Теория Янга-Миллса

В физике квантовая теория поля

Нерешенная задача по физике :

Теория Янга–Миллса и массовая щель. Квантовые частицы, описываемые теорией, имеют массу, но классические волны поля движутся со скоростью света. ^[1]

(еще нерешенные проблемы по физике)

Теория Янга–Миллса — это квантовая теория поля для ядерной связи, разработанная Чэнь Нин Янгом и Робертом Миллсом в 1953 году, а также общий термин для класса подобных теорий. Теория Янга–Миллса — это калибровочная теория , основанная на специальной унитарной группе SU( n ) , или, в более общем смысле, на любой компактной группе Ли . Теория Янга–Миллса стремится описать поведение элементарных частиц с использованием этих неабелевых групп Ли и лежит в основе объединения электромагнитной силы и слабых сил (т. е. U(1) × SU(2) ), а также квантовой хромодинамики , теории сильного взаимодействия (основанной на SU(3) ). Таким образом, она составляет основу понимания Стандартной модели физики элементарных частиц.

История и качественное описание

Калибровочная теория в электродинамике

Все известные фундаментальные взаимодействия могут быть описаны в терминах калибровочных теорий, но на разработку этого вопроса ушли десятилетия. ^[2] Новаторская работа Германа Вейля над этим проектом началась в 1915 году, когда его коллега Эмми Нётер доказала, что каждая сохраняющаяся физическая величина имеет соответствующую симметрию, и достигла кульминации в 1928 году, когда он опубликовал свою книгу, в которой применил геометрическую теорию симметрии ( теорию групп ) к квантовой механике. ^{[3] : 194} Вейль назвал соответствующую симметрию в теореме Нётер «калибровочной симметрией» по аналогии со стандартизацией расстояний в железнодорожной колеи .

Эрвин Шредингер в 1922 году, за три года до работы над своим уравнением, связал концепцию группы Вейля с зарядом электрона. Шредингер показал, что группа производит сдвиг фаз в электромагнитных полях, который соответствует сохранению электрического заряда. ^{[3] : 198} По мере развития теории квантовой электродинамики в 1930-х и 1940-х годах групповые преобразования играли центральную роль. Многие физики считали, что должен быть аналог для динамики нуклонов. Чэнь Нин Ян в частности был одержим этой возможностью. ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle U(1)}$

Янг и Миллс находят теорию калибровочной силы ядерных сил

Основная идея Янга состояла в том, чтобы найти сохраняющуюся величину в ядерной физике, сопоставимую с электрическим зарядом, и использовать ее для разработки соответствующей калибровочной теории, сопоставимой с электродинамикой. Он остановился на сохранении изоспина , квантового числа, которое отличает нейтрон от протона, но не добился никакого прогресса в теории. ^{[3] : 200} Взяв перерыв в Принстоне летом 1953 года, Ян встретил сотрудника, который мог бы помочь: Роберта Миллса . Как описывает сам Миллс:

«В 1953–1954 учебном году Янг был гостем в Брукхейвенской национальной лаборатории ... Я также был в Брукхейвене... и был назначен в тот же офис, что и Янг. Янг, который неоднократно демонстрировал свою щедрость к физикам, начинающим свою карьеру, рассказал мне о своей идее обобщения калибровочной инвариантности, и мы довольно долго ее обсуждали... Мне удалось внести кое-что в обсуждения, особенно в отношении процедур квантования, и в небольшой степени в разработку формализма; однако ключевые идеи принадлежали Янг». ^[4]

Летом 1953 года Янг и Миллс расширили концепцию калибровочной теории для абелевых групп , например, квантовой электродинамики , на неабелевы группы, выбрав группу SU(2) для объяснения сохранения изоспина в столкновениях, включающих сильные взаимодействия. Представление Янгом работы в Принстоне в феврале 1954 года было оспорено Паули, который спросил о массе в области, разработанной с идеей калибровочной инвариантности. ^{[3] : 202} Паули знал, что это может быть проблемой, поскольку он работал над применением калибровочной инвариантности, но решил не публиковать ее, рассматривая безмассовые возбуждения теории как «нефизические „теневые частицы“». ^{[2] : 13} Янг и Миллс опубликовали в октябре 1954 года; ближе к концу статьи они признают:

