Теория бесконечно малых деформаций

Математическая модель для описания деформации материала под напряжением

В механике сплошной среды теория бесконечно малых деформаций представляет собой математический подход к описанию деформации твердого тела, в котором смещения частиц материала предполагаются намного меньшими (в действительности, бесконечно меньшими), чем любой соответствующий размер тела; так что его геометрия и основные свойства материала (такие как плотность и жесткость ) в каждой точке пространства можно считать неизменными при деформации.

При таком предположении уравнения механики сплошной среды значительно упрощаются. Этот подход можно также назвать теорией малых деформаций , теорией малых смещений или теорией градиента малых смещений . Он противопоставляется теории конечных деформаций , где делается противоположное предположение.

Теория бесконечно малых деформаций обычно применяется в гражданском и машиностроении для анализа напряжений конструкций, построенных из относительно жестких упругих материалов, таких как бетон и сталь , поскольку общей целью при проектировании таких конструкций является минимизация их деформации при типичных нагрузках . Однако это приближение требует осторожности в случае тонких гибких тел, таких как стержни, пластины и оболочки, которые подвержены значительным вращениям, что делает результаты ненадежными. ^[1]

Тензор бесконечно малой деформации

Для бесконечно малых деформаций сплошного тела , в которых тензор градиента смещения (тензор 2-го порядка) мал по сравнению с единицей, т.е. , можно выполнить геометрическую линеаризацию любого из тензоров конечных деформаций, используемых в теории конечных деформаций, например, тензора конечной деформации Лагранжа и тензора конечной деформации Эйлера . При такой линеаризации нелинейные или члены второго порядка тензора конечной деформации игнорируются. Таким образом, мы имеем ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$или и или $${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$ $${\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)}$$

Эта линеаризация подразумевает, что лагранжево описание и эйлерово описание приблизительно одинаковы, поскольку материальные и пространственные координаты данной материальной точки в континууме мало различаются. Поэтому компоненты тензора градиента смещения материала и компоненты тензора градиента пространственного смещения приблизительно равны. Таким образом, мы имеем или где — компоненты тензора бесконечно малых деформаций , также называемого тензором деформаций Коши , тензором линейных деформаций или тензором малых деформаций . $${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)}$$ $${\displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$или используя другую запись: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$$

Более того, поскольку градиент деформации можно выразить как , где — тензор тождественности второго порядка, то имеем ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}}$$

Также из общего выражения для тензоров конечной деформации Лагранжа и Эйлера имеем $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

Геометрическое выведение

Рисунок 1. Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента.

Рассмотрим двумерную деформацию бесконечно малого прямоугольного материального элемента с размерами по (рисунок 1), который после деформации принимает форму ромба. Из геометрии рисунка 1 имеем ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Для очень малых градиентов смещения, т.е. , имеем ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$ $${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

Нормальная деформация в -направлении прямоугольного элемента определяется как и, зная , что , имеем ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$ ${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$ $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

Аналогично, нормальная деформация в -направлении и -направлении становится ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

Инженерная деформация сдвига , или изменение угла между двумя изначально ортогональными материальными линиями, в данном случае линией и , определяется как ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

Из геометрии рисунка 1 имеем $${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

Для малых поворотов, т.е. и , мы имеем и, опять же, для малых градиентов смещения, мы имеем таким образом . Меняя местами и и и , можно показать, что . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \ll 1}$ $${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$

Аналогично для плоскостей - и - имеем ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Можно видеть, что тензорные компоненты деформации сдвига тензора бесконечно малой деформации могут быть выражены с использованием определения инженерной деформации , как ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Физическая интерпретация

Из теории конечных деформаций имеем $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Для бесконечно малых деформаций имеем $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Разделив на имеем ${\displaystyle (dX)^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

Для малых деформаций мы предполагаем, что , тогда второй член левой части становится: . ${\displaystyle dx\approx dX}$ ${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$

Тогда имеем где , — единичный вектор в направлении , а выражение слева — нормальная деформация в направлении . Для частного случая в направлении , т. е. , имеем $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$ ${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$ $${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

Аналогично для и можно найти нормальные деформации и , соответственно. Поэтому диагональные элементы тензора бесконечно малых деформаций представляют собой нормальные деформации в координатных направлениях. ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{22}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$

