В математической области дифференциальной геометрии теорема Гаусса -Бонне (или формула Гаусса-Бонне ) является фундаментальной формулой, которая связывает кривизну поверхности с ее основной топологией .
В простейшем случае, когда треугольник лежит на плоскости , сумма его углов равна 180 градусам. [1] Теорема Гаусса-Бонне распространяет это на более сложные формы и искривленные поверхности, соединяя локальную и глобальную геометрии.
Теорема названа в честь Карла Фридриха Гаусса , который разработал версию, но так и не опубликовал ее, и Пьера Оссиана Бонне , опубликовавшего особый случай в 1848 году .
Предположим, что M — компактное двумерное риманово многообразие с краем ∂M . Пусть K — гауссова кривизна M , и пусть k g — геодезическая кривизна ∂ M. Тогда [2] [3]
где dA — элемент площади поверхности, а ds — элемент линии вдоль границы M . Здесь χ ( M ) — эйлерова характеристика M.
Если граница ∂ M кусочно - гладкая , то интеграл ∫ ∂ M k g ds интерпретируем как сумму соответствующих интегралов по гладким участкам границы плюс сумму углов, на которые гладкие участки поворачиваются в углах границы.
Во многих стандартных доказательствах используется теорема о повороте касательных, которая грубо утверждает, что число витков жордановой кривой равно точно ±1. [2]
Предположим, М — северное полушарие , вырезанное из сферы радиуса R. Его эйлерова характеристика равна 1. В левой части теоремы мы имеем и , поскольку граница — это экватор, а экватор — это геодезическая сферы. Затем .
С другой стороны, предположим, что мы сплющили полушарие, превратив его в диск. Это преобразование является гомеоморфизмом, поэтому эйлерова характеристика по-прежнему равна 1. Однако в левой части теоремы теперь есть и , поскольку окружность не является геодезической плоскости. Затем .
Наконец, возьмем сферический октант, также гомеоморфный предыдущим случаям. Затем . Сейчас почти везде вдоль границы, представляющей собой геодезический треугольник. Но у нас есть три прямых угла, так что .
Теорема применима, в частности, к компактным поверхностям без края, и в этом случае интеграл
можно опустить. В нем говорится, что общая гауссова кривизна такой замкнутой поверхности равна 2 π -кратной эйлеровой характеристике поверхности. Обратите внимание, что для ориентируемых компактных поверхностей без края эйлерова характеристика равна 2 − 2 g , где g — род поверхности: Любая ориентируемая компактная поверхность без края топологически эквивалентна сфере с некоторыми прикрепленными ручками, а g подсчитывает количество ручки.
Если изогнуть и деформировать поверхность M , ее эйлерова характеристика, будучи топологическим инвариантом, не изменится, а кривизна в некоторых точках изменится. В теореме, что несколько удивительно, утверждается, что общий интеграл всех кривизн останется неизменным, независимо от того, как осуществляется деформация. Так, например, если у вас есть сфера с «вмятиной», то ее общая кривизна равна 4 π (эйлерова характеристика сферы равна 2), независимо от того, насколько велика или глубока вмятина.
Плотность поверхности имеет решающее значение. Рассмотрим, например, открытый единичный диск , некомпактную риманову поверхность без края, с кривизной 0 и с эйлеровой характеристикой 1: формула Гаусса – Бонне не работает. Однако это справедливо для компактного замкнутого единичного круга, который также имеет эйлерову характеристику 1 из-за добавленного граничного интеграла со значением 2 π .
В качестве приложения тор имеет эйлерову характеристику 0, поэтому его общая кривизна также должна быть равна нулю. Если тор несет обычную риманову метрику из-за его вложения в R 3 , то внутренняя часть имеет отрицательную гауссову кривизну, внешняя часть имеет положительную гауссову кривизну, а полная кривизна действительно равна 0. Также возможно построить тор, идентифицируя противоположные стороны. квадрата, и в этом случае риманова метрика на торе плоская и имеет постоянную кривизну 0, что снова приводит к полной кривизне 0. Невозможно указать риманову метрику на торе со всюду положительной или всюду отрицательной гауссовой кривизной.
