Равномерная сходимость

Режим сходимости последовательности функций

Последовательность функций сходится равномерно к , когда для произвольно малого существует индекс такой, что график функции находится в -трубке вокруг f всякий раз, когда ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n\geq N.}$

Предел последовательности непрерывных функций не обязательно должен быть непрерывным: последовательность функций (отмечена зеленым и синим цветом) сходится поточечно во всей области определения, но предельная функция является разрывной (отмечена красным цветом). ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)}$

В математической области анализа равномерная сходимость — это режим сходимости функций, более сильный, чем поточечная сходимость . Последовательность функций равномерно сходится к предельной функции на множестве как области определения функции, если для любого произвольно малого положительного числа можно найти число, такое, что каждая из функций отличается от не более чем на в каждой точке в . Описывая это неформально, если сходится к равномерно, то насколько быстро функции приближаются, является «равномерным» на всем протяжении в следующем смысле: чтобы гарантировать, что отличается от менее чем на выбранное расстояние , нам нужно только убедиться, что больше или равно определенному , которое мы можем найти, не зная заранее значения . Другими словами, существует число , которое может зависеть от , но не зависит от , такое, что выбор гарантирует, что для всех . Напротив, поточечная сходимость к просто гарантирует, что для любого заранее заданного значения мы можем найти (т.е. можем зависеть от значений как и ) такое, что для этого конкретного , попадает в пределы всякий раз, когда (а другое может потребовать другого, большего для , чтобы гарантировать, что ). ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$

Разница между равномерной сходимостью и поточечной сходимостью не была полностью оценена в начале истории исчисления, что приводило к случаям ошибочных рассуждений. Концепция, впервые формализованная Карлом Вейерштрассом , важна, поскольку несколько свойств функций , таких как непрерывность , интегрируемость по Риману и, с дополнительными гипотезами, дифференцируемость , переносятся в предел, если сходимость равномерна, но не обязательно, если сходимость неравномерна. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

История

В 1821 году Огюстен-Луи Коши опубликовал доказательство того, что сходящаяся сумма непрерывных функций всегда непрерывна, к которому Нильс Хенрик Абель в 1826 году нашел предполагаемые контрпримеры в контексте рядов Фурье , утверждая, что доказательство Коши должно было быть неверным. Полностью стандартных понятий сходимости в то время не существовало, и Коши обрабатывал сходимость, используя бесконечно малые методы. Если перевести на современный язык, то то, что доказал Коши, заключается в том, что равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций имеет непрерывный предел. Неспособность просто поточечно сходящегося предела непрерывных функций сходиться к непрерывной функции иллюстрирует важность различения различных типов сходимости при обработке последовательностей функций. ^[1]

Термин «равномерная сходимость» был, вероятно, впервые использован Кристофом Гудерманном в статье 1838 года об эллиптических функциях , где он использовал фразу «сходимость равномерным образом», когда «способ сходимости» ряда не зависит от переменных , и хотя он считал «замечательным фактом», когда ряд сходится таким образом, он не дал формального определения и не использовал это свойство ни в одном из своих доказательств. ^[2] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi .}$

Позже ученик Гудермана Карл Вейерштрасс , посещавший его курс по эллиптическим функциям в 1839–1840 годах, ввел термин gleichmäßig konvergent ( нем . равномерно сходящийся ), который он использовал в своей статье 1841 года Zur Theorie der Potenzreihen , опубликованной в 1894 году. Независимо друг от друга схожие концепции были сформулированы Филиппом Людвигом фон Зайделем ^[3] и Джорджем Габриэлем Стоксом . GH Hardy сравнивает три определения в своей статье «Сэр Джордж Стокс и концепция равномерной сходимости» и замечает: «Открытие Вейерштрасса было самым ранним, и он один полностью осознал его далеко идущее значение как одной из фундаментальных идей анализа».

Под влиянием Вейерштрасса и Бернхарда Римана эта концепция и связанные с ней вопросы интенсивно изучались в конце XIX века Германом Ганкелем , Полем дю Буа-Реймоном , Улиссом Дини , Чезаре Арцелой и другими.

Определение

Сначала мы определим равномерную сходимость для вещественных функций , хотя эта концепция легко обобщается на функции, отображающиеся в метрические пространства и, в более общем смысле, на равномерные пространства (см. ниже).

