Тензорная алгебра

Универсальная конструкция в полилинейной алгебре

В математике тензорная алгебра векторного пространства V , обозначаемая T ( V ) или T ^• ( V ), является алгеброй тензоров на V ( любого ранга), где умножение является тензорным произведением . Это свободная алгебра на V в том смысле, что она левосопряжена с функтором забвения из алгебр в векторные пространства: это «наиболее общая» алгебра, содержащая V в смысле соответствующего универсального свойства (см. ниже).

Тензорная алгебра важна, потому что многие другие алгебры возникают как факторалгебры T ( V ) . К ним относятся внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебры Клиффорда , алгебра Вейля и универсальные обертывающие алгебры .

Тензорная алгебра также имеет две структуры коалгебры ; один простой, который не делает ее биалгеброй, но приводит к понятию косвободной коалгебры , и более сложный, который дает биалгебру и может быть расширен путем предоставления антипода для создания структуры алгебры Хопфа .

Примечание . В этой статье все алгебры считаются унитальными и ассоциативными . Единица явно требуется для определения копродукции .

Строительство

Пусть V — векторное пространство над полем K. Для любого неотрицательного целого числа k мы определяем k -ю тензорную степень V как тензорное произведение V на самого себя k раз :

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V.}$

То есть Tk V состоит из ^всех тензоров на V порядка k . По соглашению T ⁰ V — основное поле K (как одномерное векторное пространство над собой).

Затем мы строим T ( V ) как прямую сумму T k ^V для k = 0,1,2,…

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

Умножение в T ( V ) определяется каноническим изоморфизмом

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}$

задается тензорным произведением, которое затем по линейности распространяется на все T ( V ). ^{Из этого правила умножения следует ,} что тензорная алгебра T ( V ) естественным образом является градуированной алгеброй , где Tk V служит подпространством степени- k . Эту градуировку можно расширить до Z -градуировки путем добавления подпространств для отрицательных целых чисел k . ${\displaystyle T^{k}V=\{0\}}$

Конструкция непосредственно обобщается на тензорную алгебру любого модуля М над коммутативным кольцом . Если R — некоммутативное кольцо , то конструкцию все равно можно выполнить для любого R - R - бимодуля M. (Это не работает для обычных R -модулей, поскольку итерированные тензорные произведения не могут быть сформированы.)

Присоединение и всеобщее свойство

Тензорная алгебра T ( V ) также называется свободной алгеброй векторного пространства V и является функториальной ; это означает, что отображение продолжается до линейных отображений для образования функтора из категории K - векторных пространств в категорию ассоциативных алгебр . Как и в случае с другими свободными конструкциями , функтор T сопряжен слева с функтором забывания , который отправляет каждую ассоциативную K -алгебру в лежащее в ее основе векторное пространство. ${\displaystyle V\mapsto T(V)}$

Явно тензорная алгебра удовлетворяет следующему универсальному свойству , которое формально выражает утверждение о том, что это наиболее общая алгебра, содержащая V :

Любое линейное отображение V в ассоциативную алгебру A над K может быть однозначно расширено до гомоморфизма алгебры из T ( V ) в A , как показано следующей коммутативной диаграммой : ${\displaystyle f:V\to A}$

Универсальное свойство тензорной алгебры

Здесь i — каноническое включение V в T ( V ) . Что касается других универсальных свойств, то тензорную алгебру T ( V ) можно определить как единственную алгебру, удовлетворяющую этому свойству (в частности, она уникальна с точностью до единственного изоморфизма), но это определение требует доказательства существования объекта, удовлетворяющего этому свойству.

Из указанного выше универсального свойства следует, что T является функтором из категории векторных пространств над K в категорию K -алгебр. Это означает, что любое линейное отображение между K -векторными пространствами U и W однозначно продолжается до гомоморфизма K -алгебры из T ( U ) в T ( W ) .

Некоммутативные полиномы

Если V имеет конечную размерность n , тензорную алгебру можно рассматривать как «алгебру многочленов над K от n некоммутирующих переменных». Если мы возьмем базисные векторы для V , они станут некоммутирующими переменными (или неопределенными ) в T ( V ), не подчиняющимися никаким ограничениям, кроме ассоциативности , закона распределения и K -линейности.

Обратите внимание, что алгебра многочленов на V - это не , а скорее : (однородная) линейная функция на V является элементом, например, координаты в векторном пространстве являются ковекторами , поскольку они принимают вектор и выдают скаляр (заданный координата вектора). ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle T(V^{*})}$ ${\displaystyle V^{*},}$ ${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}$

Коэффициенты

Из-за общности тензорной алгебры многие другие интересующие алгебры можно построить, начав с тензорной алгебры и затем наложив определенные соотношения на генераторы, т. е. построив определенные факторалгебры T ( V ) . Примерами этого являются внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебры Клиффорда , алгебра Вейля и универсальные обертывающие алгебры .