Далее мы подходим к вопросу о массе кванта , на который у нас нет удовлетворительного ответа. ^[5] ${\displaystyle b}$

Эта проблема нефизического безмассового возбуждения заблокировала дальнейший прогресс. ^[3]

Идея была отложена до 1960 года, когда была выдвинута концепция частиц, приобретающих массу посредством нарушения симметрии в безмассовых теориях, первоначально Джеффри Голдстоуном , Йоитиро Намбу и Джованни Джона-Лазинио . Это побудило к значительному перезапуску исследований теории Янга-Миллса, которые оказались успешными в формулировке как электрослабого объединения , так и квантовой хромодинамики (КХД). Электрослабое взаимодействие описывается калибровочной группой SU(2) × U(1) , в то время как КХД является теорией Янга-Миллса SU(3) . Безмассовые калибровочные бозоны электрослабого SU(2) × U(1) смешиваются после спонтанного нарушения симметрии , чтобы произвести три массивных бозона слабого взаимодействия (
Вт⁺
,
Вт⁻
, и
З⁰
) а также все еще безмассовое фотонное поле. Динамика фотонного поля и его взаимодействия с веществом, в свою очередь, управляются калибровочной теорией U(1) квантовой электродинамики. Стандартная модель объединяет сильное взаимодействие с объединенным электрослабым взаимодействием (объединяя слабое и электромагнитное взаимодействие ) через группу симметрии SU(3) × SU(2) × U(1) . В нынешнюю эпоху сильное взаимодействие не объединено с электрослабым взаимодействием, но из наблюдаемого хода констант связи считается ^{[ необходима ссылка ]} что все они сходятся к одному значению при очень высоких энергиях.

Феноменология при более низких энергиях в квантовой хромодинамике не полностью понята из-за трудностей управления такой теорией с сильной связью. Это может быть причиной того, что конфайнмент не был теоретически доказан, хотя это последовательное экспериментальное наблюдение. Это показывает, почему конфайнмент КХД при низкой энергии является математической проблемой большой значимости, и почему проблема существования Янга–Миллса и массового зазора является проблемой премии тысячелетия .

Параллельная работа над неабелевыми калибровочными теориями

В 1953 году в частной переписке Вольфганг Паули сформулировал шестимерную теорию уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности , расширив пятимерную теорию Калуцы, Клейна , Фока и других на многомерное внутреннее пространство. ^[6] Однако нет никаких доказательств того, что Паули разработал лагранжиан калибровочного поля или его квантование. Поскольку Паули обнаружил, что его теория «приводит к некоторым довольно нефизическим теневым частицам», он воздержался от официальной публикации своих результатов. ^[6] Хотя Паули не опубликовал свою шестимерную теорию, он прочитал о ней два семинарских лекции в Цюрихе в ноябре 1953 года. ^[6]

В январе 1954 года Рональд Шоу, аспирант Кембриджского университета, также разработал неабелеву калибровочную теорию для ядерных сил. ^[7] Однако, для поддержания калибровочной инвариантности этой теории требовались безмассовые частицы . Поскольку в то время такие безмассовые частицы были известны, Шоу и его научный руководитель Абдус Салам решили не публиковать свою работу. ^[7] Вскоре после того, как Янг и Миллс опубликовали свою статью в октябре 1954 года, Салам призвал Шоу опубликовать свою работу, чтобы отметить его вклад. Шоу отказался, и вместо этого она составила лишь главу его докторской диссертации, опубликованной в 1956 году. ^{[8] [9]}

Математический обзор

Коэффициент d x ¹ ⊗ σ ₃ инстантона BPST на ( x ¹ , x ² ) -срезе ℝ ^{4 ,} где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). Коэффициент d x ² ⊗ σ ₃ (вверху справа). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона BPST A с g = 2, ρ = 1, z = 0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля с центром вокруг z = 0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля инстантона BPST с центром z на компактификации S ⁴ ℝ ⁴ (внизу справа). Инстантон BPST является классическим инстантонным решением уравнений Янга–Миллса на ℝ ⁴ .

