Теорема Парсеваля

Теорема в математике

В математике теорема Парсеваля обычно относится к результату, что преобразование Фурье является унитарным ; в более широком смысле, что сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. ^[1] Она берет свое начало из теоремы 1799 года о рядах Марка -Антуана Парсеваля , которая позже была применена к рядам Фурье . Она также известна как энергетическая теорема Рэлея или тождество Рэлея , в честь Джона Уильяма Стрэтта , лорда Рэлея. ^[2]

Хотя термин «теорема Парсеваля» часто используется для описания унитарности любого преобразования Фурье, особенно в физике , наиболее общую форму этого свойства правильнее называть теоремой Планшереля . ^[3]

Формулировка теоремы Парсеваля

Предположим, что и — две комплекснозначные функции на периоде , которые квадратично интегрируемы (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода с рядом Фурье ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$

и

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}$

соответственно. Тогда

где - мнимая единица , а горизонтальные черты обозначают комплексное сопряжение . Подставляя и : ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle {\overline {B(x)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {b_{n}}}e^{-inx}{\biggr )}\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\Bigl (}a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots {\Bigr )}{\Bigl (}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots {\Bigr )}\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Как и в случае со средними членами в этом примере, многие члены будут интегрироваться в течение полного периода длины (см. гармоники ): ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]\end{aligned}}}$

В более общем случае, если и вместо этого являются двумя комплекснозначными функциями периода , которые квадратично интегрируемы (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода, с рядом Фурье ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}$

и

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}$

соответственно. Тогда

Даже более общо, если задана абелева локально компактная группа G с дуальной по Понтрягину группой G^ , теорема Парсеваля гласит, что преобразование Понтрягина–Фурье является унитарным оператором между гильбертовыми пространствами L ² ( G ) и L ² ( G^ ) (при этом интегрирование ведется по соответствующим масштабированным мерам Хаара на двух группах). Когда G — единичная окружность T , G^ — целые числа, и это тот случай, который обсуждался выше. Когда G — вещественная прямая , G^ также является и унитарным преобразованием является преобразование Фурье на вещественной прямой. Когда G — циклическая группа Z _n , она снова самодуальна, и преобразование Понтрягина–Фурье — это то, что в прикладном контексте называется дискретным преобразованием Фурье . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Теорему Парсеваля можно также выразить следующим образом:

Предположим, что является квадратично интегрируемой функцией на (т.е. и интегрируемы на этом интервале), с рядом Фурье ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{2}(x)}$

${\displaystyle f(x)\simeq {\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx){\bigr )}.}$

Тогда ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}a_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).}$

Обозначения, используемые в технике

В электротехнике теорему Парсеваля часто записывают так:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}x(t){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}X(\omega ){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}X(2\pi f){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} f}$

где представляет собой непрерывное преобразование Фурье (в неунитарной форме) , а — частота в радианах в секунду. ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

Интерпретация этой формы теоремы заключается в том, что полную энергию сигнала можно рассчитать путем суммирования мощности на выборку по времени или спектральной мощности по частоте.

Для дискретных по времени сигналов теорема принимает вид:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\bigl |}X_{2\pi }({\phi }){\bigr |}^{2}\mathrm {d} \phi }$

где — дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) и представляет собой угловую частоту (в радианах на выборку) . ${\displaystyle X_{2\pi }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$

Альтернативно, для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) соотношение становится следующим:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigl |}X[k]{\bigr |}^{2}}$

где — ДПФ , оба имеют длину . ${\displaystyle X[k]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle N}$

Ниже мы показываем случай DFT. Для других случаев доказательство аналогично. Используя определение обратного DFT для , мы можем вывести ${\displaystyle X[k]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigl |}X[k]{\bigr |}^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\Biggl (}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right){\Biggr )}\,X^{*}[k]\\[5mu]&={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\Biggl (}\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right){\Biggr )}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\bigl (}N\cdot x^{*}[n]{\bigr )}\\[5mu]&=\sum _{n=0}^{N-1}{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2},\end{aligned}}}$

где представляет собой комплексно сопряженное число. ${\displaystyle *}$

Смотрите также

Теорема Парсеваля тесно связана с другими математическими результатами, включающими унитарные преобразования:

• тождество Парсеваля
• Теорема Планшереля
• Теорема Винера–Хинчина
• Неравенство Бесселя

Примечания

1. Парсеваль де Шен, Марк-Антуан «Мемуар о сериях и полной интеграции уравнений с различиями в линейных частях второго порядка, константах коэффициентов», представленный перед Академией наук (Париж) 5 апреля 1799 года. Эта статья был опубликован в журнале Mémoires presentés à l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées Sciences, mathématiques et Physiques (Savants étrangers.) , vol. 638–648 (1806).
2. Рэлей, Дж. В. С. (1889) «О характере полного излучения при данной температуре», Philosophical Magazine , т. 27, стр. 460–469. Доступно онлайн здесь.
3. Планшерель, Мишель (1910) «Вклад в этюд де ла представление d'une fonction Arbitaire par les Integres Définies», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, страницы 298–335.
4. Артур Э. Данезе (1965). Advanced Calculus . Том 1. Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon, Inc., стр. 439.
5. Уилфред Каплан (1991). Advanced Calculus (4-е изд.). Reading, MA: Addison Wesley. стр. 519. ISBN 0-201-57888-3.
6. Георгий П. Толстов (1962). Ряды Фурье . Перевод Сильвермана, Ричарда. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. стр. 119.

Внешние ссылки

• Теорема Парсеваля на Mathworld