Предположим, что есть множество и есть последовательность вещественных функций на нем. Мы говорим, что последовательность равномерно сходится на с пределом , если для каждого существует натуральное число такое, что для всех и для всех ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$

Обозначение равномерной сходимости к не совсем стандартизировано, и разные авторы использовали различные символы, в том числе (в примерном порядке убывания популярности): ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}$

Часто специальный символ не используется, и авторы просто пишут

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }$

чтобы указать, что сходимость равномерна. (В отличие от этого, выражение на без наречия означает поточечную сходимость на : для всех , так как .) ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Поскольку является полным метрическим пространством , критерий Коши можно использовать для получения эквивалентной альтернативной формулировки для равномерной сходимости: сходится равномерно на (в предыдущем смысле) тогда и только тогда , когда для каждого существует натуральное число такое, что ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }$.

В еще одной эквивалентной формулировке, если мы определим

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}|f_{n}(x)-f(x)|,}$

то сходится к равномерно тогда и только тогда, когда как . Таким образом, мы можем охарактеризовать равномерную сходимость на как (простую) сходимость в функциональном пространстве относительно равномерной метрики (также называемой метрикой супремума ), определяемой как ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d_{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$

Символично,

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}$.

Говорят, что последовательность локально равномерно сходитс я с пределом, если — метрическое пространство и для каждого существует такое , что сходится равномерно на Ясно, что равномерная сходимость влечет локальную равномерную сходимость, которая влечет поточечную сходимость. ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle B(x,r)\cap E.}$

Примечания

Интуитивно понятно, что последовательность функций равномерно сходится к , если для произвольно малого значения можно найти такое , что все функции попадут в «трубу» шириной с центром около (т. е. между и ) для всей области определения функции. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle 2\epsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)-\epsilon }$ ${\displaystyle f(x)+\epsilon }$

Обратите внимание, что перестановка порядка квантификаторов в определении равномерной сходимости путем перемещения «для всех » перед «существует натуральное число » приводит к определению поточечной сходимости последовательности. Чтобы сделать это различие явным, в случае равномерной сходимости может зависеть только от , и выбор должен работать для всех , для конкретного значения , которое задано. Напротив, в случае поточечной сходимости может зависеть как от , так и от , и выбор должен работать только для конкретных значений и , которые заданы. Таким образом, равномерная сходимость подразумевает поточечную сходимость, однако обратное неверно, как иллюстрирует пример в разделе ниже. ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$

Обобщения

Можно напрямую распространить эту концепцию на функции E → M , где ( M , d ) — метрическое пространство , заменив на . ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$ ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$

Наиболее общей установкой является равномерная сходимость сетей функций E → X , где X — равномерное пространство . Мы говорим, что сеть сходится равномерно с пределом f  : E → X тогда и только тогда, когда для любого окружения V в X существует , такое, что для любого x из E и любого , находится в V . В этой ситуации равномерный предел непрерывных функций остается непрерывным. ${\displaystyle (f_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$ ${\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}$

Определение в гиперреальной обстановке

Равномерная сходимость допускает упрощенное определение в гиперреальной обстановке. Таким образом, последовательность сходится к f равномерно, если для всех гиперреальных x в области и всех бесконечных n , бесконечно близка к (см. микронепрерывность для похожего определения равномерной непрерывности). Напротив, точечная непрерывность требует этого только для вещественного x . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(x)}$

Примеры

Для , базовый пример равномерной сходимости можно проиллюстрировать следующим образом: последовательность сходится равномерно, в то время как не сходится. В частности, предположим . Каждая функция меньше или равна , когда , независимо от значения . С другой стороны, меньше или равна только при все возрастающих значениях , когда значения выбираются все ближе и ближе к 1 (более подробно объяснено ниже). ${\displaystyle x\in [0,1)}$ ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon =1/4}$ ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Если задано топологическое пространство X , то мы можем снабдить пространство ограниченных действительных или комплексных -значных функций над X топологией равномерной нормы с равномерной метрикой, определяемой соотношением

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|.}$

Тогда равномерная сходимость просто означает сходимость в топологии равномерной нормы :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$.

