Теорема о спиновой статистике

Теорема квантовой механики

Теорема о спиновой статистике доказывает, что наблюдаемая связь между собственным спином частицы ( угловым моментом, не обусловленным орбитальным движением) и статистикой квантовых частиц совокупностей таких частиц является следствием математики квантовой механики . В единицах приведенной постоянной Планка ħ все частицы , движущиеся в 3 измерениях, имеют либо целый спин и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна , либо полуцелый спин и подчиняются статистике Ферми-Дирака . ^{[1] [2]}

Связь спина и статистики

Все известные частицы подчиняются либо статистике Ферми-Дирака, либо статистике Бозе-Эйнштейна. Собственный спин частицы всегда предсказывает статистику совокупности таких частиц и наоборот: ^[3]

• Частицы с целым спином — это бозоны со статистикой Бозе-Эйнштейна.
• Частицы с полуцелым спином — это фермионы со статистикой Ферми-Дирака.

Теорема спиновой статистики показывает, что математическая логика квантовой механики предсказывает или объясняет этот физический результат. ^[4]

Статистика неразличимых частиц является одним из самых фундаментальных физических эффектов. Принцип исключения Паули — каждое занятое квантовое состояние содержит не более одного фермиона — управляет образованием материи. Основные строительные блоки материи, такие как протоны , нейтроны и электроны, являются фермионами. Наоборот, частицы, такие как фотон , которые являются посредниками сил между частицами материи, являются бозонами. ^{[ требуется ссылка ]} Теорема о спиновой статистике пытается объяснить происхождение этой фундаментальной дихотомии. ^{[5] : 4}

Фон

Наивно, спин, свойство углового момента, присущее частице, не было бы связано с фундаментальными свойствами совокупности таких частиц. Однако это неразличимые частицы: любое физическое предсказание, касающееся нескольких неразличимых частиц, не должно меняться при обмене частицами.

Квантовые состояния и неразличимые частицы

В квантовой системе физическое состояние описывается вектором состояния . Пара различных векторов состояния физически эквивалентна, если они отличаются только общим фазовым множителем, игнорируя другие взаимодействия. Пара неразличимых частиц, таких как эта, имеет только одно состояние. Это означает, что если положения частиц меняются местами (т. е. они подвергаются перестановке), это не определяет новое физическое состояние, а скорее то, которое соответствует исходному физическому состоянию. Фактически, невозможно сказать, какая частица находится в каком положении.

В то время как физическое состояние не меняется при обмене положениями частиц, вектор состояния может изменить знак в результате обмена. Поскольку это изменение знака является всего лишь общей фазой, это не влияет на физическое состояние.

Важнейшим компонентом доказательства связи спин-статистика является относительность, то есть физические законы не меняются при преобразованиях Лоренца . Операторы поля преобразуются при преобразованиях Лоренца в соответствии со спином частицы, которую они создают, по определению.

Кроме того, предположение (известное как микропричинность), что пространственно-подобные разделенные поля либо коммутируют, либо антикоммутируют, может быть сделано только для релятивистских теорий с направлением времени. В противном случае понятие пространственноподобности бессмысленно. Однако доказательство включает рассмотрение евклидовой версии пространства-времени, в которой направление времени трактуется как пространственное, как будет сейчас объяснено.

Преобразования Лоренца включают в себя 3-мерные вращения и усиления . Усиление переходит в систему отсчета с другой скоростью и математически похоже на вращение во времени. Аналитическое продолжение корреляционных функций квантовой теории поля позволяет сделать временную координату мнимой , и тогда усиления становятся вращениями. Новое «пространство-время» имеет только пространственные направления и называется евклидовым .

Симметрия обмена или симметрия перестановки

Бозоны — это частицы, волновая функция которых симметрична при таком обмене или перестановке, поэтому если мы поменяем местами частицы, волновая функция не изменится. Фермионы — это частицы, волновая функция которых антисимметрична, поэтому при таком обмене волновая функция получает знак минус, что означает, что амплитуда для двух идентичных фермионов, занимающих одно и то же состояние, должна быть равна нулю. Это принцип исключения Паули : два идентичных фермиона не могут занимать одно и то же состояние. Это правило не выполняется для бозонов.

