Установить взаимосвязь между теориями гомологии и когомологии.
В алгебраической топологии теоремы об универсальных коэффициентах устанавливают отношения между группами гомологий (или группами когомологий) с разными коэффициентами. Например, для каждого топологического пространства X его целые группы гомологий :
- ЧАС я ( X ; Z )
полностью определить ее группы гомологий с коэффициентами из A для любой абелевой группы A :
- ЧАС я ( Икс ; А )
Здесь H i может быть симплициальной гомологией или, в более общем плане, сингулярной гомологией . Обычное доказательство этого результата представляет собой чистую часть гомологической алгебры о цепных комплексах свободных абелевых групп . Форма результата такова, что можно использовать другие коэффициенты A за счет использования функтора Tor .
Например, принято считать, что A равно Z /2 Z , так что коэффициенты равны по модулю 2. Это становится очевидным в отсутствие 2- кручения в гомологиях. В общем, результат указывает на взаимосвязь, которая существует между числами Бетти b i из X и числами Бетти b i , F с коэффициентами в поле F . Они могут различаться, но только тогда, когда характеристикой F является простое число p , для которого существует некоторое p -кручение гомологии.
Постановка случая гомологии
Рассмотрим тензорное произведение модулей H i ( X ; Z ) ⊗ A . Теорема утверждает, что существует короткая точная последовательность , включающая функтор Tor
![{\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z})\otimes A\, {\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \ имя оператора {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z}),A)\to 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Более того, эта последовательность распадается , хотя и не естественным образом. Здесь µ — отображение, индуцированное билинейным отображением H i ( X ; Z ) × A → H i ( X ; A ) .
Если кольцо коэффициентов A есть Z / pZ , то это частный случай спектральной последовательности Бокштейна .
Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий
Пусть G — модуль над областью главных идеалов R (например, Z или полем).
Существует также теорема об универсальных коэффициентах для когомологий , включающая функтор Ext , которая утверждает, что существует естественная короткая точная последовательность
![{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\ сбросить {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\на 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Как и в случае гомологии, последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.
В самом деле, предположим
![{\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и определим:
![{\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial,G)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда h выше — это каноническая карта:
![{\ displaystyle h ([f]) ([x]) = f (x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Альтернативная точка зрения может быть основана на представлении когомологий через пространство Эйленберга – Маклейна, где отображение h переводит гомотопический класс отображений из X в K ( G , i ) в соответствующий гомоморфизм, индуцированный в гомологиях. Таким образом, пространство Эйленберга–Маклейна является слабым правым сопряженным функтору гомологии . [1]
Пример: когомологии по модулю 2 реального проективного пространства.
Пусть X = Pn ( R ) — вещественное проективное пространство . Мы вычисляем сингулярные когомологии X с коэффициентами из R = Z /2 Z .
Зная, что целочисленная гомология определяется выражением:
![{\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ или }}i=n{\text{нечетный,}}\ \\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{нечетный,}}\\0&{\text{иначе.}}\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
У нас есть Ext( R , R ) = R , Ext( Z , R ) = 0 , так что приведенные выше точные последовательности дают
![{\displaystyle \forall я = 0,\ldots,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Фактически полная кольцевая структура когомологий имеет вид
![{\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следствия
Частным случаем теоремы является вычисление целочисленных когомологий. Для конечного комплекса CW X H i ( X ; Z ) конечно порождено, и поэтому мы имеем следующее разложение .
![{\ displaystyle H_ {i} (X; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {\ beta _ {i} (X)} \ oplus T_ {i},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где β i ( X ) числа Бетти X и является частью кручения . Это можно проверить![{\displaystyle T_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z})\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\ mathbf {Z})\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z})\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z})\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\ mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это дает следующее утверждение для целых когомологий:
![{\ displaystyle H ^ {i} (X; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {\ beta _ {i} (X)} \ oplus T_ {i-1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для X - ориентируемого , замкнутого и связного n - многообразия это следствие в сочетании с двойственностью Пуанкаре дает, что β i ( X ) = β n − i ( X ) .
Спектральная последовательность универсальных коэффициентов
Существует обобщение теоремы об универсальных коэффициентах для (ко)гомологий со скрученными коэффициентами .
Для когомологий мы имеем
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*} ;Г)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Где – кольцо с единицей, – цепной комплекс свободных модулей над , – любой -бимодуль для некоторого кольца с единицей , – группа Ext . Дифференциал имеет степень .![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (R,S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle доб.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d^{r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1-r,r)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аналогично для гомологии
![{\displaystyle E_{p,q}^{2}=Tor_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G) }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для Tor группа Tor и дифференциал степени .![{\displaystyle d_{r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (r-1,-r)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примечания
Рекомендации
- Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. ISBN 0-521-79540-0 . Современное введение в алгебраическую топологию с геометрическим уклоном. Книга доступна бесплатно в форматах PDF и PostScript на домашней странице автора.
- Кайнен, ПК (1971). «Слабые сопряженные функторы». Mathematische Zeitschrift . 122 : 1–9. дои : 10.1007/bf01113560. S2CID 122894881.
- Джером Левин . «Узловые модули. Я." Труды Американского математического общества 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498
Внешние ссылки
- Теорема об универсальных коэффициентах с кольцевыми коэффициентами