Теорема Грина

Теорема исчисления, связывающая линейные и двойные интегралы

В векторном исчислении теорема Грина связывает линейный интеграл по простой замкнутой кривой C с двойным интегралом по плоской области D (поверхность в ), ограниченной C . Это двумерный частный случай теоремы Стокса (поверхность в ). В одном измерении она эквивалентна основной теореме исчисления. В трех измерениях она эквивалентна теореме о расходимости . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Теорема

Пусть C — положительно ориентированная , кусочно- гладкая , простая замкнутая кривая на плоскости , а D — область, ограниченная C. Если L и M — функции ( x , y ), определенные на открытой области, содержащей D , и имеющие там непрерывные частные производные , то

$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA}$$

где путь интегрирования вдоль C направлен против часовой стрелки . ^{[1] [2]}

Приложение

В физике теорема Грина находит множество применений. Одно из них — решение двумерных интегралов потока, утверждающее, что сумма жидкости, вытекающей из объема, равна общему оттоку, просуммированному по охватывающей области. В планарной геометрии , и в частности, при обследовании площади , теорема Грина может быть использована для определения площади и центра масс плоских фигур исключительно путем интегрирования по периметру.

Доказательство когдаДэто простая область

Если D — _{простой тип области , граница которой} состоит из кривых C1 , C2 , C3 , C4 , _то можно продемонстрировать половину теоремы Грина.

Ниже приведено доказательство половины теоремы для упрощенной области D , области типа I, где C ₁ и C ₃ — кривые, соединенные вертикальными линиями (возможно, нулевой длины). Аналогичное доказательство существует для другой половины теоремы, когда D — область типа II, где C ₂ и C ₄ — кривые, соединенные горизонтальными линиями (опять же, возможно, нулевой длины). Объединяя эти две части, теорема доказывается для областей типа III (определяемых как области, которые являются как типами I, так и типами II). Общий случай затем может быть выведен из этого особого случая путем разложения D на набор областей типа III.

Если можно показать, что

и

верны, то теорема Грина следует немедленно для области D. Мы можем легко доказать ( 1 ) для областей типа I и ( 2 ) для областей типа II. Тогда теорема Грина следует для областей типа III.

Предположим, что область D является областью типа I и, таким образом, может быть охарактеризована, как показано справа, как где g ₁ и g ₂ являются непрерывными функциями на [ a , b ] . Вычислите двойной интеграл в ( 1 ): $${\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$$

_Теперь вычислим линейный интеграл в ( 1 ) . C можно переписать как объединение четырех кривых _: C1 , C2 , C3 _{, C4} .

С C ₁ используем параметрические уравнения : x = x , y = g ₁ ( x ), a ≤ x ≤ b . Тогда $${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}$$

С C ₃ используем параметрические уравнения: x = x , y = g ₂ ( x ), a ≤ x ≤ b . Тогда $${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$$

Интеграл по C ₃ отрицательный, поскольку он идет в отрицательном направлении от b к a , так как C ориентирован положительно (против часовой стрелки). На C ₂ и C ₄ x остается постоянным, что означает $${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}$$

Поэтому,

Объединяя ( 3 ) с ( 4 ), получаем ( 1 ) для регионов типа I. Аналогичная обработка дает ( 2 ) для регионов типа II. Сложив их вместе, получаем результат для регионов типа III.

Доказательство для спрямляемых жордановых кривых

Мы собираемся доказать следующее

Теорема  —  Пусть будет спрямляемой, положительно ориентированной жордановой кривой в и пусть обозначает ее внутреннюю область. Предположим, что являются непрерывными функциями со свойством, что имеет вторую частную производную в каждой точке , имеет первую частную производную в каждой точке и что функции интегрируемы по Риману над . Тогда ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \int _{\Gamma }(A\,dx+B\,dy)=\int _{R}\left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)\right)\,d(x,y).}$$

Нам понадобятся следующие леммы, доказательства которых можно найти в: ^[3]

Лемма 1 (лемма разложения)  —  Предположим , что есть спрямляемая, положительно ориентированная жорданова кривая на плоскости, и пусть будет ее внутренняя область. Для каждого положительного действительного числа пусть обозначает совокупность квадратов на плоскости, ограниченную прямыми , где пробегает множество целых чисел. Тогда для этого существует разложение на конечное число непересекающихся подобластей таким образом, что ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$ ${\displaystyle x=m\delta ,y=m\delta }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$