Последовательность функций ${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

является классическим примером последовательности функций, которая сходится к функции поточечно, но не равномерно. Чтобы показать это, мы сначала заметим, что точечный предел как есть функция , заданная как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\1,&x=1.\end{cases}}}$

Поточечная сходимость: Сходимость тривиальна для и , так как и , для всех . Для и заданных , мы можем гарантировать, что всякий раз, выбирая , который является минимальным целым показателем степени , что позволяет ему достичь или опуститься ниже (здесь верхние квадратные скобки указывают на округление вверх, см. функцию потолка ). Следовательно, поточечная для всех . Обратите внимание, что выбор зависит от значения и . Более того, для фиксированного выбора , (который не может быть определен как меньший) растет без ограничений по мере приближения к 1. Эти наблюдения исключают возможность равномерной сходимости. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$ ${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$

Неравномерность сходимости: Сходимость неравномерна, потому что мы можем найти так , что независимо от того, насколько большим мы выберем, будут такие значения и , что Чтобы увидеть это, сначала заметим, что независимо от того, насколько большим становится, всегда есть такое, что Таким образом, если мы выберем, мы никогда не сможем найти такое, что для всех и . Явно, какой бы кандидат мы ни выбрали для , рассмотрим значение при . Так как ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$ ${\displaystyle \epsilon =1/4,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}}$

${\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

кандидат терпит неудачу, потому что мы нашли пример , который «избежал» нашей попытки «ограничить» каждый в пределах для всех . На самом деле, легко увидеть, что ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

вопреки требованию, что если . ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

В этом примере легко увидеть, что поточечная сходимость не сохраняет дифференцируемость или непрерывность. В то время как каждая функция последовательности является гладкой, то есть для всех n , , предел даже не является непрерывным. ${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$

Экспоненциальная функция

Используя М-тест Вейерштрасса, можно показать, что разложение показательной функции в ряд равномерно сходится на любом ограниченном подмножестве . ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$

Теорема (М-тест Вейерштрасса). Пусть — последовательность функций и пусть — последовательность положительных действительных чисел такая, что для всех и Если сходится, то сходится абсолютно и равномерно на . ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$ ${\displaystyle E}$

Сложную показательную функцию можно выразить в виде ряда:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Любое ограниченное подмножество является подмножеством некоторого круга радиуса с центром в начале координат в комплексной плоскости . Тест Вейерштрасса M требует от нас нахождения верхней границы для членов ряда, независимо от положения в круге: ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

Для этого мы замечаем

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

и возьми ${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

Если сходится, то М-тест утверждает, что исходный ряд равномерно сходится. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$

Здесь можно использовать тест соотношения :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

что означает, что ряд по сходится. Таким образом, исходный ряд сходится равномерно для всех и поскольку , ряд также равномерно сходится на ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle z\in D_{R},}$ ${\displaystyle S\subset D_{R}}$ ${\displaystyle S.}$

Характеристики

• Каждая равномерно сходящаяся последовательность локально равномерно сходится.
• Каждая локально равномерно сходящаяся последовательность является компактно сходящейся .
• Для локально компактных пространств локальная равномерная сходимость и компактная сходимость совпадают.
• Последовательность непрерывных функций на метрических пространствах, образ метрического пространства которых является полным, равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равномерно совпадает с функцией Коши .
• Если — компактный интервал (или, в общем случае, компактное топологическое пространство), а — монотонно возрастающая последовательность (имеется в виду для всех n и x ) непрерывных функций с поточечным пределом , который также непрерывен, то сходимость обязательно равномерная ( теорема Дини ). Равномерная сходимость также гарантируется, если — компактный интервал, а — равностепенно непрерывная последовательность, сходящаяся поточечно. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (f_{n})}$

Приложения

К преемственности

Контрпример к усилению теоремы о равномерной сходимости, в которой предполагается поточечная сходимость, а не равномерная. Непрерывные зеленые функции сходятся к прерывистой красной функции. Это может произойти только в том случае, если сходимость не равномерна. ${\displaystyle \sin ^{n}(x)}$

Если и являются топологическими пространствами , то имеет смысл говорить о непрерывности функций . Если мы далее предположим, что является метрическим пространством , то (равномерная) сходимость к также хорошо определена. Следующий результат утверждает, что непрерывность сохраняется равномерной сходимостью: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n},f:E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Равномерная предельная теорема  —  Предположим , что является топологическим пространством, является метрическим пространством и является последовательностью непрерывных функций . Если на , то также является непрерывным. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}:E\to M}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$

Эта теорема доказывается с помощью « трюка ε/3 » и является архетипическим примером этого трюка: чтобы доказать заданное неравенство ( ε ), используются определения непрерывности и равномерной сходимости для получения трех неравенств ( ε/3 ), а затем они объединяются с помощью неравенства треугольника для получения требуемого неравенства.

