Единственное нетривиальное положительное целое решение для x^ay^b, равное 1, - это 3^2-2^3.
Гипотеза Каталана (или теорема Михайлеску ) — теорема теории чисел , выдвинутая математиком Эженом Шарлем Каталаном в 1844 году и доказанная в 2002 году Предой Михайлеску из Университета Падерборна . [1] [2] Целые числа 2 3 и 3 2 представляют собой две совершенные степени (то есть степени показателя выше единицы) натуральных чисел , значения которых (8 и 9 соответственно) являются последовательными. Теорема утверждает, что это единственный случай двух последовательных совершенных степеней. То есть, что
Гипотеза Каталана — единственное решение в натуральных числах
![{\displaystyle x^{a}-y^{b}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для a , b > 1 , x , y > 0 это x = 3 , a = 2 , y = 2 , b = 3 .
История
История проблемы восходит, по крайней мере, к Герсониду , который доказал частный случай гипотезы в 1343 году, когда ( x , y ) было ограничено до (2, 3) или (3, 2). Первый значительный прогресс после того, как Каталан выдвинул свою гипотезу, произошел в 1850 году, когда Виктор-Амеде Лебег рассмотрел случай b = 2. [3]
В 1976 году Роберт Тейдеман применил метод Бейкера в теории трансцендентности , чтобы установить границу для a, b, и использовал существующие результаты, ограничивающие x , y в терминах a , b, чтобы дать эффективную верхнюю оценку для x , y , a , b . Мишель Ланжевен вычислил значение для границы, [4] разрешив гипотезу Каталана для всех случаев, кроме конечного числа.![{\displaystyle \exp \exp \exp \exp 730 \около 10^{10^{10^{10^{317}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Гипотеза Каталана была доказана Предой Михайлеску в апреле 2002 года. Доказательство было опубликовано в журнале Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004. В нем широко используется теория круговых полей и модулей Галуа . Изложение доказательства было дано Юрием Билю в «Семинаре Бурбаки» . [5] В 2005 году Михайлеску опубликовал упрощенное доказательство. [6]
Гипотеза Пиллаи
Нерешенная задача по математике :
Встречается ли каждое положительное целое число только конечное число раз как разность совершенных степеней?
Гипотеза Пиллаи касается общего различия совершенных полномочий (последовательность A001597 в OEIS ): это открытая проблема, первоначально предложенная С. С. Пиллаи , который предположил, что пробелы в последовательности совершенных полномочий стремятся к бесконечности. Это эквивалентно утверждению, что каждое положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней: в более общем смысле, в 1931 году Пиллаи предположил, что для фиксированных положительных целых чисел A , B , C уравнение имеет только конечное число решений ( x , y , м , п ) с ( м , п ) ≠ (2, 2). Пиллаи доказал, что для фиксированных A , B , x , y и для любого λ меньше 1 мы имеем равномерно по m и n . [7]![{\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Общая гипотеза вытекает из гипотезы ABC . [7] [8]
Гипотеза Пиллаи означает, что для каждого натурального числа n существует только конечное число пар совершенных степеней с разницей n . В списке ниже для n ≤ 64 показаны все решения для совершенных степеней меньше 10 18 , такие, что показатель обеих степеней больше 1. Количество таких решений для каждого n указано в OEIS : A076427 . См. также OEIS : A103953 для наименьшего решения (> 0).
Смотрите также
Примечания
- ^ Вайсштейн, Эрик В. , гипотеза Каталана, MathWorld
- ^ Михайлеску 2004 г.
- ^ Виктор-Амеде Лебег (1850), «Sur l'impossabilité, en nombres entiers, de l'équation x m = y 2 +1», Nouvelles annales de mathématiques , 1 re série, 9 : 178–181
- ^ Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , с. 236, ISBN 0-387-90432-8, Збл 0456.10006
- ^ Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонца», Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Разоблачения 909–923 , Asterisque, vol. 294, стр. 1–26.
- ^ Михайлеску 2005 г.
- ^ аб Наркевич, Владислав (2011), Теория рациональных чисел в 20 веке: от PNT к FLT , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag , стр. 253–254, ISBN 978-0-857-29531-6
- ^ Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовы приближения и диофантовые уравнения , Конспекты лекций по математике, том. 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag , с. 207, ISBN 3-540-54058-Х, Збл 0754.11020
Рекомендации
- Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонца (по Михайлеску)», Asterisque , 294 : vii, 1–26, MR 2111637
- Каталонец, Эжен (1844), «Extraite d'une lettre adressée à l'éditeur», Ж. Рейн Ангью. Математика. (на французском языке), 27 : 192, doi : 10.1515/crll.1844.27.192, MR 1578392
- Коэн, Анри (2005). Демонстрация каталонской гипотезы [ Доказательство каталонской гипотезы ]. Теория алгоритмических чисел и диофантовых уравнений (на французском языке). Палезо: Éditions de l'École Polytechnique. стр. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0. МР 0222434.
- Мецянкюля, Тауно (2004), «Гипотеза Каталана: решена еще одна старая диофантова проблема» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5 , МР 2015449
- Михайлеску, Преда (2004), «Первичные циклотомные единицы и доказательство гипотезы Каталана», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 2004 (572): 167–195, doi :10.1515/crll.2004.048, MR 2076124
- Михайлеску, Преда (2005), «Отражение, числа Бернулли и доказательство гипотезы Каталана» (PDF) , Европейский математический конгресс , Цюрих: Eur. Математика. Соц.: 325–340, MR 2185753, заархивировано из оригинала (PDF) 26 июня 2022 г.
- Рибенбойм, Пауло (1994), Гипотеза Каталонца , Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, МР 1259738 Предшествует доказательству Михайлеску.
- Тиждеман, Роберт (1976), «Об уравнении каталанского языка» (PDF) , Acta Arith. , 29 (2): 197–209, doi : 10.4064/aa-29-2-197-209 , MR 0404137
Внешние ссылки