Симплициальная гомология

В алгебраической топологии симплициальная гомология — это последовательность групп гомологии симплициального комплекса . Она формализует идею числа дыр заданной размерности в комплексе. Это обобщает число связных компонент (случай размерности 0).

Симплициальные гомологии возникли как способ изучения топологических пространств , строительными блоками которых являются n - симплексы , n -мерные аналоги треугольников. Сюда входят точка (0-симплекс), отрезок прямой (1-симплекс), треугольник (2-симплекс) и тетраэдр (3-симплекс). По определению, такое пространство гомеоморфно симплициальному комплексу ( точнее, геометрической реализации абстрактного симплициального комплекса ). Такой гомеоморфизм называется триангуляцией данного пространства. Многие интересующие нас топологические пространства могут быть триангулированы, включая любое гладкое многообразие (Кэрнс и Уайтхед ). ^[1]^{: раздел 5.3.2}

Симплициальная гомология определяется простым рецептом для любого абстрактного симплициального комплекса. Примечательным фактом является то, что симплициальная гомология зависит только от соответствующего топологического пространства. ^[2]^{: sec.8.6} В результате это дает вычислимый способ отличить одно пространство от другого.

Определения

Ориентации

Ключевым понятием в определении симплициальной гомологии является понятие ориентации симплекса . По определению, ориентация k -симплекса задается порядком вершин, записанным как ( $v 0,..., v k$ ), с правилом, что два порядка определяют одну и ту же ориентацию тогда и только тогда, когда они отличаются четной перестановкой . Таким образом, каждый симплекс имеет ровно две ориентации, и изменение порядка двух вершин изменяет ориентацию на противоположную. Например, выбор ориентации 1-симплекса означает выбор одного из двух возможных направлений, а выбор ориентации 2-симплекса означает выбор того, что должно означать «против часовой стрелки».

Цепи

Пусть $S$ — симплициальный комплекс. Симплициальная $k$ -цепь — это конечная формальная сумма

\sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,

где каждое $c i$ является целым числом, а $σ i$ является ориентированным $k$ -симплексом. В этом определении мы заявляем, что каждый ориентированный симплекс равен негативу симплекса с противоположной ориентацией. Например,

(v_{0},v_{1})=- (v_{1},v_{0}).

Группа $k$ -цепей на $S$ обозначается $C k$ . Это свободная абелева группа , которая имеет базис во взаимно однозначном соответствии с множеством $k$ -симплексов в $S$ . Чтобы явно определить базис, нужно выбрать ориентацию каждого симплекса. Один стандартный способ сделать это — выбрать порядок всех вершин и придать каждому симплексу ориентацию, соответствующую индуцированному порядку его вершин.

Границы и циклы

Пусть $σ = (v 0,..., v k)$ — ориентированный $k$ -симплекс, рассматриваемый как базисный элемент $C k$ . Граничный оператор

\partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}

— это гомоморфизм , определяемый формулой:

\partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),

где ориентированный симплекс

(v_{0},\dots, {\widehat {v_{i}}},\dots,v_{k})

— $i -я$ грань $σ$ , полученная путем удаления ее $i- й$ вершины.

В $C k$ элементы подгруппы

Z_{k}:=\ker \partial _{k}

называются циклами , а подгруппа

B_{k}:=\operatorname {im} \partial _{k+1}

говорят, что он состоит из границ .

Границы границ

Потому что , где вторая грань удалена, . В геометрических терминах это говорит о том , что граница границы чего-либо не имеет границы. Эквивалентно, абелевы группы $(-1)^{i+j-1}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{j}}}},\dots ,v_{k})=-(-1)^{i+j}(v_{0},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{i}}}},\dots ,{\widehat {v_{j}}},\dots ,v_{k})$ ${\widehat {\widehat {v_{x}}}}$ $\partial ^{2}=0$

(C_{k},\partial _{k})

образуют цепной комплекс . Другое эквивалентное утверждение состоит в том, что $B k$ содержится в $Z k$ .

В качестве примера рассмотрим тетраэдр с вершинами, ориентированными как . По определению его граница задается как $w,x,y,z$

xyz-wyz+wxz-wxy

Граница границы задается выражением

(yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx)=0

Группы гомологии

Группа $гомологий$ H $k$ $класса$ $k$ группы $S$ определяется как фактор- абелева группа

H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.

