Подсчет — это процесс определения количества элементов конечного множества объектов ; то есть определение размера множества. Традиционный способ подсчета состоит в постоянном увеличении (мысленного или устного) счетчика на единицу для каждого элемента множества в некотором порядке, при этом отмечая (или перемещая) эти элементы , чтобы избежать посещения одного и того же элемента более одного раза, пока не останется неотмеченных элементов; если счетчик был установлен на единицу после первого объекта, значение после посещения конечного объекта дает желаемое количество элементов. Связанный термин перечисление относится к уникальной идентификации элементов конечного (комбинаторного) множества или бесконечного множества путем присвоения номера каждому элементу.
Иногда при счете используются числа, отличные от единицы; например, при подсчете денег, отсчете мелочи, «счете по двое» (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) или «счете по пятеркам» (5, 10, 15, 20, 25, ...).
Существуют археологические свидетельства, свидетельствующие о том, что люди занимаются подсчетом уже по меньшей мере 50 000 лет. [1] Счет в основном использовался древними культурами для учета социальных и экономических данных, таких как количество членов группы, животных-жертв, имущества или долгов (то есть бухгалтерский учет ). В пещерах Бордер-Кейвс в Южной Африке также были найдены кости с зазубринами, что может указывать на то, что концепция подсчета была известна людям еще в 44 000 году до нашей эры. [2] Развитие счета привело к развитию математической нотации , систем счисления и письма .
Вербальный счет подразумевает произнесение последовательных чисел вслух или в уме для отслеживания прогресса. Обычно такой счет выполняется с использованием чисел с основанием 10 : «1, 2, 3, 4» и т. д. Вербальный счет часто используется для объектов, которые присутствуют в данный момент, а не для подсчета вещей с течением времени, поскольку после прерывания счет должен возобновиться с того места, на котором он был прерван, числа, которое необходимо записать или запомнить.
Подсчет небольшого набора объектов, особенно с течением времени, можно эффективно выполнить с помощью подсчетных меток : делая отметку для каждого числа, а затем подсчитывая все отметки после подсчета. Подсчет ведется по основанию 1 .
Счет по пальцам удобен и распространен для небольших чисел. Дети считают по пальцам, чтобы облегчить подсчет и выполнить простые математические операции. Более старые методы счета по пальцам использовали четыре пальца и три кости в каждом пальце ( фаланги ) для счета до двенадцати. [3] Также используются другие системы жестов рук, например, китайская система, с помощью которой можно считать до 10, используя только жесты одной руки. С помощью двоичной системы пальцев можно вести счет пальцев до 1023 = 2 10 − 1 .
Для облегчения подсчета можно также использовать различные приспособления, такие как счеты и абаки .
Включительный/исключительный подсчет — это два разных метода подсчета. Для исключающего подсчета единичные интервалы подсчитываются в конце каждого интервала. Для инклюзивного подсчета единичные интервалы подсчитываются, начиная с начала первого интервала и заканчивая концом последнего интервала. Это приводит к подсчету, который всегда больше на единицу при использовании инклюзивного подсчета по сравнению с использованием исключающего подсчета для одного и того же набора. По-видимому, введение числа ноль на числовой прямой решило эту трудность; однако инклюзивный подсчет все еще полезен для некоторых вещей.
См. также ошибку «fencepost error» , которая является разновидностью ошибки «off-na-one-off» .
Однако использование современного математического английского языка внесло еще одну трудность. Поскольку обычно молчаливо предполагается исключительный подсчет, термин «включительно» обычно используется в отношении набора, который фактически подсчитывается исключительно. Например: Сколько чисел включено в набор, который находится в диапазоне от 3 до 8 включительно? Набор подсчитывается исключительно, как только диапазон набора был определен с помощью слова «включительно». Ответ — 6; то есть 8-3+1, где корректировка диапазона +1 делает скорректированный исключительный подсчет численно эквивалентным включительному подсчету, даже если диапазон включительного подсчета не включает интервал единиц числа восемь. Таким образом, необходимо различать разницу в использовании между терминами «включительный подсчет» и «включительно» или «включительно», и нужно признать, что не редкость, когда первый термин вольно используется для последнего процесса.
Включительный подсчет обычно встречается при работе со временем в римских календарях и романских языках . [4] В древнеримском календаре ноны (что означает «девять») составляют 8 дней перед идами ; в более общем смысле даты указываются как включительно подсчитанные дни до следующего названного дня. [ 4]
В христианском литургическом календаре Quinquagesima ( что означает 50) — это 49 дней до Пасхального воскресенья. При подсчете «включительно» воскресенье (начальный день) будет первым днем, и, следовательно, следующее воскресенье будет восьмым днем . Например, французское выражение для « двухнедельника » — quinzaine (15 [дней]), и похожие слова присутствуют в греческом (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero ), испанском ( quincena ) и португальском ( quinzena ).
Напротив, само английское слово «fortnight» происходит от «a fourteen-night», как архаичное «sennight» происходит от «a seven-night»; английские слова не являются примерами инклюзивного подсчета. В языках с исключительным подсчетом, таких как английский, при подсчете восьми дней «от воскресенья», понедельник будет первым днем , вторник — вторым днем , а следующий понедельник — восьмым днем . [ необходима цитата ] В течение многих лет в английском праве было стандартной практикой , когда фраза «from a date» означала «начиная со дня после этой даты»: эта практика теперь устарела из-за высокого риска неправильного понимания. [5]
Похожий подсчет ведется в восточноазиатском исчислении возраста , где новорожденным при рождении присваивается возраст 1 год.