Доказательство

Пусть — произвольная точка. Докажем, что непрерывна в . Пусть . По равномерной сходимости существует натуральное число такое, что ${\displaystyle x_{0}\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \forall x\in E\quad d(f_{N}(x),f(x))\leq {\tfrac {\varepsilon }{3}}}$

(равномерная сходимость показывает, что приведенное выше утверждение верно для всех , но мы будем использовать его только для одной функции последовательности, а именно ). ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle f_{N}}$

Из непрерывности в следует , что существует открытое множество , содержащее такое, что ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle x_{0}\in E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \forall x\in U\quad d(f_{N}(x),f_{N}(x_{0}))\leq {\tfrac {\varepsilon }{3}}}$.

Следовательно, используя неравенство треугольника ,

${\displaystyle \forall x\in U\quad d(f(x),f(x_{0}))\leq d(f(x),f_{N}(x))+d(f_{N}(x),f_{N}(x_{0}))+d(f_{N}(x_{0}),f(x_{0}))\leq \varepsilon }$,

что дает нам непрерывность при . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \quad \square }$

Эта теорема является важной в истории вещественного и Фурье-анализа, поскольку многие математики 18-го века интуитивно понимали, что последовательность непрерывных функций всегда сходится к непрерывной функции. Изображение выше показывает контрпример, и многие разрывные функции могли бы быть, на самом деле, записаны в виде ряда Фурье непрерывных функций. Ошибочное утверждение, что поточечный предел последовательности непрерывных функций является непрерывным (первоначально сформулированное в терминах сходящихся рядов непрерывных функций), печально известно как «неправильная теорема Коши». Равномерная предельная теорема показывает, что для обеспечения сохранения непрерывности предельной функции необходима более сильная форма сходимости, равномерная сходимость.

Точнее, эта теорема утверждает, что равномерный предел равномерно непрерывных функций равномерно непрерывен; для локально компактного пространства непрерывность эквивалентна локально равномерной непрерывности, и, таким образом, равномерный предел непрерывных функций непрерывен.

К дифференцируемости

Если — интервал и все функции дифференцируемы и сходятся к пределу , часто желательно определить производную функцию , взяв предел последовательности . Однако в общем случае это невозможно: даже если сходимость равномерна, предельная функция не обязательно должна быть дифференцируемой (даже если последовательность состоит из всюду аналитических функций , см. функцию Вейерштрасса ), и даже если она дифференцируема, производная предельной функции не обязательно должна быть равна пределу производных. Рассмотрим, например, с равномерным пределом . Очевидно, также тождественно равен нулю. Однако производные последовательности функций задаются как и последовательность не сходится ни к какой функции вообще. Чтобы обеспечить связь между пределом последовательности дифференцируемых функций и пределом последовательности производных, требуется равномерная сходимость последовательности производных плюс сходимость последовательности функций хотя бы в одной точке: ^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle f',}$

Если — последовательность дифференцируемых функций на такая, что существует (и конечна) для некоторого и последовательность сходится равномерно на , то сходится равномерно к функции на , и для . ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ ${\displaystyle (f'_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$

К интегрируемости

Аналогично, часто требуется поменять интегралы и предельные процессы. Для интеграла Римана это можно сделать, если предположить равномерную сходимость:

Если — последовательность интегрируемых по Риману функций, определённых на компактном интервале и равномерно сходящихся с пределом , то интегрируема по Риману и её интеграл может быть вычислен как предел интегралов : ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ $${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$$

Фактически, для равномерно сходящегося семейства ограниченных функций на интервале верхний и нижний интегралы Римана сходятся к верхнему и нижнему интегралам Римана предельной функции. Это следует из того, что при достаточно большом n график находится в пределах ε графика f , и поэтому верхняя сумма и нижняя сумма находятся в пределах значений верхней и нижней сумм , соответственно. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon |I|}$ ${\displaystyle f}$

Гораздо более сильные теоремы в этом отношении, требующие не более чем поточечной сходимости, можно получить, если отказаться от интеграла Римана и вместо этого использовать интеграл Лебега .

