Теорема Гельмгольца (классическая механика)

Результат, подобный термодинамике, в классической механике

Теорема Гельмгольца классической механики гласит:

Пусть будет гамильтонианом одномерной системы, где - кинетическая энергия , а - "U-образный" профиль потенциальной энергии , который зависит от параметра . Пусть обозначает среднее по времени. Пусть $${\displaystyle H(x,p;V)=K(p)+\varphi (x;V)}$$ $${\displaystyle K={\frac {p^{2}}{2m}}}$$ $${\displaystyle \varphi (x;V)}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \right\rangle _{t}}$

• ${\displaystyle E=K+\varphi ,}$
• ${\displaystyle T=2\left\langle K\right\rangle _{t},}$
• ${\displaystyle P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t},}$
• ${\displaystyle S(E,V)=\log \oint {\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}\,dx.}$

Затем $${\displaystyle dS={\frac {dE+PdV}{T}}.}$$

Замечания

Тезис этой теоремы классической механики читается точно так же, как тепловая теорема термодинамики . Этот факт показывает, что между определенными механическими величинами существуют термодинамические соотношения. Это, в свою очередь, позволяет определить «термодинамическое состояние» одномерной механической системы. В частности, температура задается средним по времени значением кинетической энергии, а энтропия — логарифмом действия ( т. е. ). Важность этой теоремы была признана Людвигом Больцманом , который увидел, как применить ее к макроскопическим системам (т. е. многомерным системам), чтобы обеспечить механическую основу равновесной термодинамики . Эта исследовательская деятельность была строго связана с его формулировкой эргодической гипотезы . Многомерная версия теоремы Гельмгольца, основанная на эргодической теореме Джорджа Дэвида Биркгофа, известна как обобщенная теорема Гельмгольца. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \oint dx{\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}}$

Обобщенная версия

Обобщенная теорема Гельмгольца является многомерным обобщением теоремы Гельмгольца и гласит следующее.

Позволять

${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},...,p_{s}),}$

${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},...,q_{s}),}$

будут каноническими координатами s -мерной гамильтоновой системы , и пусть

${\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)=K(\mathbf {p} )+\varphi (\mathbf {q} ;V)}$

— функция Гамильтона , где

${\displaystyle K=\sum _{i=1}^{s}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}}$,

это кинетическая энергия и

${\displaystyle \varphi (\mathbf {q} ;V)}$

— потенциальная энергия , зависящая от параметра . Пусть гиперповерхности постоянной энергии в 2 s -мерном фазовом пространстве системы метрически неразложимы и пусть обозначает среднее по времени. Определим величины , , , , следующим образом: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \right\rangle _{t}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle E=K+\varphi }$,

${\displaystyle T={\frac {2}{s}}\left\langle K\right\rangle _{t}}$,

${\displaystyle P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t}}$,

${\displaystyle S(E,V)=\log \int _{H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)\leq E}d^{s}\mathbf {p} d^{s}\mathbf {q} .}$

Затем:

${\displaystyle dS={\frac {dE+PdV}{T}}.}$

Ссылки

• Гельмгольц, Х., фон (1884a). Принцип моноциклической системы статистики. Журнал Борхардта-Крелле für die reine und angewandte Mathematik , 97, 111–140 (также в Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (стр. 142–162, 179–202). Лейпциг: Иоганн Амвросий Барт).
• Гельмгольц, Х., фон (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , I, 159–177 (также в Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (стр. 163–178). Лейпциг: Иоганн Амброзиус Барт).
• Больцман, Л. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme. Crelles Journal , 98: 68–94 (также в Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (том 3, стр. 122–152), F. Hasenöhrl (ред.). Лейпциг. Переиздано в Нью-Йорке: Челси, 1969). ).
• Галлавотти, Г. (1999). Статистическая механика: Краткий трактат . Берлин: Springer.
• Кампизи, М. (2005) О механических основах термодинамики: обобщенная теорема Гельмгольца Исследования по истории и философии современной физики 36: 275–290