В квантовой теории поля состояние или волновая функция описываются полевыми операторами, действующими на некотором базовом состоянии, называемом вакуумом . Для того чтобы операторы могли проецировать симметричный или антисимметричный компонент создающей волновой функции, они должны иметь соответствующий закон коммутации. Оператор

${\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}$

(с оператором и числовой функцией с комплексными значениями) создает двухчастичное состояние с волновой функцией , и в зависимости от коммутационных свойств полей имеют значение либо только антисимметричные части, либо только симметричные части. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$

Предположим, что и оба оператора имеют место одновременно; в более общем случае они могут иметь пространственное разделение, как объясняется ниже. ${\displaystyle x\neq y}$

Если поля коммутируют , это означает, что выполняется следующее:

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x),}$

тогда только симметричная часть вносит вклад, так что , и поле будет создавать бозонные частицы. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}$

С другой стороны, если поля антикоммутируют , то это означает, что они обладают свойством ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}$

тогда только антисимметричная часть вносит вклад, так что , и частицы будут фермионными. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)=-\psi (y,x)}$

Доказательства

Элементарное объяснение теоремы о спиновой статистике не может быть дано, несмотря на то, что теорема так проста в формулировке. В лекциях Фейнмана по физике Ричард Фейнман сказал, что это, вероятно, означает, что у нас нет полного понимания фундаментального принципа, о котором идет речь. ^[3]

Было опубликовано множество примечательных доказательств с различными ограничениями и предположениями. Все они являются «отрицательными доказательствами», то есть они устанавливают, что интегральные спиновые поля не могут привести к статистике фермионов, в то время как полуцелые спиновые поля не могут привести к статистике бозонов. ^{[5] : 487}

Доказательства, избегающие использования любого релятивистского механизма квантовой теории поля, имеют дефекты. Многие такие доказательства опираются на утверждение, что где оператор переставляет координаты. Однако значение в левой части представляет вероятность частицы 1 при , частицы 2 при и т. д., и, таким образом, является квантово-механически недействительным для неразличимых частиц. ^{[6] : 567} $${\displaystyle |\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},...)|^{2}=|{\hat {P}}\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},...)|^{2}}$$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

Первое доказательство было сформулировано ^[7] в 1939 году Маркусом Фирцем , учеником Вольфганга Паули , и было переработано Паули более систематическим образом в следующем году. ^[8] В более позднем резюме Паули перечислил три постулата в рамках релятивистской квантовой теории поля, требуемые для этих версий теоремы:

1. Любое состояние с заполнением частицами имеет более высокую энергию, чем состояние вакуума ,
2. Пространственно разделенные измерения не мешают друг другу (они коммутируют),
3. Физические вероятности положительны (метрика гильбертова пространства положительно определена).

Их анализ не учитывал взаимодействия частиц, отличные от коммутации/антикоммутации состояния. ^{[9] [5] : 374}

В 1949 году Ричард Фейнман дал совершенно другой тип доказательства ^[10], основанный на поляризации вакуума , который позже подвергся критике Паули. ^{[9] [5] : 368} Паули показал, что доказательство Фейнмана явно опиралось на первые два использованных им постулата и неявно использовало третий, сначала допуская отрицательные вероятности, но затем отвергая результаты теории поля с вероятностями больше единицы.

Доказательство Джулиана Швингера в 1950 году, основанное на инвариантности относительно обращения времени ^[11], последовало за доказательством Фредерика Белинфанте в 1940 году, основанным на инвариантности относительно зарядового сопряжения, что привело к связи с теоремой CPT, более полно разработанной Паули в 1955 году. ^[12] Эти доказательства были особенно трудны для понимания. ^{[5] : 393}

Работа Артура Уайтмана над математическими основами квантовой механики привела к теореме, которая утверждала, что математическое ожидание произведения двух полей, , может быть аналитически продолжено на все разделения . ^{[5] : 425} (Первые два постулата доказательств эпохи Паули включают вакуумное состояние и поля в отдельных местах.) Новый результат позволил получить более строгие доказательства теорем о спиновой статистике Герхартом Людерсом и Бруно Зумино ^[13] и Бергойном. ^{[5] : 393} В 1957 году Рес Йост вывел теорему CPT, используя теорему о спиновой статистике и доказательство Бергойна теорема о спиновой статистике в 1958 году не требовала никаких ограничений ни на взаимодействия, ни на форму теорий поля. Эти результаты являются одними из самых строгих практических теорем. ^{[14] : 529} ${\displaystyle \phi (x)\phi (y)}$ ${\displaystyle (x-y)}$