Правила трансформации штаммов

Если мы выберем ортонормальную систему координат ( ), мы можем записать тензор в терминах компонентов относительно этих базовых векторов как В матричной форме, Мы можем легко выбрать использование другой ортонормальной системы координат ( ) вместо этого. В этом случае компоненты тензора различны, скажем Компоненты деформации в двух системах координат связаны соотношением , где было использовано соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов и . В матричной форме или ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$ ${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

Инварианты деформации

Некоторые операции над тензором деформации дают тот же результат, независимо от того, какая ортонормальная система координат используется для представления компонентов деформации. Результаты этих операций называются инвариантами деформации . Наиболее часто используемые инварианты деформации: В терминах компонентов $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

Основные штаммы

Можно показать, что можно найти систему координат ( ), в которой компоненты тензора деформации равны Компоненты тензора деформации в системе координат ( ) называются главными деформациями , а направления называются направлениями главной деформации. Поскольку в этой системе координат отсутствуют компоненты деформации сдвига, главные деформации представляют собой максимальное и минимальное растяжение элементарного объема. ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Если нам даны компоненты тензора деформации в произвольной ортонормальной системе координат, мы можем найти главные деформации, используя разложение по собственным значениям , определяемое путем решения системы уравнений. Эта система уравнений эквивалентна нахождению вектора , вдоль которого тензор деформации становится чистым растяжением без сдвиговой компоненты. $${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Объемная деформация

Объемная деформация , также называемая объемной деформацией , представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора: Фактически, если мы рассмотрим куб с длиной ребра a , то после деформации (изменения углов не изменяют объем) он представляет собой квазикуб с размерами и V ₀ = a ³ , поэтому , поскольку мы рассматриваем малые деформации, то формула имеет вид. $${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$ ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$ $${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема не происходит.

Тензор девиатора деформации

Тензор бесконечно малых деформаций , подобно тензору напряжений Коши , можно выразить в виде суммы двух других тензоров: ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

1. тензор средней деформации или тензор объемной деформации или тензор сферической деформации , связанный с расширением или изменением объема; и ${\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}$
2. девиаторный компонент, называемый тензором девиатора деформации , связанный с искажением. ${\displaystyle \varepsilon '_{ij}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$где средняя деформация определяется выражением ${\displaystyle \varepsilon _{M}}$ $${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

Тензор девиаторной деформации можно получить, вычитая тензор средней деформации из тензора бесконечно малой деформации: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Октаэдрические штаммы

Пусть ( ) будут направлениями трех главных деформаций. Октаэдрическая плоскость — это плоскость, нормаль которой образует равные углы с тремя главными направлениями. Инженерная деформация сдвига на октаэдрической плоскости называется октаэдрической деформацией сдвига и определяется как , где — главные деформации. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$

Нормальная деформация на октаэдрической плоскости определяется по формуле ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

Эквивалентная деформация

Скалярная величина, называемая эквивалентной деформацией или эквивалентной деформацией фон Мизеса , часто используется для описания состояния деформации в твердых телах. Несколько определений эквивалентной деформации можно найти в литературе. Определение, которое обычно используется в литературе по пластичности , это Эта величина является работой, сопряженной с эквивалентным напряжением, определяемым как $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

Уравнения совместимости

Для заданных компонентов деформации уравнение тензора деформации представляет собой систему из шести дифференциальных уравнений для определения трех компонентов смещения , что дает переопределенную систему. Таким образом, решения, как правило, не существует для произвольного выбора компонентов деформации. Поэтому на компоненты деформации накладываются некоторые ограничения, называемые уравнениями совместимости . С добавлением трех уравнений совместимости число независимых уравнений сокращается до трех, что соответствует числу неизвестных компонентов смещения. Эти ограничения на тензор деформации были обнаружены Сен-Венаном и называются « уравнениями совместимости Сен-Венана ». ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle u_{i}}$

Функции совместимости служат для обеспечения однозначной непрерывной функции смещения . Если упругая среда визуализируется как набор бесконечно малых кубов в недеформированном состоянии, то после деформации среды произвольный тензор деформации может не дать ситуации, в которой искаженные кубы все еще будут соответствовать друг другу без перекрытия. ${\displaystyle u_{i}}$

В индексной записи уравнения совместимости выражаются как $${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}$$

В инженерной нотации,

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$

Особые случаи

Плоская деформация

Плоское деформированное состояние в континууме.

