Теорема Ф. Рисса

Теорема Ф. Рисса (названная в честь Фридьеса Рисса ) — важная теорема функционального анализа , которая утверждает, что топологическое векторное пространство Хаусдорфа (TVS) конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно . Теорема и ее следствия повсеместно используются в функциональном анализе, часто без явного упоминания.

Заявление

Напомним, что топологическое векторное пространство (ТВП) является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда одноэлементное множество, состоящее полностью из начала координат, является замкнутым подмножеством в. Отображение между двумя ТВП называется ТВС-изоморфизмом или изоморфизмом в категории ТВП, если оно линейный гомеоморфизм . ​ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема Ф. Рисса ^{[1] [2]}  —  Хаусдорф ТВС над полем ( это действительные или комплексные числа) конечномерен тогда и только тогда, когда он локально компактен (или, что то же самое, тогда и только тогда , когда существует компакт окрестности начала координат). В этом случае TVS-изоморфен ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{{\text{dim}}X}.}$

Последствия

Везде речь идет о ТВС (не обязательно Хаусдорфовых) с конечномерным векторным пространством. ${\displaystyle F,X,Y}$ ${\displaystyle F}$

• Каждое конечномерное векторное подпространство хаусдорфовой ТВС является замкнутым подпространством. ^[1]
• Все конечномерные ТВС Хаусдорфа являются банаховыми пространствами , и все нормы в таком пространстве эквивалентны. ^[1]
• Замкнуто + конечномерно замкнуто : если это замкнутое векторное подпространство TVS и если это конечномерное векторное подпространство ( и не обязательно являются Хаусдорфовыми), то это замкнутое векторное подпространство ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,M,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M+F}$ ${\displaystyle Y.}$
• Каждый изоморфизм векторного пространства (т.е. линейная биекция ) между двумя конечномерными хаусдорфовыми TVS является TVS-изоморфизмом . ^[1]
• Единственность топологии : Если — конечномерное векторное пространство и если и — две хаусдорфовых TVS-топологии на то ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{1}=\tau _{2}.}$
• Конечномерная область : линейное отображение между ТВС Хаусдорфа обязательно непрерывно. ^[1] ${\displaystyle L:F\to Y}$
  • В частности, всякий линейный функционал конечномерной хаусдорфовой ТВС непрерывен.
• Конечномерный диапазон : Любое непрерывное сюръективное линейное отображение с конечномерным диапазоном Хаусдорфа является открытым отображением ^[1] и, следовательно, топологическим гомоморфизмом . ${\displaystyle L:X\to Y}$

В частности, область значений TVS-изоморфна ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X/L^{-1}(0).}$

• ТВС (не обязательно Хаусдорф) локально компактен тогда и только тогда, когда конечномерен. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\overline {\{0\}}}}$
• Выпуклая оболочка компактного подмножества конечномерной хаусдорфовой ТВС компактна. ^[1]
  • Отсюда, в частности, следует, что выпуклая оболочка компакта равна замкнутой выпуклой оболочке этого множества.
• Хаусдорфова локально ограниченная ТВС со свойством Гейне-Бореля обязательно конечномерна. ^[2]

Смотрите также

• Лемма Рисса

Рекомендации

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 101–105.
2. Рудин 1991, стр. 7–18.

Библиография

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.