Теорема Грина–Тао

Теорема о простых числах

В теории чисел теорема Грина-Тао , доказанная Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году, утверждает, что последовательность простых чисел содержит произвольно длинные арифметические прогрессии . Другими словами, для каждого натурального числа k существуют арифметические прогрессии простых чисел с k членами. Доказательство является расширением теоремы Семереди . Проблема восходит к исследованиям Лагранжа и Варинга примерно с 1770 года. ^[1]

Заявление

Пусть обозначает количество простых чисел, меньших или равных . Если — подмножество простых чисел, такое что ${\displaystyle \pi (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \limsup _{N\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0,}$

тогда для всех положительных целых чисел множество содержит бесконечно много арифметических прогрессий длины . В частности, все множество простых чисел содержит произвольно длинные арифметические прогрессии. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

В своей более поздней работе по обобщенной гипотезе Харди–Литтлвуда Грин и Тао сформулировали и условно доказали асимптотическую формулу

${\displaystyle ({\mathfrak {S}}_{k}+o(1)){\frac {N^{2}}{(\log N)^{k}}}}$

для числа k кортежей простых чисел в арифметической прогрессии. ^[2] Здесь — константа ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k}\leq N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}:={\frac {1}{2(k-1)}}\left(\prod _{p\leq k}{\frac {1}{p}}\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod _{p>k}\left(1-{\frac {k-1}{p}}\right)\!\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!.}$

Результат был сделан безусловным Грином–Тао ^[3] и Грином–Тао–Циглером. ^[4]

Обзор доказательства

Доказательство Грина и Тао состоит из трех основных компонентов:

1. Теорема Семереди , утверждающая, что подмножества целых чисел с положительной верхней плотностью имеют произвольно длинные арифметические прогрессии. Она априори не применима к простым числам, поскольку простые числа имеют нулевую плотность в целых числах.
2. Принцип переноса, который распространяет теорему Семереди на подмножества целых чисел, которые являются псевдослучайными в подходящем смысле. Такой результат теперь называется относительной теоремой Семереди.
3. Псевдослучайное подмножество целых чисел, содержащее простые числа как плотное подмножество. Для построения этого множества Грин и Тао использовали идеи из работы Голдстона, Пинца и Йылдырыма о простых промежутках . ^[5] Как только псевдослучайность множества установлена, можно применить принцип переноса, завершая доказательство.

Были найдены многочисленные упрощения аргумента в оригинальной статье ^[1] . Конлон, Фокс и Чжао (2014) предлагают современное изложение доказательства.

Числовая работа

Доказательство теоремы Грина–Тао не показывает, как найти арифметические прогрессии простых чисел; оно просто доказывает, что они существуют . Была проведена отдельная вычислительная работа по поиску больших арифметических прогрессий в простых числах.

В статье Грина-Тао говорится: «На момент написания статьи самая длинная известная арифметическая прогрессия простых чисел имеет длину 23 и была найдена в 2004 году Маркусом Фриндом, Полом Андервудом и Полом Джоблингом: 56211383760397 + 44546738095860 ·  k ; k = 0, 1, . . ., 22».

18 января 2007 года Ярослав Врублевский обнаружил первый известный случай 24 простых чисел в арифметической прогрессии : ^[6]

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n , для n = от 0 до 23.

Константа 223 092 870 здесь является произведением простых чисел до 23, что в более компактной записи выглядит как 23# .

17 мая 2008 года Врублевски и Раанан Чермони обнаружили первый известный случай 25 простых чисел:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23# · n , для n = от 0 до 24.

12 апреля 2010 года Бенуа Перишон с помощью программного обеспечения Врублевски и Джеффа Рейнольдса в распределенном проекте PrimeGrid обнаружил первый известный случай 26 простых чисел (последовательность A204189 в OEIS ):

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23# · n , для n = от 0 до 25.

В сентябре 2019 года Роб Гахан и PrimeGrid обнаружили первый известный случай 27 простых чисел (последовательность A327760 в OEIS ):

224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23# · n , для n = от 0 до 26.

Расширения и обобщения

Многие из расширений теоремы Семереди справедливы и для простых чисел.

Независимо Тао и Циглер ^[7] и Кук, Мадьяр и Титичетракун ^{[8] [9]} вывели многомерное обобщение теоремы Грина–Тао. Доказательство Тао–Циглера также было упрощено Фоксом и Чжао. ^[10]

В 2006 году Тао и Циглер расширили теорему Грина–Тао, чтобы охватить прогрессии полиномов. ^{[11] [12]} Точнее, если заданы любые целочисленные многочлены P ₁ , ..., P _k от одного неизвестного m и все с постоянным членом 0, то существует бесконечно много целых чисел x , m таких, что x  +  P ₁ ( m ), ..., x  +  P _k ( m ) одновременно являются простыми. Особый случай, когда многочлены равны m , 2 m , ..., km влечет за собой предыдущий результат о том, что существуют арифметические прогрессии простых чисел длины k .