Несмотря на эти успехи, Фейнман в своей студенческой лекции 1963 года, где обсуждалась связь спина и статистики, сказал: «Мы приносим извинения за то, что не можем дать вам элементарного объяснения». ^[3] Нойншвандер повторил это в 1994 году, спросив, есть ли какой-либо прогресс, ^[15] что побудило его к появлению дополнительных доказательств и книг. ^[5] Популяризация Нойншвандером связи спина и статистики в 2013 году показала, что простые объяснения остаются неуловимыми. ^[16]

Экспериментальные испытания

В 1987 году Гринберг и Мохапарра предположили, что теорема о статистике спина может иметь небольшие нарушения. ^{[17] [18]} С помощью очень точных вычислений для состояний атома He, которые нарушают принцип исключения Паули , ^[19] Дейламиан, Гилласпи и Келлехер ^[20] искали 1s2s ¹ S ₀ атома He, используя атомно-лучевой спектрометр. Поиск оказался безуспешным с верхним пределом 5× ¹⁰⁻⁶ .

Связь с теорией представления группы Лоренца

Группа Лоренца не имеет нетривиальных унитарных представлений конечной размерности. Таким образом, кажется невозможным построить гильбертово пространство, в котором все состояния имеют конечный, ненулевой спин и положительную, лоренц-инвариантную норму. Эта проблема преодолевается разными способами в зависимости от спина-статистики частиц.

Для состояния целого спина состояния с отрицательной нормой (известные как «нефизическая поляризация») устанавливаются равными нулю, что делает необходимым использование калибровочной симметрии .

Для состояния полуцелого спина аргумент можно обойти, имея фермионную статистику. ^[21]

Квазичастичные анионы в 2 измерениях

В 1982 году физик Фрэнк Вильчек опубликовал исследовательскую работу о возможностях возможных частиц с дробным спином, которые он назвал анионами из-за их способности принимать «любой» спин. ^[22] Он писал, что теоретически предсказывалось их возникновение в низкоразмерных системах, где движение ограничено менее чем тремя пространственными измерениями. Вильчек описал их статистику спина как «непрерывно интерполирующую между обычными случаями бозонов и фермионов». ^[22] Эффект стал основой для понимания дробного квантового эффекта Холла . ^{[23] [24]}