Коалгебра

Тензорная алгебра имеет две разные структуры коалгебры . Один из них совместим с тензорным произведением и, таким образом, может быть расширен до биалгебры и может быть расширен с помощью антипода до структуры алгебры Хопфа . Другая структура, хотя и более простая, не может быть расширена до биалгебры. Первая структура представлена ​​непосредственно ниже; вторая структура приведена в разделе, посвященном кофри-коалгебре , ниже.

Представленное ниже развитие может быть одинаково хорошо применено и к внешней алгебре , используя символ клина вместо символа тензора ; знак необходимо учитывать и при перестановке элементов внешней алгебры. Это соответствие также продолжается до определения биалгебры и до определения алгебры Хопфа. То есть внешней алгебре также можно придать структуру алгебры Хопфа. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes }$

Точно так же симметричной алгебре можно придать структуру алгебры Хопфа точно таким же образом, заменив везде тензорное произведение симметризованным тензорным произведением , т. е. тем произведением, где ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$ ${\displaystyle v\otimes _{\mathrm {Sym} }w=w\otimes _{\mathrm {Sym} }v.}$

В каждом случае это возможно, поскольку знакопеременное произведение и симметричное произведение подчиняются необходимым условиям согласованности для определения биалгебры и алгебры Хопфа; это можно явно проверить, как показано ниже. Всякий раз, когда у вас есть продукт, подчиняющийся этим условиям согласованности, построение происходит; поскольку такой продукт породил фактор-пространство, фактор-пространство наследует структуру алгебры Хопфа. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$

На языке теории категорий говорят, что существует функтор T из категории K -векторных пространств в категорию K -ассоциативных алгебр. Но существует также функтор Λ, переводящий векторные пространства в категорию внешних алгебр, и функтор Sym, переводящий векторные пространства в категорию симметричных алгебр. Существует естественное отображение T в каждый из них . Проверка того, что факторизация сохраняет структуру алгебры Хопфа, аналогична проверке того, что отображения действительно естественны.

Побочный продукт

Коалгебра получается определением копроизведения или диагонального оператора.

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

Здесь используется как сокращение, чтобы избежать взрыва круглых скобок. Этот символ используется для обозначения «внешнего» тензорного произведения, необходимого для определения коалгебры. Он используется, чтобы отличить его от «внутреннего» тензорного произведения , которое уже используется для обозначения умножения в тензорной алгебре ( дополнительные разъяснения по этому вопросу см. в разделе « Умножение » ниже). Чтобы избежать путаницы между этими двумя символами, в большинстве текстов они заменяются простой точкой или даже вовсе отбрасываются, понимая, что это подразумевается из контекста. Это позволяет использовать символ вместо символа . Ниже этого не делается, и оба символа используются независимо и явно, чтобы показать правильное расположение каждого из них. Результат будет немного более подробным, но его будет легче понять. ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle \boxtimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \boxtimes }$

Определение оператора легче всего построить поэтапно: сначала определив его для элементов , а затем гомоморфно расширив его на всю алгебру. Тогда подходящим выбором для совместного произведения будет ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v\in V\subset TV}$

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

и

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

где единица поля . В силу линейности очевидно, что ${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

для всех. Непосредственно проверяется, что это определение удовлетворяет аксиомам коалгебры: т. е. что ${\displaystyle k\in K.}$

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

где находится идентификационная карта . Действительно, человек получает ${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$ ${\displaystyle TV}$

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

и то же самое для другой стороны. В этот момент можно было бы сослаться на лемму и сказать, что это тривиально, по линейности, распространяется на все из , поскольку является свободным объектом , является генератором свободной алгебры и является гомоморфизмом. Тем не менее, было бы полезно дать явные выражения. Итак, при имеет место (по определению) гомоморфизм ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

Расширяясь, человек имеет

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

В приведенном выше расширении нет необходимости когда-либо писать, поскольку это просто старое скалярное умножение в алгебре; то есть, тривиально есть это ${\displaystyle 1\otimes v}$ ${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

Расширение, приведенное выше, сохраняет градуировку алгебры. То есть,

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V}$

Продолжая таким же образом, можно получить явное выражение для копроизведения, действующего на однородный элемент порядка m :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,m-p)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

где символ, который должен выглядеть как ш, ша, обозначает перетасованный продукт . Это выражается во втором суммировании, которое проводится по всем ( p , m − p )-перетасовкам . Перетасовка ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma :\{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{ is bijective}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{and }}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}}$

По соглашению считается, что Sh( m, 0) и Sh(0, m ) равны {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }}. Также удобно взять чистые тензорные произведения и равными 1 для p = 0 и p = m соответственно (пустое произведение в ). Перетасовка следует непосредственно из первой аксиомы коалгебры: относительный порядок элементов сохраняется при перетасовке: перетасовка просто разбивает упорядоченную последовательность на две упорядоченные последовательности: одну слева и одну справа. . ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}}$ ${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle v_{k}}$

Эквивалентно,

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,}$

где продукты находятся в , и где сумма по всем подмножествам . ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

Как и раньше, градуировка алгебры сохраняется:

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

Единица

Единица задается проекцией компоненты поля из алгебры. Это можно записать как для и для . Благодаря гомоморфизму относительно тензорного произведения это распространяется на ${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$ ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

for all Несложно проверить, что эта единица удовлетворяет необходимой аксиоме коалгебры: ${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

Работая это явно, можно

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

где на последнем этапе использовался изоморфизм , соответствующий определяющей аксиоме единицы. ${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$

Биалгебра

Биалгебра определяет как умножение, так и коумножение и требует их совместимости.