Иногда формулу Гаусса – Бонне формулируют как
где Т — геодезический треугольник . Здесь мы определяем «треугольник» на М как односвязную область, граница которой состоит из трех геодезических . Затем мы можем применить GB к поверхности T , образованной внутренней частью этого треугольника и кусочной границей треугольника.
Геодезическая кривизна граничащих геодезических равна 0, а эйлерова характеристика T равна 1.
Следовательно, сумма углов поворота геодезического треугольника равна 2 π минус полная кривизна внутри треугольника. Поскольку угол поворота в углу равен π минус внутренний угол, мы можем перефразировать это следующим образом: [4]
В случае плоскости (где гауссова кривизна равна 0, а геодезические — прямые) мы восстанавливаем знакомую формулу суммы углов в обычном треугольнике. На стандартной сфере, где кривизна всюду равна 1, мы видим, что сумма углов геодезических треугольников всегда больше π .
Ряд более ранних результатов в сферической геометрии и гиперболической геометрии, открытых за предыдущие столетия, были отнесены к частным случаям Гаусса – Бонне.
В сферической тригонометрии и гиперболической тригонометрии площадь треугольника пропорциональна величине, на которую его внутренние углы не составляют в сумме 180°, или, что эквивалентно, (обратной) величине, на которую его внешние углы не составляют в сумме 360°. .
По теореме Жирара площадь сферического треугольника пропорциональна его избытку - сумме, на которую его внутренние углы составляют более 180 °, что равно сумме, на которую сумма его внешних углов составляет менее 360 °.
Площадь гиперболического треугольника , наоборот, пропорциональна его дефекту , как установил Иоганн Генрих Ламберт .
Теорема Декарта о полном угловом дефекте многогранника является аналогом многогранника: она утверждает, что сумма дефектов во всех вершинах многогранника, гомеоморфного сфере , равна 4 π . В более общем смысле, если многогранник имеет эйлерову характеристику χ = 2 − 2 g (где g — род, что означает «количество дырок»), то сумма дефекта равна 2 πχ . Это частный случай Гаусса – Бонне, когда кривизна сосредоточена в дискретных точках (вершинах).
Рассматривая кривизну как меру , а не как функцию, теорема Декарта представляет собой теорему Гаусса-Бонне, где кривизна является дискретной мерой , а Гаусса-Бонне для мер обобщает как Гаусса-Бонне для гладких многообразий, так и теорему Декарта.
Существует несколько комбинаторных аналогов теоремы Гаусса – Бонне. Мы констатируем следующее. Пусть M — конечное двумерное псевдомногообразие . Пусть χ ( v ) обозначает количество треугольников, содержащих вершину v . Затем
где первая сумма распространяется по вершинам внутри M , вторая сумма распространяется по граничным вершинам, а χ ( M ) является эйлеровой характеристикой M .
Аналогичные формулы можно получить для двумерного псевдомногообразия, если заменить треугольники высшими многоугольниками. Для многоугольников из n вершин мы должны заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на н/п - 2 и 2 н/п - 2 соответственно. Например, для четырехугольников мы должны заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на 2 и 4 соответственно. Точнее, если M — замкнутое двумерное цифровое многообразие , то род оказывается [5]
где Mi указывает количество точек поверхности, каждая из которых имеет i смежных точек на поверхности. Это простейшая формула теоремы Гаусса–Бонне в трехмерном цифровом пространстве.
Теорема Черна (по Шиинг-Шену Черну , 1945 г.) представляет собой 2 n -мерное обобщение GB (см. также гомоморфизм Черна – Вейля ).
Теорему Римана -Роха также можно рассматривать как обобщение GB на комплексные многообразия .
Далеко идущим обобщением, включающим все вышеупомянутые теоремы, является теорема об индексе Атьи-Зингера .
Обобщением на 2-многообразия, которые не обязательно должны быть компактными, является неравенство Кона-Фоссена .
В романе Грега Игана « Диаспора » два персонажа обсуждают вывод этой теоремы.
Теорему можно использовать непосредственно как систему управления скульптурой — например, в работе Эдмунда Харрисса в коллекции Honors College Университета Арканзаса . [6]