Теории Янга–Миллса являются частными примерами калибровочных теорий с неабелевой группой симметрии, заданной лагранжианом

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} (F^{2})=-{\tfrac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\ }$

с генераторами алгебры Ли , индексированными как a , соответствующими F -величинам ( форма кривизны или напряженности поля), удовлетворяющим ${\displaystyle \ T^{a}\ }$

${\displaystyle \ \operatorname {tr} \left(T^{a}\ T^{b}\right)={\tfrac {1}{2}}\delta ^{ab}\ ,\qquad \left[T^{a},\ T^{b}\right]=i\ f^{abc}\ T^{c}~.}$

Здесь f  ^abc — структурные константы алгебры Ли (полностью антисимметричные, если генераторы алгебры Ли нормализованы так, что пропорциональны ), ковариантная производная определяется как ${\displaystyle \ \operatorname {tr} (T^{a}\ T^{b})\ }$ ${\displaystyle \ \delta ^{ab}\ }$

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\ \partial _{\mu }-i\ g\ T^{a}\ A_{\mu }^{a}\ ,}$

I — единичная матрица (соответствующая размеру генераторов), — векторный потенциал, а g — константа связи . В четырех измерениях константа связи g — это чистое число, и для группы SU( n ) имеем ${\displaystyle \ A_{\mu }^{a}\ }$ ${\displaystyle \ a,b,c=1\ldots n^{2}-1~.}$

Отношение

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\ f^{abc}\ A_{\mu }^{b}\ A_{\nu }^{c}\ }$

может быть получено с помощью коммутатора

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },D_{\nu }\right]=-i\ g\ T^{a}\ F_{\mu \nu }^{a}~.}$

Поле обладает свойством самовзаимодействия, и уравнения движения, которые получаются, называются полулинейными, поскольку нелинейности бывают как с производными, так и без них. Это означает, что можно управлять этой теорией только с помощью теории возмущений с малыми нелинейностями. ^{[ необходима цитата ]}

Обратите внимание, что переход между «верхними» («контравариантными») и «нижними» («ковариантными») векторными или тензорными компонентами тривиален для индексов (например, ), тогда как для μ и ν он нетривиален, что соответствует, например, обычной сигнатуре Лоренца, ${\displaystyle \ f^{abc}=f_{abc}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}(+---)~.}$

Из данного лагранжиана можно вывести уравнения движения, заданные как

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{\mu b}\ F_{\mu \nu }^{c}=0~.}$

Помещая их можно переписать как ${\displaystyle \ F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(D^{\mu }F_{\mu \nu }\right)^{a}=0~.}$

Идентичность Бьянки сохраняется

${\displaystyle \ \left(D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }\right)^{a}+\left(D_{\kappa }\ F_{\mu \nu }\right)^{a}+\left(D_{\nu }\ F_{\kappa \mu }\right)^{a}=0\ }$

что эквивалентно тождеству Якоби

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },\left[D_{\nu },D_{\kappa }\right]\right]+\left[D_{\kappa },\left[D_{\mu },D_{\nu }\right]\right]+\left[D_{\nu },\left[D_{\kappa },D_{\mu }\right]\right]=0\ }$

Так как мы определяем тензор двойной прочности , то тождество Бьянки можно переписать как ${\displaystyle \ \left[D_{\mu },F_{\nu \kappa }^{a}\right]=D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }^{a}~.}$ ${\displaystyle \ {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \ D_{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0~.}$

Источник входит в уравнения движения как ${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}\ }$

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{b\mu }\ F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}~.}$

Обратите внимание, что токи должны правильно изменяться при преобразованиях калибровочной группы.