К аналитичности

Используя теорему Мореры , можно показать, что если последовательность аналитических функций сходится равномерно в области S комплексной плоскости, то предел является аналитическим в S. Этот пример показывает, что комплексные функции ведут себя более правильно, чем действительные функции, поскольку равномерный предел аналитических функций на действительном интервале не обязательно должен быть дифференцируемым (см. Функция Вейерштрасса ).

К серии

Мы говорим, что сходится: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

1. поточечно на E тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм сходится для каждого . ${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)}$ ${\displaystyle x\in E}$
2. равномерно на E тогда и только тогда, когда s _n сходится равномерно при . ${\displaystyle n\to \infty }$
3. абсолютно на E тогда и только тогда, когда сходится для каждого . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}$ ${\displaystyle x\in E}$

Из этого определения следует следующий результат:

Пусть x ₀ содержится во множестве E и каждая f _n непрерывна в точке x ₀ . Если сходится равномерно на E , то f непрерывна в точке x ₀ в E . Предположим, что и каждая f _n интегрируема на E . Если сходится равномерно на E , то f интегрируема на E и ряд интегралов от f _n равен интегралу ряда от f _n . ${\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ ${\displaystyle E=[a,b]}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

Почти равномерная сходимость

Если областью определения функций является пространство меры E , то можно определить связанное с ним понятие почти равномерной сходимости . Мы говорим, что последовательность функций сходится почти равномерно на E , если для каждого существует измеримое множество с мерой меньше, чем такое, что последовательность функций сходится равномерно на . Другими словами, почти равномерная сходимость означает, что существуют множества произвольно малой меры, для которых последовательность функций сходится равномерно на их дополнении. ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle E_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$

Обратите внимание, что почти равномерная сходимость последовательности не означает, что последовательность сходится равномерно почти всюду, как можно было бы вывести из названия. Однако теорема Егорова гарантирует, что на пространстве с конечной мерой последовательность функций, которая сходится почти всюду , также сходится почти равномерно на том же множестве.

Почти равномерная сходимость подразумевает сходимость почти всюду и сходимость по мере .

Смотрите также

• Равномерная сходимость по вероятности
• Режимы конвергенции (аннотированный индекс)
• Теорема Дини
• Теорема Арцела–Асколи

Примечания

1. Соренсен, Хенрик Краг (2005). «Исключения и контрпримеры: понимание комментария Абеля к теореме Коши». История Математики . 32 (4): 453–480. дои : 10.1016/j.hm.2004.11.010.
2. Jahnke, Hans Niels (2003). "6.7 Основы анализа в 19 веке: Вейерштрасс". История анализа . AMS Bookstore. стр. 184. ISBN 978-0-8218-2623-2.
3. Лакатос, Имре (1976). Доказательства и опровержения . Cambridge University Press. С. 141. ISBN 978-0-521-21078-2.
4. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа 3-е издание, теорема 7.17. McGraw-Hill: Нью-Йорк.

Ссылки

• Конрад Кнопп , Теория и применение бесконечных рядов ; Blackie and Son, Лондон, 1954, перепечатано Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2 . 
• GH Hardy , Сэр Джордж Стокс и концепция равномерной конвергенции ; Труды Кембриджского философского общества , 19 , стр. 148–156 (1918)
• Бурбаки ; Элементы математики: Общая топология. Главы 5–10 (мягкая обложка) ; ISBN 0-387-19374-X 
• Уолтер Рудин , Принципы математического анализа , 3-е изд., McGraw–Hill, 1976.
• Джеральд Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их применение, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• Уильям Уэйд, Введение в анализ , 3-е изд., Пирсон, 2005 г.

Внешние ссылки

«Равномерная сходимость», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

• Графические примеры равномерной сходимости рядов Фурье из Университета Колорадо