1. Каждая из подобластей, содержащихся , скажем , в , представляет собой квадрат из . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$
2. Каждая из оставшихся подобластей, скажем , имеет в качестве границы спрямляемую жорданову кривую, образованную конечным числом дуг и частями сторон некоторого квадрата из . ${\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$
3. Каждую из приграничных областей можно заключить в квадрат с длиной ребра . ${\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}$ ${\displaystyle 2\delta }$
4. Если — положительно ориентированная граничная кривая , то ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.}$
5. Число приграничных областей не превышает , где — длина . ${\displaystyle s-k}$ ${\textstyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Лемма 2  —  Пусть будет спрямляемой кривой на плоскости и пусть будет множеством точек на плоскости, расстояние от которых (диапазон значений) не превышает . Внешнее жорданово содержимое этого множества удовлетворяет . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Delta _{\Gamma }(h)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {c}}\,\,\Delta _{\Gamma }(h)\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}}$

Лемма 3  —  Пусть — спрямляемая кривая в и пусть — непрерывная функция. Тогда и где — колебание в области значений . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}$$ $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dx\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}$$ ${\displaystyle \Omega _{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Теперь мы готовы доказать теорему:

Доказательство теоремы. Пусть — произвольное положительное действительное число. В силу непрерывности и компактности , при условии , существует такое, что всякий раз, когда две точки находятся на расстоянии меньшем, чем друг от друга, их образы при находятся на расстоянии меньшем, чем друг от друга. Для этого рассмотрим разложение, данное предыдущей леммой. Имеем ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle 0<\delta <1}$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}$$

Помещать . ${\displaystyle \varphi :=D_{1}B-D_{2}A}$

Для каждого кривая представляет собой положительно ориентированный квадрат, для которого справедлива формула Грина. Следовательно ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}$$

Каждая точка приграничной области находится на расстоянии не большем, чем от . Таким образом, если — объединение всех приграничных областей, то ; следовательно , по лемме 2. Обратите внимание, что Это дает ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )}$ ${\displaystyle c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}}$ $${\displaystyle \int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .}$$ $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.}$$

Мы также можем выбрать так, чтобы правая часть последнего неравенства была равна ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle <\varepsilon .}$

Замечание в начале этого доказательства подразумевает, что колебания и на каждой граничной области не превышают . Мы имеем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}$$

По лемме 1(iii), $${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.}$$

Объединяя их, мы наконец получаем для некоторых . Поскольку это верно для каждого , мы закончили. $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,}$$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Обоснованность при различных гипотезах

Гипотезы последней теоремы не являются единственными, при которых формула Грина верна. Другой общий набор условий следующий:

Функции по-прежнему предполагаются непрерывными. Однако теперь мы требуем, чтобы они были дифференцируемы по Фреше в каждой точке . Это подразумевает существование всех производных по направлению, в частности , где, как обычно, — канонический упорядоченный базис . Кроме того, мы требуем, чтобы функция была интегрируема по Риману над . ${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2}$ ${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$ ${\displaystyle R}$

Как следствие этого, мы получаем интегральную теорему Коши для спрямляемых жордановых кривых:

Теорема (Коши)  —  Если — спрямляемая жорданова кривая в и если — непрерывное отображение, голоморфное во всей внутренней области , то интеграл является комплексным контурным интегралом. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:{\text{closure of inner region of }}\Gamma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle \int _{\Gamma }f=0,}$$

Доказательство

Мы рассматриваем комплексную плоскость как . Теперь определим так, чтобы Эти функции, очевидно, непрерывны. Хорошо известно, что и дифференцируемы по Фреше и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана: . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}}$

Теперь, анализируя суммы, используемые для определения рассматриваемого комплексного контурного интеграла, легко понять, что интегралы в правой части являются обычными линейными интегралами. Эти замечания позволяют нам применить теорему Грина к каждому из этих линейных интегралов, завершая доказательство. $${\displaystyle \int _{\Gamma }f=\int _{\Gamma }u\,dx-v\,dy\quad +i\int _{\Gamma }v\,dx+u\,dy,}$$

Многосвязные регионы

Теорема. Пусть будут положительно ориентированными спрямляемыми жордановыми кривыми в удовлетворяющими , где — внутренняя область . Пусть ${\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ $${\displaystyle D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).}$$

Предположим, что и являются непрерывными функциями, ограничение которых на дифференцируемо по Фреше. Если функция интегрируема по Риману над , то ${\displaystyle p:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}$$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}$$

Связь с теоремой Стокса

Теорема Грина является частным случаем теоремы Кельвина–Стокса , примененной к области в -плоскости. ${\displaystyle xy}$

Мы можем расширить двумерное поле до трехмерного поля с компонентой z , которая всегда равна 0. Запишем F для векторной функции . Начнем с левой части теоремы Грина: ${\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}$ $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$$