В музыкальной терминологии также используется включительный подсчет интервалов между нотами стандартной гаммы: подъем на одну ноту — это второй интервал, подъем на две ноты — это третий интервал и т. д., а подъем на семь нот — это октава .
Обучение счету является важной образовательной/развивающей вехой в большинстве культур мира. Обучение счету является самым первым шагом ребенка в математике и представляет собой самую фундаментальную идею этой дисциплины. Однако некоторые культуры в Амазонии и австралийской глубинке не считают, [6] [7] и в их языках нет слов для обозначения чисел.
Многие дети в возрасте всего лишь 2 лет уже умеют перечислять числительные (то есть говорить «один, два, три, ...»). Они также могут отвечать на вопросы о порядковом порядке для небольших чисел, например, «Что идет после трех ?». Они даже могут уметь указывать на каждый объект в наборе и перечислять слова одно за другим. Это приводит многих родителей и педагогов к выводу, что ребенок знает, как использовать счет для определения размера набора. [8] Исследования показывают, что требуется около года после обучения этим навыкам, чтобы ребенок понял, что они означают и почему выполняются процедуры. [9] [10] Тем временем дети учатся называть мощности, которые они могут субитизировать .
В математике суть подсчета множества и нахождения результата n заключается в том, что он устанавливает взаимно-однозначное соответствие (или биекцию) рассматриваемого множества с подмножеством положительных целых чисел {1, 2, ..., n }. Фундаментальный факт, который может быть доказан методом математической индукции , заключается в том, что между {1, 2, ..., n } и {1, 2, ..., m } не может существовать никакой биекции, если только n = m ; этот факт (вместе с тем фактом, что две биекции могут быть составлены для получения другой биекции) гарантирует, что подсчет одного и того же множества разными способами никогда не может привести к разным числам (если только не будет допущена ошибка). Это фундаментальная математическая теорема, которая дает подсчету его цель; как бы вы ни подсчитывали (конечное) множество, ответ будет тем же. В более широком контексте эта теорема является примером теоремы в математической области (конечной) комбинаторики — поэтому (конечную) комбинаторику иногда называют «математикой подсчета».
Многие множества, возникающие в математике, не позволяют установить биекцию с {1, 2, ..., n } для любого натурального числа n ; они называются бесконечными множествами , в то время как те множества, для которых такая биекция существует (для некоторого n ), называются конечными множествами . Бесконечные множества не могут быть подсчитаны в обычном смысле; с одной стороны, математические теоремы, которые лежат в основе этого обычного смысла для конечных множеств, ложны для бесконечных множеств. Более того, различные определения понятий, в терминах которых эти теоремы сформулированы, хотя и эквивалентны для конечных множеств, неэквивалентны в контексте бесконечных множеств.
Понятие подсчета может быть распространено на них в смысле установления (существования) биекции с некоторым хорошо понятным множеством. Например, если множество можно привести в биекцию с множеством всех натуральных чисел, то оно называется « счетно бесконечным ». Этот вид подсчета принципиально отличается от подсчета конечных множеств тем, что добавление новых элементов к множеству не обязательно увеличивает его размер, поскольку возможность биекции с исходным множеством не исключается. Например, множество всех целых чисел (включая отрицательные числа) можно привести в биекцию с множеством натуральных чисел, и даже, казалось бы, гораздо большие множества, такие как множество всех конечных последовательностей рациональных чисел, все еще (только) счетно бесконечны. Тем не менее, существуют множества, такие как множество действительных чисел , которые, как можно показать, «слишком велики», чтобы допускать биекцию с натуральными числами, и эти множества называются « несчетными ». Множества, для которых существует биекция между ними, называются имеющими одинаковую мощность , и в самом общем смысле подсчет множества можно понимать как определение его мощности. Помимо мощностей, заданных каждым из натуральных чисел, существует бесконечная иерархия бесконечных мощностей, хотя только очень немногие такие мощности встречаются в обычной математике (то есть за пределами теории множеств , которая явно изучает возможные мощности).
Подсчет, в основном конечных множеств, имеет различные приложения в математике. Один важный принцип заключается в том, что если два множества X и Y имеют одинаковое конечное число элементов, а функция f : X → Y известна как инъективная , то она также сюръективна , и наоборот. Связанный факт известен как принцип ящика , который гласит, что если два множества X и Y имеют конечное число элементов n и m с n > m , то любое отображение f : X → Y не является инъективным (поэтому существуют два различных элемента X , которые f отправляет в один и тот же элемент Y ); это следует из первого принципа, поскольку если f был инъективным, то таковым было бы и его ограничение на строгое подмножество S из X с m элементами, и это ограничение тогда было бы сюръективным, что противоречит тому факту, что для x в X вне S , f ( x ) не может быть в образе ограничения. Подобные аргументы подсчета могут доказать существование определенных объектов без явного предоставления примера. В случае бесконечных множеств это может применяться даже в ситуациях, когда невозможно привести пример. [ необходима цитата ]
Область перечислительной комбинаторики занимается вычислением числа элементов конечных множеств без их фактического подсчета; последнее обычно невозможно, поскольку одновременно рассматриваются бесконечные семейства конечных множеств, такие как множество перестановок {1, 2, ..., n } для любого натурального числа n .