Мы приводим здесь некоторые комментарии о физических размерах связи. В измерениях D поле масштабируется как и, следовательно, связь должна масштабироваться как Это подразумевает, что теория Янга–Миллса не перенормируема для измерений больше четырех. Более того, для D = 4 связь безразмерна , и как поле, так и квадрат связи имеют те же самые размерности поля и связи безмассовой четвертой скалярной теории поля . Таким образом, эти теории разделяют масштабную инвариантность на классическом уровне. ${\displaystyle \ \left[A\right]=\left[L^{\left({\tfrac {2-D}{2}}\right)}\right]\ }$ ${\displaystyle \ \left[g^{2}\right]=\left[L^{\left(D-4\right)}\right]~.}$

Квантование

Метод квантования теории Янга–Миллса — функциональные методы, т.е. интегралы по траекториям . Вводится производящий функционал для n -точечных функций как

${\displaystyle \ Z[j]=\int [\mathrm {d} A]\ \exp \left[-{\tfrac {i}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)+i\ \int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)\ A^{a\mu }(x)\right]\ ,}$

но этот интеграл не имеет смысла сам по себе, поскольку потенциальный вектор может быть выбран произвольно из-за свободы калибровки . Эта проблема уже была известна для квантовой электродинамики, но здесь она становится более серьезной из-за неабелевых свойств калибровочной группы. Выход был дан Людвигом Фаддеевым и Виктором Поповым с введением поля- призрака (см. привидение Фаддеева–Попова ), которое обладает свойством быть нефизичным, поскольку, хотя оно и согласуется со статистикой Ферми–Дирака , это сложное скалярное поле, которое нарушает теорему о спиновой статистике . Таким образом, мы можем записать производящий функционал как

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\int [\mathrm {d} \ A][\mathrm {d} \ {\bar {c}}][\mathrm {d} \ c]\ \exp {\Bigl \{}i\ S_{F}\ \left[\partial A,A\right]+i\ S_{gf}\left[\partial A\right]+i\ S_{g}\left[\partial c,\partial {\bar {c}},c,{\bar {c}},A\right]{\Bigr \}}\\&\exp \left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left[{\bar {c}}^{a}(x)\ \varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ c^{a}(x)\right]\right\}\end{aligned}}}$

существование

${\displaystyle S_{F}=-{\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)\ }$

для поля,

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\ (\partial \cdot A)^{2}\ }$

для крепления датчика и

${\displaystyle \ S_{g}=-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left({\bar {c}}^{a}\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g\ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }\ A^{b\mu }\ c^{c}\right)\ }$

для призрака. Это выражение обычно используется для вывода правил Фейнмана (см. диаграмму Фейнмана ). Здесь у нас есть c ^a для поля призрака, в то время как ξ фиксирует выбор калибровки для квантования. Правила Фейнмана, полученные из этого функционала, следующие

Эти правила для диаграмм Фейнмана можно получить, если переписать приведенный выше производящий функционал в виде

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ {\frac {\delta }{i\ \delta \ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}\ f^{abc}\partial _{\mu }\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\\&\qquad \times \exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{c\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(-i\ {\frac {g^{2}}{4}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\ f^{ars}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{c}(x)}}\ {\frac {\ i\delta }{\delta \ j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{s\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ C^{ab}(x-y)\ \varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ j_{\mu }^{a}(x)\ D^{ab\mu \nu }(x-y)\ j_{\nu }^{b}(y)\right)\ }$

будучи производящим функционалом свободной теории. Разлагая по g и вычисляя функциональные производные , мы можем получить все n -точечные функции с помощью теории возмущений. Используя формулу редукции LSZ, мы получаем из n -точечных функций соответствующие амплитуды процесса, сечения и скорости распада . Теория перенормируема, а поправки конечны в любом порядке теории возмущений.