Тао доказал аналог теоремы Грина–Тао для простых гауссовых чисел . ^[13]

Смотрите также

• Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях
• Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях
• Арифметическая комбинаторика

Ссылки

1. Грин, Бен ; Тао, Теренс (2008). «Простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии». Annals of Mathematics . 167 (2): 481–547. arXiv : math.NT/0404188 . doi :10.4007/annals.2008.167.481. MR  2415379. S2CID  1883951..
2. Грин, Бен; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Annals of Mathematics . 171 (3): 1753–1850. arXiv : math/0606088 . doi :10.4007/annals.2010.171.1753. MR  2680398. S2CID  119596965.
3. Грин, Бен; Тао, Теренс (2012). «Функция Мёбиуса сильно ортогональна нильпоследовательностям». Annals of Mathematics . 175 (2): 541–566. arXiv : 0807.1736 . doi : 10.4007/annals.2012.175.2.3. MR  2877066.
4. Грин, Бен; Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2012). «Обратная теорема для -нормы Гауэрса ». Annals of Mathematics . 172 (2): 1231–1372. arXiv : 1009.3998 . doi : 10.4007/annals.2012.176.2.11. MR  2950773. ${\displaystyle U^{s+1}[N]}$
5. Голдстон, Дэниел А.; Пинц, Янош; Йылдырым, Джем Ю. (2009). «Простые числа в кортежах. I». Анналы математики . 170 (2): 819–862. arXiv : math/0508185 . дои : 10.4007/анналы.2009.170.819. МР  2552109. S2CID  1994756.
6. Андерсен, Йенс Крузе. "Primes in Arithmetic Progression Records" . Получено 27.06.2015 .
7. Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2015). «Многомерная теорема Семереди для простых чисел с помощью принципа соответствия». Israel Journal of Mathematics . 207 (1): 203–228. arXiv : 1306.2886 . doi : 10.1007/s11856-015-1157-9 . MR  3358045. S2CID  119685169.
8. Кук, Брайан; Мадьяр, Акош (2012). «Созвездия в ». Международные уведомления по математическим исследованиям . 2012 (12): 2794–2816. doi :10.1093/imrn/rnr127. MR  2942710. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$
9. Кук, Брайан; Мадьяр, Акош; Титичетракун, Татчай (2018). «Многомерная теорема Семереди о простых числах с помощью комбинаторики». Анналы комбинаторики . 22 (4): 711–768. arXiv : 1306.3025 . дои : 10.1007/s00026-018-0402-4. S2CID  126417608.
10. Фокс, Джейкоб; Чжао, Юфэй (2015). «Короткое доказательство многомерной теоремы Семереди для простых чисел». American Journal of Mathematics . 137 (4): 1139–1145. arXiv : 1307.4679 . doi : 10.1353/ajm.2015.0028. MR  3372317. S2CID  17336496.
11. Тао, Теренс ; Циглер, Тамар (2008). «Простые числа содержат произвольно длинные полиномиальные прогрессии». Acta Mathematica . 201 (2): 213–305. arXiv : math/0610050 . doi : 10.1007/s11511-008-0032-5 . MR  2461509. S2CID  119138411.
12. Тао, Теренс ; Циглер, Тамар (2013). «Исправление к фразе «Простые числа содержат произвольно длинные полиномиальные прогрессии». Acta Mathematica . 210 (2): 403–404. doi : 10.1007/s11511-013-0097-7 . MR  3070570.
13. Тао, Теренс (2006). «Простые числа Гаусса содержат созвездия произвольной формы». Journal d'Analyse Mathématique . 99 (1): 109–176. arXiv : math/0501314 . doi : 10.1007/BF02789444 . MR  2279549. S2CID  119664036.

Дальнейшее чтение

• Conlon, David ; Fox, Jacob ; Zhao, Yufei (2014). «Теорема Грина–Тао: изложение». EMS Surveys in Mathematical Sciences . 1 (2): 249–282. arXiv : 1403.2957 . doi :10.4171/EMSS/6. MR  3285854. S2CID  119301206.
• Gowers, Timothy (2010). «Разложения, приближенная структура, перенос и теорема Хана–Банаха». Бюллетень Лондонского математического общества . 42 (4): 573–606. arXiv : 0811.3103 . doi :10.1112/blms/bdq018. MR  2669681. S2CID  17216784.
• Грин, Бен (2007). «Длинные арифметические прогрессии простых чисел». В Дьюке, Уильям; Чинкель, Юрий (ред.). Аналитическая теория чисел . Clay Mathematics Proceeding. Том 7. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 149–167. ISBN 978-0-8218-4307-9. МР  2362199.
• Ведущий, Бернард (2006). «Арифметические прогрессии в простых числах (по Б. Грину и Т. Тао)» [Арифметические прогрессии в простых числах (по Б. Грину и Т. Тао)] (PDF) . Астериск (на французском языке) (307): 229–246. arXiv : math/0609795 . Бибкод : 2006math......9795H. МР  2296420.
• Kra, Bryna (2006). «Теорема Грина–Тао об арифметических прогрессиях простых чисел: эргодическая точка зрения». Бюллетень Американского математического общества . 43 (1): 3–23. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01086-4 . MR  2188173.
• Тао, Теренс (2006). «Арифметические прогрессии и простые числа». Collectanea Mathematica . Extra: 37–88. MR  2264205. Архивировано из оригинала 2015-08-05 . Получено 2015-06-05 .
• Тао, Теренс (2006). «Препятствия к однородности и арифметические закономерности в простых числах». Pure and Applied Mathematics Quarterly . 2 (2): 395–433. arXiv : math/0505402 . doi :10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a2. MR  2251475. S2CID  6939076.
• Тао, Теренс (07.01.2008). «Лекция AMS: Структура и случайность в простых числах».