Из этого следует, что группа гомологии $H k (S)$ не равна нулю точно тогда, когда на $S$ есть $k$ -циклы , которые не являются границами. В некотором смысле это означает, что в комплексе есть $k$ -мерные дыры. Например, рассмотрим комплекс $S,$ полученный склеиванием двух треугольников (без внутренней части) вдоль одного ребра, показанного на изображении. Ребра каждого треугольника можно сориентировать так, чтобы образовать цикл. Эти два цикла по построению не являются границами (так как каждая 2-цепь равна нулю). Можно вычислить, что группа гомологии $H$ $1$ $($ $S$ $)$ изоморфна $Z$ $2$ , с базисом, заданным двумя упомянутыми циклами. Это уточняет неформальную идею о том, что $S$ имеет две "одномерные дыры".

Дырки могут быть разных размеров. Ранг $k -й$ группы гомологии, число

\beta _{k}=\operatorname {rank} (H_{k}(S))\,

называется $k- м$ числом Бетти для $S.$ Оно дает меру количества $k$ - мерных дыр в $S.$

Пример

Группы гомологий треугольника

Пусть $S$ — треугольник (без его внутренности), рассматриваемый как симплициальный комплекс. Таким образом, $S$ имеет три вершины, которые мы называем $v 0, v 1, v 2$ , и три ребра, которые являются одномерными симплексами. Чтобы вычислить группы гомологии $S$ , мы начнем с описания групп цепей $C k$ :

$C 0$ изоморфен $Z 3$ с базисом $(v 0), (v 1), (v 2),$
$C 1$ изоморфен $Z 3$ с базисом, заданным ориентированными 1-симплексами $(v 0, v 1)$ , $(v 0, v 2)$ и $(v 1, v 2)$ .
$C 2$ — тривиальная группа, поскольку не существует симплекса, подобноготреугольнику, поскольку он предполагался без своей внутренней части. То же самое относится и к цепным группам в других измерениях. $(v_{0},v_{1},v_{2})$

Граничный гомоморфизм $\partial$ : $C 1 \to C 0$ задается формулой:

\partial (v_{0},v_{1})=(v_{1})-(v_{0})

\partial (v_{0},v_{2})=(v_{2})-(v_{0})

\partial (v_{1},v_{2})=(v_{2})-(v_{1})

Так как $C -1 = 0$ , то каждая 0-цепь является циклом (т. е. $Z 0 = C 0$ ); более того, группа $B 0$ 0-границ порождается тремя элементами справа от этих уравнений, создавая двумерную подгруппу $C 0$ . Таким образом, 0-я группа гомологий $H 0 (S) = Z 0 / B 0$ изоморфна $Z$ , с базисом, заданным (например) образом 0-цикла ( $v 0$ ). Действительно, все три вершины становятся равными в факторгруппе; это выражает тот факт, что $S$ связно .

Далее, группа 1-циклов является ядром гомоморфизма ∂ выше, который изоморфен $Z$ , с базисом, заданным (например) как $(v 0, v 1) - (v 0, v 2) + (v 1, v 2)$ . (Рисунок показывает, что этот 1-цикл проходит вокруг треугольника в одном из двух возможных направлений.) Поскольку $C 2 = 0$ , группа 1-границ равна нулю, и поэтому 1-я группа гомологий $H 1 (S)$ изоморфна $Z /0 ≅ Z$ . Это уточняет идею о том, что треугольник имеет одно 1-мерное отверстие.

Далее, поскольку по определению нет 2-циклов, $C 2 = 0$ ( тривиальная группа ). Следовательно, 2-я группа гомологии $H 2 (S)$ равна нулю. То же самое верно для $H i (S)$ для всех $i,$ не равных 0 или 1. Следовательно, гомологическая связность треугольника равна 0 (это наибольшее $k$ , для которого редуцированные группы гомологии до $k$ тривиальны).

Гомологические группы многомерных симплексов

Пусть $S$ — тетраэдр (без его внутренности), рассматриваемый как симплициальный комплекс. Таким образом, $S$ имеет четыре 0-мерные вершины, шесть 1-мерных ребер и четыре 2-мерные грани. Построение групп гомологии тетраэдра подробно описано здесь. ^[3] Оказывается, что $H 0 (S)$ изоморфна $Z$ , $H 2 (S)$ также изоморфна $Z$ , а все остальные группы тривиальны. Следовательно, гомологическая связность тетраэдра равна 0.