Смотрите также

• Парастатистика
• Статистика Anyonic
• Статистика кос

Ссылки

1. Дирак, Поль Адриен Морис (1981-01-01). Принципы квантовой механики. Clarendon Press. стр. 149. ISBN 9780198520115.
2. Паули, Вольфганг (1980-01-01). Общие принципы квантовой механики. Springer-Verlag. ISBN 9783540098423.
3. Фейнман, Ричард П.; Роберт Б. Лейтон; Мэтью Сэндс (1965). Лекции Фейнмана по физике, т. 3. Эддисон-Уэсли. стр. 4.1. ISBN 978-0-201-02118-9.
4. Сударшан, ECG (май 1968). «Фундаментальная теорема о связи между спином и статистикой». Труды Индийской академии наук — Раздел A. 67 ( 5): 284–293. doi :10.1007/BF03049366. ISSN  0370-0089.
5. Дак, Ян; Сударшан, Эннакель Чанди Джордж; Сударшан, ECG (1998). Паули и теорема о спиновой статистике (1-е переиздание). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-3114-9.
6. Курчану, Каталина; Гилласпи, Дж. Д.; Хилборн, Роберт К. (2012-07-01). «Ресурсное письмо SS–1: Связь спина и статистики». American Journal of Physics . 80 (7): 561–577. doi :10.1119/1.4704899. ISSN  0002-9505.
7. Маркус Фирц (1939). «Über die Relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit beliebigem Spin». Гельветика Физика Акта . 12 (1): 3–37. Бибкод : 1939AcHPh..12....3F. doi : 10.5169/seals-110930.
8. Вольфганг Паули (15 октября 1940 г.). «Связь между спином и статистикой» (PDF) . Physical Review . 58 (8): 716–722. Bibcode : 1940PhRv...58..716P. doi : 10.1103/PhysRev.58.716.
9. Wolfgang Pauli (1950). «О связи между спином и статистикой». Progress of Theoretical Physics . 5 (4): 526–543. Bibcode :1950PThPh...5..526P. doi : 10.1143/ptp/5.4.526 .
10. Ричард Фейнман (1961). "Теория позитронов". Квантовая электродинамика . Основные книги . ISBN 978-0-201-36075-2.Перепечатка статьи Фейнмана 1949 года в Physical Review
11. Джулиан Швингер (15 июня 1951 г.). «Квантовая теория полей I». Physical Review . 82 (6): 914–917. Bibcode : 1951PhRv...82..914S. doi : 10.1103/PhysRev.82.914. S2CID  121971249.
12. Паули, Вольфганг (1988). «Принцип исключения, группа Лоренца и отражение пространства-времени и заряда». В Энце, Чарльз П.; против Мейенн, Карл (ред.). Вольфганг Паули (на немецком языке). Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag. стр. 459–479. дои : 10.1007/978-3-322-90270-2_41. ISBN 978-3-322-90271-9.
13. Людерс, Герхарт; Зумино, Бруно (1958-06-15). «Связь между спином и статистикой». Physical Review . 110 (6): 1450–1453. doi :10.1103/PhysRev.110.1450. ISSN  0031-899X.
14. Pais, Abraham (2002). Внутреннее ограничение: материи и сил в физическом мире (Переиздание). Oxford: Clarendon Press [ua] ISBN 978-0-19-851997-3.
15. Нойеншвандер, Дуайт Э. (1994-11-01). «Вопрос № 7. Теорема о спиновой статистике». American Journal of Physics . 62 (11): 972–972. doi :10.1119/1.17652. ISSN  0002-9505.
16. Нойеншвандер, Дуайт Э. (2015-07-28). "Теорема о спиновой статистике и функции распределения идентичных частиц". Излучения . стр. 27.
17. Гринберг, О.В.; Мохапатра, Р.Н. (1987-11-30). «Локальная квантовая полевая теория возможного нарушения принципа Паули». Physical Review Letters . 59 (22): 2507–2510. doi :10.1103/PhysRevLett.59.2507. ISSN  0031-9007.
18. Хилборн, Роберт С. (1995-04-01). "Ответ на вопрос № 7 [Теорема о спиновой статистике, Дуайт Э. Нойеншвандер, Am. J. Phys. 62 (11), 972 (1994)]". American Journal of Physics . 63 (4): 298–299. doi :10.1119/1.17953. ISSN  0002-9505.
19. Drake, GWF (1989). «Предсказанные энергетические сдвиги для «паронического» гелия». Phys. Rev. A. 39 ( 2): 897–899. Bibcode : 1989PhRvA..39..897D. doi : 10.1103/PhysRevA.39.897. PMID  9901315. S2CID  35775478.
20. Deilamian, K.; et al. (1995). «Поиск малых нарушений постулата симметризации в возбужденном состоянии гелия». Phys. Rev. Lett . 74 (24): 4787–4790. Bibcode :1995PhRvL..74.4787D. doi :10.1103/PhysRevLett.74.4787. PMID  10058599.
21. Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-50397-2.
22. Wilczek, Frank (4 октября 1982 г.). "Квантовая механика частиц с дробным спином" (PDF) . Physical Review Letters . 49 (14): 957–959. Bibcode : 1982PhRvL..49..957W. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.957.
23. Лафлин, РБ (1999-07-01). «Нобелевская лекция: Дробное квантование». Reviews of Modern Physics . 71 (4): 863–874. doi :10.1103/RevModPhys.71.863. ISSN  0034-6861.
24. Murthy, Ganpathy; Shankar, R. (2003-10-03). «Гамильтоновы теории дробного квантового эффекта Холла». Reviews of Modern Physics . 75 (4): 1101–1158. doi :10.1103/RevModPhys.75.1101. ISSN  0034-6861.

Дальнейшее чтение

• Дак, Ян; Сударшан, ECG (1998). «К пониманию теоремы спиновой статистики». American Journal of Physics . 66 (4): 284–303. Bibcode : 1998AmJPh..66..284D. doi : 10.1119/1.18860 .
• Стритер, Рэй Ф.; Уайтман, Артур С. (2000). PCT, Spin & Statistics, and All That (5-е изд.). Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-07062-8.
• Jabs, Arthur (2010). «Связь спина и статистики в квантовой механике». Foundations of Physics . 40 (7): 776–792. arXiv : 0810.2399 . Bibcode : 2010FoPh...40..776J. doi : 10.1007/s10701-009-9351-4. S2CID  122488238.

Внешние ссылки

• Хорошее почти доказательство на домашней странице Джона Баеза
• Анимация трюка с поясом Дирака с двойным поясом, показывающая, что пояса ведут себя как частицы со спином 1/2
• Анимация варианта трюка с поясом Дирака, показывающая, что частицы со спином 1/2 являются фермионами