Теорема об универсальных коэффициентах

Установить взаимосвязь между теориями гомологии и когомологии.

В алгебраической топологии теоремы об универсальных коэффициентах устанавливают отношения между группами гомологий (или группами когомологий) с разными коэффициентами. Например, для каждого топологического пространства X его целые группы гомологий :

ЧАС _я ( X ; Z )

полностью определить ее группы гомологий с коэффициентами из A для любой абелевой группы A :

ЧАС _я ( Икс ; А )

Здесь H _i может быть симплициальной гомологией или, в более общем плане, сингулярной гомологией . Обычное доказательство этого результата представляет собой чистую часть гомологической алгебры о цепных комплексах свободных абелевых групп . Форма результата такова, что можно использовать другие коэффициенты A за счет использования функтора Tor .

Например, принято считать, что A равно Z /2 Z , так что коэффициенты равны по модулю 2. Это становится очевидным в отсутствие 2- кручения в гомологиях. В общем, результат указывает на взаимосвязь, которая существует между числами Бетти b _i из X и числами Бетти b _{i , F} с коэффициентами в поле F . Они могут различаться, но только тогда, когда характеристикой F является простое число p , для которого существует некоторое p -кручение гомологии.

Постановка случая гомологии

Рассмотрим тензорное произведение модулей H _i ( X ; Z ) ⊗ A . Теорема утверждает, что существует короткая точная последовательность , включающая функтор Tor

${\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}$

Более того, эта последовательность распадается , хотя и не естественным образом. Здесь µ — отображение, индуцированное билинейным отображением H _i ( X ; Z ) × A → H _i ( X ; A ) .

Если кольцо коэффициентов A есть Z / pZ , то это частный случай спектральной последовательности Бокштейна .

Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий

Пусть G — модуль над областью главных идеалов R (например, Z или полем).

Существует также теорема об универсальных коэффициентах для когомологий , включающая функтор Ext , которая утверждает, что существует естественная короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}$

Как и в случае гомологии, последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.

В самом деле, предположим

${\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}$

и определим:

${\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}$

Тогда h выше — это каноническая карта:

${\displaystyle h([f])([x])=f(x).}$

Альтернативная точка зрения может быть основана на представлении когомологий через пространство Эйленберга – Маклейна, где отображение h переводит гомотопический класс отображений из X в K ( G , i ) в соответствующий гомоморфизм, индуцированный в гомологиях. Таким образом, пространство Эйленберга–Маклейна является слабым правым сопряженным функтору гомологии . ^[1]

Пример: когомологии по модулю 2 реального проективного пространства.

Пусть X = Pn ( R ) ^— вещественное проективное пространство . Мы вычисляем сингулярные когомологии X с коэффициентами из R = Z / 2 Z.

Зная, что целочисленная гомология определяется выражением:

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

У нас есть Ext( R , R ) = R , Ext( Z , R ) = 0 , так что приведенные выше точные последовательности дают

${\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.}$

Фактически полная кольцевая структура когомологий имеет вид

${\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}$

Следствия

Частным случаем теоремы является вычисление целочисленных когомологий. Для конечного комплекса CW X H i ₍ X ; Z ) конечно порождено, и поэтому мы имеем следующее разложение .

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}$

где β _i ( X ) числа Бетти X и является частью кручения . Это можно проверить ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}$

и

${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}$

Это дает следующее утверждение для целых когомологий:

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}$

Для X — ориентируемого , замкнутого и связного n - многообразия , это следствие в сочетании с двойственностью Пуанкаре дает, что β i ₍ X ) = β _{n − i} ( X ) .

Спектральная последовательность универсальных коэффициентов

Существует обобщение теоремы об универсальных коэффициентах для (ко)гомологий со скрученными коэффициентами .

Для когомологий мы имеем

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)}$

Где – кольцо с единицей, – цепной комплекс свободных модулей над , – любой -бимодуль для некоторого кольца с единицей , – группа Ext . Дифференциал имеет степень . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Ext}$ ${\displaystyle d^{r}}$ ${\displaystyle (1-r,r)}$

Аналогично для гомологии

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=Tor_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)}$

для Tor группа Tor и дифференциал степени . ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle (r-1,-r)}$

Примечания

1. (Кайнен, 1971)

Рекомендации

• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. ISBN  0-521-79540-0 . Современное введение в алгебраическую топологию с геометрическим уклоном. Книга доступна бесплатно в форматах PDF и PostScript на домашней странице автора.
• Кайнен, ПК (1971). «Слабые сопряженные функторы». Mathematische Zeitschrift . 122 : 1–9. дои : 10.1007/bf01113560. S2CID  122894881.
• Джером Левин . «Узловые модули. Я." Труды Американского математического общества 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

Внешние ссылки

• Теорема об универсальных коэффициентах с кольцевыми коэффициентами