Умножение

Умножение задается оператором

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

которое в данном случае уже было задано как «внутреннее» тензорное произведение. То есть,

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

То есть вышеизложенное должно прояснить, почему необходимо использовать этот символ: на самом деле это было одно и то же, что и ; и неряшливость обозначений здесь привела бы к полнейшему хаосу. Чтобы усилить это: тензорное произведение тензорной алгебры соответствует умножению, используемому в определении алгебры, тогда как тензорное произведение - это то, которое требуется в определении коумножения в коалгебре. Эти два тензорных произведения — не одно и то же! ${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$ ${\displaystyle \boxtimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \boxtimes }$

Единица

Единица по алгебре

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

это просто вложение, так что

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

То, что единица совместима с тензорным произведением, «тривиально»: это всего лишь часть стандартного определения тензорного произведения векторных пространств. То есть для элемента поля k и любого другого элемента. Более подробно, аксиомы ассоциативной алгебры требуют двух гомоморфизмов (или коммутирующих диаграмм): ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle k\otimes x=kx}$ ${\displaystyle x\in TV.}$

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

на , и что симметрично, на , что ${\displaystyle K\boxtimes TV}$ ${\displaystyle TV\boxtimes K}$

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

где правую часть этих уравнений следует понимать как скалярное произведение.

Совместимость

Единица и счетчик, а также умножение и коумножение должны удовлетворять условиям совместимости. Это легко увидеть

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

Аналогично единица совместима с коумножением:

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

Для работы вышеизложенного требуется использование изоморфизма ; без этого теряется линейность. Покомпонентно, ${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

причем правая часть использует изоморфизм.

Умножение и счет совместимы:

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

всякий раз, когда x или y не являются элементами , и в противном случае, в поле имеет место скалярное умножение: Сложнее всего проверить совместимость умножения и коумножения: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

где обмениваются элементами. Условие совместимости необходимо проверять только на ; полная совместимость следует как гомоморфное расширение всех. Проверка многословна, но проста; здесь он не приводится, за исключением конечного результата: ${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$ ${\displaystyle V\subset TV}$ ${\displaystyle TV.}$

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

Явное выражение для этого было дано выше в разделе коалгебры. ${\displaystyle v,w\in V,}$

алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа добавляет антипод к аксиомам биалгебры. Антипод на дается выражением ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$

${\displaystyle S(k)=k}$

Иногда это называют «антиидентичностью». Антипод на дается выражением ${\displaystyle v\in V=T^{1}V}$

${\displaystyle S(v)=-v}$

и дальше ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle S(v\otimes w)=S(w)\otimes S(v)=w\otimes v}$

Это гомоморфно продолжается на

${\displaystyle {\begin{aligned}S(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=S(v_{m})\otimes \cdots \otimes S(v_{1})\\&=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}\end{aligned}}}$

Совместимость

Совместимость антипода с умножением и коумножением требует, чтобы

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

Это легко проверить покомпонентно : ${\displaystyle k\in K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

Аналогично на : ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

Напомним, что

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

и это

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

для всего , чего нет в ${\displaystyle x\in TV}$ ${\displaystyle K.}$

Можно действовать аналогичным образом, используя гомоморфизм, проверяя, что антипод вставляет в перетасовку соответствующие знаки сокращения, начиная с условия совместимости и продолжая индукцией. ${\displaystyle T^{2}V}$

Кофри-кополная коалгебра

Можно определить другое копроизведение в тензорной алгебре, более простое, чем приведенное выше. Это дано

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

Здесь, как и раньше, используется нотационный прием (напомним об этом тривиально). ${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in K}$ ${\displaystyle v\otimes 1=v}$

Это копроизведение дает начало коалгебре. Он описывает коалгебру, двойственную структуре алгебры на T ( V ^∗ ), где V ^∗ обозначает двойственное векторное пространство линейных отображений V → F . Точно так же, как тензорная алгебра является свободной алгеброй , соответствующая коалгебра называется кополной косвободной. С обычным произведением это не биалгебра. Ее можно превратить в биалгебру с произведением, где (i,j) обозначает биномиальный коэффициент для . Эта биалгебра известна как разделенная степенная алгебра Хопфа . ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$ ${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$

Разницу между этой и другой коалгеброй легче всего увидеть в этом термине. Вот у одного есть такое ${\displaystyle T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1}$

for , в котором явно отсутствует перетасованный член по сравнению с предыдущим. ${\displaystyle v,w\in V}$

Смотрите также

• Плетеное векторное пространство
• Плетеная алгебра Хопфа
• Моноидальная категория
• Полилинейная алгебра
• Фокское пространство

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1989). Алгебра I. Главы 1-3. Элементы математики . Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-64243-9. (См. главу 3 §5)

• Серж Ланг (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (3-е изд.), Springer Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4