Если тетраэдр содержит свою внутреннюю часть, то $H 2 (S)$ также тривиален.

В общем случае, если $S$ является $d$ -мерным симплексом, то выполняется следующее:

Если $S$ рассматривается без его внутренней части, то $H 0 (S) = Z$ и $H d -1 (S) = Z$ , а все другие гомологии тривиальны;
Если рассматривать $S вместе с его внутренней частью, то$ $H 0 (S) = Z$ и все остальные гомологии тривиальны.

Симплициальные карты

Пусть S и T — симплициальные комплексы . Симплициальное отображение f из S в T — это функция из множества вершин S в множество вершин T, такая, что образ каждого симплекса в S (рассматриваемый как множество вершин) является симплексом в T. Симплициальное отображение f : $S \to T$ определяет гомоморфизм групп гомологии $H k (S) \to H k (T)$ для каждого целого числа k . Это гомоморфизм, связанный с цепным отображением из цепного комплекса S в цепной комплекс T . Явно, это цепное отображение задается на k -цепях как

f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))

если $f (v 0), ..., f (v k)$ все различны, и в противном случае $f ((v 0, ..., v k)) = 0$ .

Эта конструкция делает симплициальную гомологию функтором из симплициальных комплексов в абелевы группы. Это существенно для приложений теории, включая теорему Брауэра о неподвижной точке и топологическую инвариантность симплициальной гомологии.

Связанные гомологии

Сингулярная гомология — это связанная теория, которая лучше приспособлена к теории, чем к вычислениям. Сингулярная гомология определена для всех топологических пространств и зависит только от топологии, а не от любой триангуляции; и она согласуется с симплициальной гомологией для пространств, которые могут быть триангулированы.^[4]^{: thm.2.27} Тем не менее, поскольку можно автоматически и эффективно вычислить симплициальную гомологию симплициального комплекса, симплициальная гомология стала важной для применения в реальных ситуациях, таких как анализ изображений , медицинская визуализация и анализ данных в целом.

Другая родственная теория — клеточная гомология .

Приложения

Стандартный сценарий во многих компьютерных приложениях представляет собой набор точек (измерений, темных пикселей на битовой карте и т. д.), в которых требуется найти топологическую особенность. Гомология может служить качественным инструментом для поиска такой особенности, поскольку ее легко вычислить из комбинаторных данных, таких как симплициальный комплекс. Однако точки данных сначала должны быть триангулированы , что означает замену данных приближением симплициального комплекса. Вычисление устойчивой гомологии ^[5] включает анализ гомологии при различных разрешениях, регистрацию классов гомологии (дырок), которые сохраняются при изменении разрешения. Такие особенности можно использовать для обнаружения структур молекул, опухолей в рентгеновских лучах и кластерных структур в сложных данных.

В более общем плане симплициальная гомология играет центральную роль в топологическом анализе данных — методе в области интеллектуального анализа данных .

Реализации

Точное и эффективное вычисление симплициальной гомологии больших симплициальных комплексов может быть выполнено с использованием GAP Simplicial Homology.
Набор инструментов MATLAB для вычисления устойчивой гомологии Plex (Вин де Сильва, Гуннар Карлссон ) доступен на этом сайте.
Отдельные реализации на языке C++ доступны как часть программных проектов Perseus, Dionysus и PHAT.
Для Python существуют такие библиотеки, как scikit-tda, Persim, giotto-tda и GUDHI, последняя направлена на генерацию топологических признаков для машинного обучения . Их можно найти в репозитории PyPI .

Смотрите также

Симплициальная гомотопия

Ссылки

^ Прасолов, В.В. (2006), Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-3809-1, г-н 2233951
^ Армстронг, MA (1983), Базовая топология , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90839-0, МР 0705632
^ Wildberger, Norman J. (2012). "Больше вычислений гомологии". YouTube . Архивировано из оригинала 2021-12-22.
^ Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, г-н 1867354
^ Эдельсбруннер, Х.; Летчер, Д.; Зомородян, А. (2002). «Топологическое сохранение и упрощение». Дискретная и вычислительная геометрия . 28 (4): 511–533. doi : 10.1007/s00454-002-2885-2 .
Робинс, В. (Лето 1999). «К вычислению гомологии из конечных приближений» (PDF) . Топологические труды . 24 : 503–532.

Внешние ссылки

Топологические методы в научных вычислениях
Вычислительная гомология (также кубическая гомология)