Счётно компактное пространство

В математике топологическое пространство называется счётно компактным, если каждое счётное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.

Эквивалентные определения

Топологическое пространство X называется счетно компактным , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^{[1] [2]}

(1) Каждое счетное открытое покрытие X имеет конечное подпокрытие.

( 2) Каждое бесконечное множество A в X имеет точку ω-накопления в X.

( 3) Каждая последовательность в X имеет точку накопления в X.

(4) Каждое счетное семейство замкнутых подмножеств X с пустым пересечением имеет конечное подсемейство с пустым пересечением.

Примеры

• Первый несчетный ординал (с топологией порядка ) является примером счетно компактного пространства, которое не является компактным. ^[3]

Характеристики

• Каждое компактное пространство счетно компактно.
• Счётно компактное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно линделёфово .
• Каждое счетно компактное пространство является компактным в предельной точке .
• Для пространств T1 счетная компактность и компактность предельной точки эквивалентны.
• Каждое последовательно компактное пространство является счетно компактным. ^[4] Обратное не верно. Например, произведение континуума -множества замкнутых интервалов с топологией произведения является компактным и, следовательно, счетно компактным; но оно не является последовательно компактным. ^[5] ${\displaystyle [0,1]}$
• Для пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счетности , счетная компактность и секвенциальная компактность эквивалентны. ^[6] В более общем смысле, то же самое справедливо и для секвенциальных пространств . ^[7]
• Для метризуемых пространств счетная компактность, секвенциальная компактность, компактность предельной точки и компактность эквивалентны.
• Пример множества всех действительных чисел со стандартной топологией показывает, что ни локальная компактность , ни σ-компактность , ни паракомпактность не влекут счетную компактность.
• Замкнутые подпространства счетно компактного пространства счетно компактны. ^[8]
• Непрерывный образ счетно компактного пространства счетно компактен. ^[9]
• Каждое счетно компактное пространство является псевдокомпактным .
• В счетно компактном пространстве каждое локально конечное семейство непустых подмножеств конечно. ^{[10] [11]}
• Каждое счетно компактное паракомпактное пространство компактно. ^{[12] [11]} В более общем смысле, каждое счетно компактное метакомпактное пространство компактно. ^[13]
• Каждое счетно-компактное хаусдорфово пространство с первой аксиомой счетности является регулярным . ^{[14] [15]}
• Каждое нормальное счетно компактное пространство является коллективно нормальным .
• Произведение компактного пространства и счетно компактного пространства счетно компактно. ^{[16] [17]}
• Произведение двух счетно-компактных пространств не обязано быть счетно-компактным. ^[18]

Смотрите также

• Последовательно компактное пространство
• Компактное пространство
• Компактная предельная точка
• пространство Линделёфа

Примечания

1. Стин и Зеебах, стр. 19
2. «Общая топология. Влечет ли из последовательной компактности счетную компактность?».
3. Стин и Зеебах 1995, пример 42, стр. 68.
4. Стин и Зеебах, стр. 20
5. Стин и Зеебах, Пример 105, стр. 125
6. Уиллард, задача 17G, стр. 125
7. Кремсатер, Терри Филип (1972), Методы последовательного пространства (диссертация), Университет Британской Колумбии, doi : 10.14288/1.0080490, Теорема 1.20
8. Уиллард, задача 17F, стр. 125
9. Уиллард, задача 17F, стр. 125
10. Энгелькинг 1989, Теорема 3.10.3(ii).
11. "Счетно компактное паракомпактное пространство компактно".
12. Энгелькинг 1989, Теорема 5.1.20.
13. Энгелькинг 1989, Теорема 5.3.2.
14. Стин и Зеебах, Рисунок 7, стр. 25
15. «Докажите, что счетно компактное пространство T2, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, является регулярным».
16. Уиллард, задача 17F, стр. 125
17. «Является ли произведение компактного пространства и счетно компактного пространства счетно компактным?».
18. Энгелькинг, пример 3.10.19

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Джеймс Манкрес (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( переиздание Дувра 1970 года), Эддисон-Уэсли