющиеся во времени

В линейном анализе предполагается, что компоненты сети не изменяются, но в некоторых схемах это не применимо, например, в генераторах качающейся частоты, усилителях с управлением напряжением и переменных эквалайзерах . Во многих случаях изменение значения компонента является периодическим. Например, нелинейный компонент, возбуждаемый периодическим сигналом, может быть представлен как периодически изменяющийся линейный компонент. Сидни Дарлингтон раскрыл метод анализа таких периодически изменяющихся во времени схем. Он разработал канонические формы схем, которые аналогичны каноническим формам Рональда М. Фостера и Вильгельма Кауэра, используемым для анализа линейных схем. ^[7]

Теория векторных цепей

Обобщение теории цепей, основанной на скалярных величинах, на векторные токи необходимо для новых развивающихся цепей, таких как спиновые цепи. ^{[ необходимо разъяснение ]} Обобщенные переменные цепи состоят из четырех компонентов: скалярного тока и векторного спинового тока в направлениях x, y и z. Напряжения и токи становятся векторными величинами с проводимостью, описанной как матрица спиновой проводимости 4x4. ^{[ необходима цитата ]}

Смотрите также

Ссылки

^ Белевич В (май 1962). «Краткое изложение истории теории цепей». Труды ИРЭ . 50 (5): 849. doi :10.1109/JRPROC.1962.288301. S2CID 51666316.цитирует "Стандарты IRE по схемам: определения терминов для линейных пассивных взаимных сетей с постоянной длительности, 1960". Труды IRE . 48 (9): 1609. Сентябрь 1960. doi :10.1109/JRPROC.1960.287676.для обоснования этого определения.
Сидни Дарлингтон Дарлингтон С. (1984). «История синтеза сетей и теория фильтров для схем, состоящих из резисторов, индукторов и конденсаторов». Труды IEEE по схемам и системам . 31 (1): 4. doi :10.1109/TCS.1984.1085415.
следует за Белевичем, но отмечает, что в настоящее время существует также много разговорных вариантов использования слова «сеть».
^ abcd Чен, Вай-Кай (2005). Анализ цепей и теория усилителей с обратной связью . CRC Press. ISBN 1420037277.
^ ab Нильссон, Джеймс В.; Ридель, Сьюзен А. (2007). Электрические цепи (8-е изд.). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.
^ Кумар, Анкуш; Видхьядхираджа, Н. С.; Кулкарни, Г. У. (2017). «Распределение тока в проводящих нанопроволочных сетях». Журнал прикладной физики . 122 (4): 045101. Bibcode : 2017JAP...122d5101K. doi : 10.1063/1.4985792.
^ abcd Наджм, Фарид Н. (2010). Моделирование цепей . John Wiley & Sons. ISBN 9780470538715.
^ Лилиана Трайкович, «Нелинейные цепи», The Electrical Engineering Handbook (ред.: Wai-Kai Chen), стр. 79–81, Academic Press, 2005 ISBN 0-12-170960-4
^ Патент США 3265973, Сидней Дарлингтон, Ирвин В. Сандберг, «Синтез двухполюсников с периодически изменяющимися во времени элементами», выдан 09.08.1966

Внешние ссылки

Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 22: Цепи переменного тока