Теорема Дональдсона

О том, когда определенная форма пересечения гладкого 4-многообразия диагонализуема

В математике , и особенно в дифференциальной топологии и калибровочной теории , теорема Дональдсона утверждает, что определенная форма пересечения компактного , ориентированного , гладкого многообразия размерности 4 диагонализуема . Если форма пересечения положительно (отрицательно) определена, ее можно диагонализовать до единичной матрицы (отрицательной единичной матрицы ) над целыми числами . Первоначальная версия ^[1] теоремы требовала, чтобы многообразие было односвязным , но позже она была улучшена для применения к 4-многообразиям с любой фундаментальной группой . ^[2]

История

Теорема была доказана Саймоном Дональдсоном . Этот вклад был отмечен медалью Филдса в 1986 году.

Идея доказательства

Доказательство Дональдсона использует модульное пространство решений уравнений анти-самодуальности на главном -расслоении над четырехмерным многообразием . По теореме Атьи–Зингера об индексе размерность модульного пространства определяется как ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)),}$

где — класс Черна , — первое число Бетти для , а — размерность положительно определенного подпространства относительно формы пересечения. Когда — односвязно с определенной формой пересечения, возможно, после изменения ориентации, всегда имеем и . Таким образом, взяв любое главное -расслоение с , получаем пространство модулей размерности пять. ${\displaystyle k=c_{2}(P)}$ ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{+}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle b_{+}(X)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Кобордизм, заданный пространством модулей Янга–Миллса в теореме Дональдсона

Это пространство модулей некомпактно и в общем случае гладко, с особенностями, возникающими только в точках, соответствующих приводимым связям, которых имеется ровно много. ^[3] Результаты Клиффорда Таубса и Карен Уленбек показывают, что, хотя является некомпактным, его структуру на бесконечности можно легко описать. ^{[4] [5] [6]} А именно, существует открытое подмножество , скажем , такое, что для достаточно малых выборов параметра , существует диффеоморфизм ${\displaystyle b_{2}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }{\xrightarrow {\quad \cong \quad }}X\times (0,\varepsilon )}$.

Работа Таубса и Уленбека по существу касается построения последовательностей ASD-связей на четырехмерном многообразии с кривизной, которая становится бесконечно сконцентрированной в любой заданной точке . Для каждой такой точки в пределе получается уникальная сингулярная ASD-связь, которая становится хорошо определенной гладкой ASD-связью в этой точке с использованием теоремы Уленбека об устранимой сингулярности. ^{[6] [3]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Дональдсон заметил, что особые точки внутри , соответствующие приводимым связям, также могут быть описаны: они выглядят как конусы над комплексной проективной плоскостью . Более того, мы можем подсчитать количество таких особых точек. Пусть будет -расслоением над , связанным с стандартным представлением . Тогда приводимые связи по модулю калибровки находятся в соответствии 1-1 с расщеплениями , где - комплексное линейное расслоение над . ^[3] Всякий раз, когда мы можем вычислить: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$

${\displaystyle 1=k=c_{2}(E)=c_{2}(L\oplus L^{-1})=-Q(c_{1}(L),c_{1}(L))}$,

где — форма пересечения на вторых когомологиях . Поскольку линейные расслоения над классифицируются по их первому классу Черна , мы получаем, что приводимые связности по модулю калибровки находятся в соответствии 1-1 с парами такими, что . Пусть число пар равно . Элементарный аргумент, который применим к любой отрицательно определенной квадратичной форме над целыми числами, говорит нам, что , с равенством тогда и только тогда, когда диагонализируемо. ^[3] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(L)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pm \alpha \in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha )=-1}$ ${\displaystyle n(Q)}$ ${\displaystyle n(Q)\leq {\text{rank}}(Q)}$ ${\displaystyle Q}$

Таким образом, можно компактифицировать пространство модулей следующим образом: во-первых, отрезать каждый конус в приводимой сингулярности и вклеить копию . Во-вторых, вклеить копию себя на бесконечности. Полученное пространство является кобордизмом между и несвязным объединением копий (неизвестных ориентаций). Сигнатура четырехмерного многообразия является инвариантом кобордизма. Таким образом, поскольку определено: ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n(Q)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{rank}}(Q)=b_{2}(X)=\sigma (X)=\sigma (\bigsqcup n(Q)\mathbb {CP} ^{2})\leq n(Q)}$,

из чего следует вывод, что форма пересечения диагонализируема. ${\displaystyle X}$

Расширения

Майкл Фридман ранее показал, что любая унимодулярная симметричная билинейная форма реализуется как форма пересечения некоторого замкнутого, ориентированного четырехмерного многообразия . Объединяя этот результат с теоремой классификации Серра и теоремой Дональдсона, можно увидеть несколько интересных результатов:

1) Любая неопределенная недиагонализуемая форма пересечения порождает четырехмерное топологическое многообразие без дифференцируемой структуры (поэтому не может быть сглажена).

2) Два гладких односвязных 4-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда их формы пересечения имеют одинаковый ранг , сигнатуру и четность.

Смотрите также

• Унимодулярная решетка
• теория Дональдсона
• Уравнения Янга–Миллса
• Теорема Рохлина

Примечания

1. Дональдсон, СК (1983-01-01). "Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии". Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2). doi : 10.4310/jdg/1214437665 . ISSN  0022-040X.
2. Дональдсон, СК (1987-01-01). "Ориентация пространств модулей Янга-Миллса и топология 4-многообразия". Журнал дифференциальной геометрии . 26 (3). doi : 10.4310/jdg/1214441485 . ISSN  0022-040X. S2CID  120208733.
3. Дональдсон, SK (1983). Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18(2), 279-315.
4. Таубс, CH (1982). Самодуальные связности Янга–Миллса на несамодвойственных 4-многообразиях. Журнал дифференциальной геометрии, 17(1), 139-170.
5. Уленбек, КК (1982). Связи с ограничениями L p на кривизну. Сообщения по математической физике, 83(1), 31-42.
6. Uhlenbeck, KK (1982). Устранимые сингулярности в полях Янга–Миллса. Сообщения по математической физике, 83(1), 11-29.

Ссылки

• Дональдсон, СК (1983), «Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии», Журнал дифференциальной геометрии , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310/jdg/1214437665 , MR  0710056, Zbl  0507.57010
• Дональдсон, СК; Кронхаймер, ПБ (1990), Геометрия четырехмерных многообразий , Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850269-9
• Фрид, Д.С.; Уленбек, К. (1984), Инстантоны и четырехмерные многообразия , Springer
• Фридман, М.; Куинн, Ф. (1990), Топология 4-многообразий , Princeton University Press
• Скорпан, А. (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество