Гипотеза Каталана

Гипотеза Каталана (или теорема Михайлеску ) — теорема теории чисел , выдвинутая математиком Эженом Шарлем Каталаном в 1844 году и доказанная в 2002 году Предой Михайлеску из Университета Падерборна . ^[1]^[2] Целые числа 2 ³ и 3 ² представляют собой две совершенные степени (то есть степени показателя выше единицы) натуральных чисел , значения которых (8 и 9 соответственно) являются последовательными. Теорема утверждает, что это единственный случай двух последовательных совершенных степеней. То есть, что

Гипотеза Каталана — единственное решение в натуральных числах

x^{a}-y^{b}=1

для $a, b > 1$ , $x, y > 0$ это $x = 3$ , $a = 2$ , $y = 2$ , $b = 3$ .

История

История проблемы восходит, по крайней мере, к Герсониду , который доказал частный случай гипотезы в 1343 году, когда ( x , y ) было ограничено до (2, 3) или (3, 2). Первый значительный прогресс после того, как Каталан выдвинул свою гипотезу, произошел в 1850 году, когда Виктор-Амеде Лебег рассмотрел случай b = 2. ^[3]

В 1976 году Роберт Тейдеман применил метод Бейкера в теории трансцендентности , чтобы установить границу для a, b, и использовал существующие результаты, ограничивающие x , y в терминах a , b, чтобы дать эффективную верхнюю оценку для x , y , a , b . Мишель Ланжевен вычислил значение для границы, ^[4] разрешив гипотезу Каталана для всех случаев, кроме конечного числа. $\exp \exp \exp \exp 730 \около 10^{10^{10^{10^{317}}}}$

Гипотеза Каталана была доказана Предой Михайлеску в апреле 2002 года. Доказательство было опубликовано в журнале Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004. В нем широко используется теория круговых полей и модулей Галуа . Изложение доказательства было дано Юрием Билю в «Семинаре Бурбаки» . ^[5] В 2005 году Михайлеску опубликовал упрощенное доказательство. ^[6]

Гипотеза Пиллаи

Нерешенная задача по математике :

Встречается ли каждое положительное целое число только конечное число раз как разность совершенных степеней?

(еще нерешенные задачи по математике)

Гипотеза Пиллаи касается общего различия совершенных полномочий (последовательность A001597 в OEIS ): это открытая проблема, первоначально предложенная С. С. Пиллаи , который предположил, что пробелы в последовательности совершенных полномочий стремятся к бесконечности. Это эквивалентно утверждению, что каждое положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней: в более общем смысле, в 1931 году Пиллаи предположил, что для фиксированных положительных целых чисел A , B , C уравнение имеет только конечное число решений ( x , y , м , п ) с ( м , п ) ≠ (2, 2). Пиллаи доказал, что для фиксированных A , B , x , y и для любого λ меньше 1 мы имеем равномерно по m и n . ^[7] $Ax^{n}-By^{m}=C$ $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$

Общая гипотеза будет следовать из гипотезы ABC . ^[7]^[8]

Гипотеза Пиллаи означает, что для каждого натурального числа n существует только конечное число пар совершенных степеней с разницей n . В списке ниже для n ≤ 64 показаны все решения для совершенных степеней меньше 10 ¹⁸ , такие, что показатель степени обеих степеней больше 1. Количество таких решений для каждого n указано в OEIS : A076427 . См. также OEIS : A103953 для наименьшего решения (> 0).

Смотрите также

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. , гипотеза Каталана, MathWorld
^ Михайлеску 2004 г.
^ Виктор-Амеде Лебег (1850), «Sur l'impossabilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1», Nouvelles annales de mathématiques , 1 ^re série, 9 : 178–181
^ Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , с. 236, ISBN 0-387-90432-8, Збл 0456.10006
^ Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонца», Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Разоблачения 909–923 , Asterisque, vol. 294, стр. 1–26.
^ Михайлеску 2005 г.
^ аб Наркевич, Владислав (2011), Теория рациональных чисел в 20 веке: от PNT к FLT , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag , стр. 253–254, ISBN 978-0-857-29531-6
^ Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовые приближения и диофантовые уравнения , Конспекты лекций по математике, том. 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag , с. 207, ISBN 3-540-54058-Х, Збл 0754.11020

Внешние ссылки