Для квантовой электродинамики поле призрака расцепляется, поскольку калибровочная группа абелева. Это можно увидеть из связи между полем калибровки и полем призрака, которая равна Для абелева случая все структурные константы равны нулю, и поэтому связи нет. В неабелевом случае поле призрака представляется полезным способом переписать квантовую теорию поля без физических последствий для наблюдаемых величин теории, таких как сечения или скорости распада. ${\displaystyle \ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }A^{b\mu }\ c^{c}~.}$ ${\displaystyle \ f^{abc}\ }$

Одним из важнейших результатов, полученных для теории Янга–Миллса, является асимптотическая свобода . Этот результат можно получить, предположив, что константа связи g мала (настолько мала нелинейность), как для высоких энергий, и применив теорию возмущений . Значимость этого результата обусловлена ​​тем фактом, что теория Янга–Миллса, описывающая сильное взаимодействие и асимптотическую свободу, позволяет правильно обрабатывать экспериментальные результаты, полученные из глубоконеупругого рассеяния .

Чтобы получить поведение теории Янга–Миллса при высоких энергиях и, таким образом, доказать асимптотическую свободу, применяется теория возмущений, предполагающая малую связь. Это проверяется апостериори в ультрафиолетовом пределе . В противоположном пределе, инфракрасном пределе, ситуация противоположная, поскольку связь слишком велика для того, чтобы теория возмущений была надежной. Большинство трудностей, с которыми сталкиваются исследования, — это просто управление теорией при низких энергиях. Это интересный случай, присущий описанию адронной материи и, в более общем плане, всем наблюдаемым связанным состояниям глюонов и кварков и их удержанию (см. адроны ). Наиболее используемый метод изучения теории в этом пределе — попытаться решить ее на компьютерах (см. решеточную калибровочную теорию ). В этом случае требуются большие вычислительные ресурсы, чтобы убедиться, что получен правильный предел бесконечного объема (меньшее расстояние между решетками). Это предел, с которым необходимо сравнивать результаты. Меньшее расстояние и большая связь не являются независимыми друг от друга, и для каждого из них требуются большие вычислительные ресурсы. На сегодняшний день ситуация кажется несколько удовлетворительной для адронного спектра и вычисления пропагаторов глюона и призрака, но спектры глюбола и гибридов все еще остаются под вопросом ввиду экспериментального наблюдения таких экзотических состояний. Действительно, σ- резонанс ^{[10] [11]} не наблюдается ни в одном из таких решеточных вычислений, и были выдвинуты противоположные интерпретации. Это горячо обсуждаемый вопрос.

Открытые проблемы

Теории Янга–Миллса получили всеобщее признание в физическом сообществе после того, как в 1972 году Джерард 'т Хоофт разработал их перенормировку, опираясь на формулировку проблемы, разработанную его научным руководителем Мартинусом Вельтманом . ^[12] Перенормируемость достигается даже в том случае, если калибровочные бозоны, описываемые этой теорией, массивны, как в электрослабой теории, при условии, что масса является лишь «приобретенной», генерируемой механизмом Хиггса .

Математика теории Янга–Миллса является очень активной областью исследований, дающей, например, инварианты дифференцируемых структур на четырехмерных многообразиях с помощью работы Саймона Дональдсона . Кроме того, область теорий Янга–Миллса была включена в список « Проблем тысячелетия » Математического института Клэя . Здесь призовая проблема состоит, в частности, в доказательстве гипотезы о том, что низшие возбуждения чистой теории Янга–Миллса (т.е. без полей материи) имеют конечную массовую щель относительно вакуумного состояния. Другая открытая проблема, связанная с этой гипотезой, — это доказательство свойства конфайнмента в присутствии дополнительных фермионов.

В физике обзор теорий Янга–Миллса обычно начинается не с анализа возмущений или аналитических методов, а в последнее время с систематического применения численных методов к решеточным калибровочным теориям .