В реальных инженерных компонентах напряжение (и деформация) являются трехмерными тензорами , но в призматических структурах, таких как длинная металлическая заготовка, длина структуры намного больше двух других измерений. Деформации, связанные с длиной, т. е. нормальная деформация и деформации сдвига и (если длина является 3-направлением), ограничены близлежащим материалом и малы по сравнению с поперечными деформациями . Тогда плоская деформация является приемлемым приближением. Тензор деформации для плоской деформации записывается как: в котором двойное подчеркивание указывает на тензор второго порядка . Это состояние деформации называется плоской деформацией . Соответствующий тензор напряжения: в котором для поддержания ограничения требуется ненулевой член . Этот член напряжения можно временно удалить из анализа, чтобы оставить только члены в плоскости, эффективно сводя трехмерную задачу к гораздо более простой двумерной задаче. ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{33}}$ ${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$

Антиплоскостная деформация

Антиплоская деформация — это еще одно особое состояние деформации, которое может возникнуть в теле, например, в области, близкой к винтовой дислокации . Тензор деформации для антиплоской деформации определяется как $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

Отношение к тензору бесконечно малого вращения

Тензор бесконечно малых деформаций определяется как Поэтому градиент смещения можно выразить как где Величина представляет собой тензор бесконечно малого вращения или тензор бесконечно малого углового смещения (связанный с матрицей бесконечно малого вращения ). Этот тензор кососимметричен . Для бесконечно малых деформаций скалярные компоненты удовлетворяют условию . Обратите внимание, что градиент смещения мал только в том случае, если и тензор деформации, и тензор вращения являются бесконечно малыми. $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ ${\displaystyle |W_{ij}|\ll 1}$

Аксиальный вектор

Кососимметричный тензор второго порядка имеет три независимых скалярных компонента. Эти три компонента используются для определения аксиального вектора , , следующим образом где - символ перестановки . В матричной форме аксиальный вектор также называется вектором бесконечно малого вращения . Вектор вращения связан с градиентом смещения соотношением В индексной нотации Если и , то материал претерпевает приблизительное вращение твердого тела величины вокруг вектора . ${\displaystyle \mathbf {w} }$ $${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$ $${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$ ${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle |\mathbf {w} |}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

Связь между тензором деформации и вектором вращения

При заданном непрерывном однозначном поле смещения и соответствующем ему тензоре бесконечно малой деформации имеем (см. Производная тензора (механика сплошной среды) ) Поскольку изменение порядка дифференцирования не меняет результата, . Поэтому Также Следовательно ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$ ${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$ $${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

Связь между тензором вращения и вектором вращения

Из важного тождества относительно ротора тензора мы знаем, что для непрерывного однозначного поля смещения , поскольку мы имеем ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

Тензор деформации в недекартовых координатах

Тензор деформации в цилиндрических координатах

В цилиндрических полярных координатах ( ) вектор смещения можно записать как Компоненты тензора деформации в цилиндрической системе координат определяются выражением: ^[2] ${\displaystyle r,\theta ,z}$ $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

Тензор деформации в сферических координатах

Сферические координаты ( r , θ , φ ), обычно используемые в физике : радиальное расстояние r , полярный угол θ ( тета ) и азимутальный угол φ ( фи ). Символ ρ ( ро ) часто используется вместо r .

В сферической системе координат ( ) вектор смещения можно записать как Компоненты тензора деформации в сферической системе координат определяются выражением ^[2] ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Деформация (механика)
• Совместимость (механика)
• Тензор напряжений
• Тензодатчик
• Тензор упругости
• Кривая напряжение-деформация
• закон Гука
• Коэффициент Пуассона
• Теория конечных деформаций
• Скорость деформации
• Плоскостное напряжение
• Цифровая корреляция изображений

Ссылки

1. Бореси, Артур П. (Артур Питер), 1924– (2003). Продвинутая механика материалов . Шмидт, Ричард Дж. (Ричард Джозеф), 1954– (6-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 62. ISBN 1601199228. OCLC  430194205.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Slaughter, William S. (2002). Линеаризованная теория упругости . Нью-Йорк: Springer Science+Business Media. doi :10.1007/978-1-4612-0093-2. ISBN 9781461266082.

Внешние ссылки