Теорема Кельвина–Стокса: $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$$

Поверхность — это просто область на плоскости , в которой единичная нормаль определена (по соглашению) как имеющая положительную компоненту z, чтобы соответствовать определениям «положительной ориентации» для обеих теорем. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Выражение внутри интеграла становится $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}$$

Таким образом, мы получаем правую часть теоремы Грина $${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

Теорема Грина также является прямым результатом общей теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм и внешних производных : $${\displaystyle \oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$$

Связь с теоремой о расходимости

Рассматривая только двумерные векторные поля, теорема Грина эквивалентна двумерной версии теоремы о расходимости :

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}$

где — дивергенция двумерного векторного поля , а — единичный нормальный вектор, направленный наружу на границе. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Чтобы увидеть это, рассмотрим единичную нормаль в правой части уравнения. Поскольку в теореме Грина — это вектор, направленный по касательной вдоль кривой, а кривая C — это положительно ориентированная (т.е. против часовой стрелки) кривая вдоль границы, то внешняя нормаль будет вектором, направленным на 90° вправо от него; одним из вариантов будет . Длина этого вектора равна Так ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$ ${\displaystyle (dy,-dx)}$ ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ ${\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

Начнем с левой части теоремы Грина: Применяя теорему о двумерной расходимости с , получаем правую часть теоремы Грина: $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} =(M,-L)}$ $${\displaystyle \oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

Расчет площади

Теорему Грина можно использовать для вычисления площади с помощью линейного интеграла. ^[4] Площадь плоской области определяется по формуле ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle A=\iint _{D}dA.}$$

Выберите и так , чтобы площадь была равна ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$ $${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}$$

Возможные формулы для площади включения ^[4] ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}$$

История

Он назван в честь Джорджа Грина , который сформулировал аналогичный результат в статье 1828 года под названием «Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» . В 1846 году Огюстен-Луи Коши опубликовал статью, в которой теорема Грина была изложена в предпоследнем предложении. Фактически, это первая печатная версия теоремы Грина в том виде, в котором она представлена ​​в современных учебниках. Бернхард Риман дал первое доказательство теоремы Грина в своей докторской диссертации по теории функций комплексного переменного. ^{[5] [6]}

Смотрите также

• Математический портал

• Планиметр  – инструмент для измерения площади
• Метод зарядов-изображений – метод, используемый в электростатике, который использует теорему единственности (выведенную из теоремы Грина).
• Формула шнурка – Частный случай теоремы Грина для простых многоугольников
• Desmos — графический веб-калькулятор

Ссылки

1. Райли, К. Ф.; Хобсон, М. П.; Бенс, С. Дж. (2010). Математические методы для физики и техники . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
2. Шпигель, MR; Липшуц, S.; Спеллман, D. (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
3. Апостол, Том (1960). Математический анализ (1-е изд.). Рединг, Массачусетс, США: Addison-Wesley Publishing Company, INC.
4. Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление (6-е изд.). Томсон, Брукс/Коул. ISBN 9780534359492.
5. Джордж Грин, Эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: T. Wheelhouse, 1828). Грин на самом деле не вывел форму «теоремы Грина», которая появляется в этой статье; скорее, он вывел форму «теоремы о расходимости», которая появляется на страницах 10–12 его Эссе .
   В 1846 году форма «теоремы Грина», которая появляется в этой статье, была впервые опубликована без доказательства в статье Огюстена Коши : A. Cauchy (1846) «Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée» (Об интегралах, которые простираются по всем точкам замкнутой кривой), Comptes rendus , 23 : 251–255. (Уравнение приведено внизу страницы 254, где ( S ) обозначает линейный интеграл функции k вдоль кривой s , охватывающей область S. )
   Доказательство теоремы было окончательно представлено в 1851 году Бернхардом Риманом в его вступительной диссертации: Бернхард Риман (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Основы общей теории функций переменной комплексной величины), (Гёттинген, (Германия): Adalbert Rente, 1867); см. страницы 8–9.
6. Кац, Виктор (2009). "22.3.3: Комплексные функции и линейные интегралы". История математики: Введение . Эддисон-Уэсли. С. 801–5. ISBN 978-0-321-38700-4.

Дальнейшее чтение

• Марсден, Джеррольд Э.; Тромба, Энтони Дж. (2003). «Интегральные теоремы векторного анализа». Векторное исчисление (Пятое изд.). Нью-Йорк: Фриман. стр. 518–608. ISBN 0-7167-4992-0.

Внешние ссылки

• Теорема Грина на MathWorld