Смотрите также

• Эффект Ааронова-Бома
• Калибровка Кулона
• Деформированные эрмитовы уравнения Янга–Миллса
• Калибровочная ковариантная производная
• Калибровочная теория (математика)
• Эрмитовые уравнения Янга – Миллса
• Теория Калуцы–Клейна
• Теория решеточной калибровки
• калибр Лоренца
• n = 4 суперсимметричная теория Янга–Миллса
• Пропагатор
• Квантовая калибровочная теория
• Теоретическая формулировка стандартной модели
• Симметрия в физике
• Двумерная теория Янга–Миллса
• калибр Вейля
• Уравнения Янга–Миллса
• Существование Янга-Миллса и разрыв масс
• Уравнения Янга–Миллса–Хиггса

Ссылки

1. "Yang-Mills & The Mass Gap". Clay Mathematics Institute . Получено 2024-04-09 .
2. O'Raifeartaigh, Lochlainn; Straumann, Norbert (2000-01-01). "Калибровочная теория: историческое происхождение и некоторые современные разработки". Reviews of Modern Physics . 72 (1): 1–23. doi :10.1103/RevModPhys.72.1. ISSN  0034-6861.
3. Багготт, Дж. Э. (2013). Квантовая история: история за 40 мгновений (Impression 3-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-956684-6.
4. Грей, Джереми; Уилсон, Робин (2012-12-06). Математические беседы: выборки из Mathematical Intelligencer. Springer Science & Business Media. стр. 63. ISBN 9781461301950– через Google Книги.
5. Янг, CN ; Миллс, Р. (1954). «Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность». Physical Review . 96 (1): 191–195. Bibcode : 1954PhRv...96..191Y. doi : 10.1103/PhysRev.96.191 .
6. Straumann, N. (2000). «Об изобретении Паули неабелевой теории Калуцы-Клейна в 1953 году». arXiv : gr-qc/0012054 .
7. Atiyah, M. (2017). «Рональд Шоу 1929–2016 Майкла Атья (1954)». Ежегодный отчет Тринити-колледжа (мемориальный). 2017 : 137–146.
8. Шоу, Рональд (сентябрь 1956 г.). Проблема типов частиц и другие вклады в теорию элементарных частиц (диссертация на соискание степени доктора философии). Кембриджский университет . гл. 3, стр. 34–46.
9. Фрейзер, Гордон (2008). Космический гнев: Абдус Салам – первый мусульманский ученый-лауреат Нобелевской премии . Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. стр. 117. ISBN 978-0199208463.
10. Caprini, I.; Colangelo, G.; Leutwyler, H. (2006). "Масса и ширина самого низкого резонанса в QCD". Physical Review Letters . 96 (13): 132001. arXiv : hep-ph/0512364 . Bibcode : 2006PhRvL..96m2001C. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.132001. PMID  16711979. S2CID  42504317.
11. Yndurain, FJ; Garcia-Martin, R.; Pelaez, JR (2007). "Экспериментальный статус ππ изоскалярной S-волны при низкой энергии: полюс f ₀ (600) и длина рассеяния". Physical Review D. 76 ( 7): 074034. arXiv : hep-ph/0701025 . Bibcode : 2007PhRvD..76g4034G. doi : 10.1103/PhysRevD.76.074034. S2CID  119434312.
12. 'т Хоофт, Г.; Вельтман , М. (1972). «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей». Nuclear Physics B. 44 ( 1): 189–213. Bibcode :1972NuPhB..44..189T. doi :10.1016/0550-3213(72)90279-9. hdl : 1874/4845 .

Дальнейшее чтение

Книги

• Фрэмптон, П. (2008). Теории калибровочного поля (3-е изд.). Wiley-VCH . ISBN 978-3-527-40835-1.
• Ченг, Т.-П.; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория элементарной физики частиц . Oxford University Press . ISBN 0-19-851961-3.
• 'т Хоофт, Г. , ред. (2005). 50 лет теории Янга–Миллса . Сингапур: World Scientific . ISBN 981-238-934-2.

Статьи

• Светличный, Джордж (1999). «Подготовка к калибровочной теории». arXiv : math-ph/9902027 .
• Гросс, Д. (1992). "Калибровочная теория – прошлое, настоящее и будущее" . Получено 2015-05-05 .

Внешние ссылки

• «Поле Янга-Миллса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Теория Янга–Миллса". DispersiveWiki . Архивировано из оригинала 2021-06-03 . Получено 2018-08-30 .
• "Проблемы премии тысячелетия". Математический институт Клэя . Архивировано из оригинала 2009-01-16 . Получено 2008-11-24 .