В математике , в частности в аксиоматической теории множеств , число Хартогса — это порядковое число, связанное с множеством. В частности, если X — любое множество , то число Хартогса множества X — это наименьшее порядковое число α, такое, что из α нет инъекции в X. Если X может быть вполне упорядочено , то кардинальное число α — это минимальный кардинал, больший, чем у X. Если X не может быть вполне упорядочено, то не может быть инъекции из X в α. Однако кардинальное число α по-прежнему является минимальным кардинальным числом (т. е. ординалом), не меньшим или равным мощности X (с биекцией определения мощности и инъективной функцией order). (Если мы ограничимся кардинальными числами вполне упорядочиваемых множеств, то число α будет наименьшим, которое не меньше или равно числу X. ) Отображение, переводящее X в α, иногда называют функцией Хартогса . Это отображение используется для построения алеф-чисел, которые представляют собой все кардинальные числа бесконечных вполне упорядочиваемых множеств.
Существование числа Хартогса было доказано Фридрихом Хартогсом в 1915 году, используя только теорию множеств Цермело (то есть без использования аксиомы выбора или введенной позднее схемы замены теории множеств Цермело-Френкеля ).
Теорема Хартогса утверждает, что для любого множества X существует ординал α такой, что ; то есть такой, что не существует инъекции из α в X . Поскольку ординалы вполне упорядочены, это немедленно подразумевает существование числа Хартогса для любого множества X . Более того, доказательство является конструктивным и дает число Хартогса для X .
См. Голдрей 1996.
Пусть — класс всех порядковых чисел β , для которых существует инъективная функция из β в X.
Сначала мы проверяем, что α является множеством.
Но этот последний набор — это в точности α . Теперь, поскольку транзитивный набор ординалов снова является ординалом, α — ординал. Более того, нет инъекции из α в X , потому что если бы она была, то мы получили бы противоречие, что α ∈ α . И, наконец, α — наименьший такой ординал без инъекции в X. Это верно, потому что, поскольку α — ординал, для любого β < α , β ∈ α , поэтому есть инъекция из β в X.
В 1915 году Хартогс не мог использовать ни ординалы фон Неймана , ни аксиому замены , и поэтому его результат относится к теории множеств Цермело и выглядит довольно отлично от современного изложения выше. Вместо этого он рассмотрел множество классов изоморфизма хорошо упорядоченных подмножеств X и отношение, в котором класс A предшествует классу B , если A изоморфен собственному начальному сегменту B. Хартогс показал, что это хорошо упорядочено больше, чем любое хорошо упорядоченное подмножество X. Однако главной целью его вклада было показать, что трихотомия для кардинальных чисел подразумевает (тогда 11-летнюю) теорему о хорошем упорядочении (и, следовательно, аксиому выбора).
