stringtranslate.com

Теория Ивасавы

В теории чисел теория Ивасавы — это изучение объектов арифметического интереса над бесконечными башнями числовых полей . Она началась как теория модулей Галуа групп идеальных классов , инициированная Кенкичи Ивасавой  (1959) (岩澤健吉), как часть теории циклотомических полей . В начале 1970-х годов Барри Мазур рассмотрел обобщения теории Ивасавы на абелевы многообразия . Совсем недавно (в начале 1990-х годов) Ральф Гринберг предложил теорию Ивасавы для мотивов .

Формулировка

Ивасава работал с так называемыми -расширениями: бесконечными расширениями числового поля с группой Галуа, изоморфной аддитивной группе p-адических целых чисел для некоторого простого p . ( В ранних работах они назывались -расширениями. [1] ) Каждая замкнутая подгруппа имеет вид так что по теории Галуа -расширение - это то же самое, что и башня полей

так что Ивасава изучал классические модули Галуа , задавая вопросы о структуре модулей

В более общем плане теория Ивасавы задает вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа как p-адической группой Ли .

Пример

Пусть будет простым числом, а будет полем, порожденным корнями степени th из единицы. Ивасава рассмотрел следующую башню числовых полей:

где - поле, образованное присоединением к p n +1 -му корню из единицы и

Тот факт, что подразумевает, по бесконечной теории Галуа, что Для того, чтобы получить интересный модуль Галуа, Ивасава взял идеальную группу классов , и пусть будет ее p -торсионной частью. Существуют карты норм всякий раз , когда , и это дает нам данные обратной системы . Если мы положим

то нетрудно увидеть из конструкции обратного предела, что является модулем над Фактически, является модулем над алгеброй Ивасавы . Это 2-мерное , регулярное локальное кольцо , и это позволяет описывать модули над ним. Из этого описания можно восстановить информацию о p -части группы классов

Мотивация здесь в том, что p -кручение в группе идеальных классов уже было определено Куммером как главное препятствие к прямому доказательству Великой теоремы Ферма .

Связи с p-адическим анализом

С этого начала в 1950-х годах была построена существенная теория. Была замечена фундаментальная связь между теорией модулей и p-адическими L-функциями , которые были определены в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние начинают с чисел Бернулли и используют интерполяцию для определения p-адических аналогов L-функций Дирихле . Стало ясно, что теория имеет перспективы окончательного продвижения вперед из результатов Куммера столетней давности о регулярных простых числах .

Ивасава сформулировал основную гипотезу теории Ивасавы как утверждение, что два метода определения p-адических L-функций (теорией модулей, интерполяцией) должны совпадать, поскольку это было хорошо определено. Это было доказано Мазуром и Уайлсом (1984) для и для всех полностью вещественных числовых полей Уайлсом (1990). Эти доказательства были смоделированы по образцу доказательства Кена Рибета обратной теоремы к теореме Эрбрана (так называемой теоремы Эрбрана–Рибета ).

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса, используя системы Эйлера Колывагина , описанные в работах Лэнга (1990) и Вашингтона (1997), а позднее доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.

Обобщения

Группа Галуа бесконечной башни, начальное поле и вид изучаемого арифметического модуля могут быть изменены. В каждом случае существует основная гипотеза , связывающая башню с p -адической L-функцией.

В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан заявили о доказательстве основной гипотезы для GL (2). В 2010 году они опубликовали препринт (Skinner & Urban 2010).

Смотрите также

Ссылки

Источники

Цитаты

  1. ^ Гринберг, Ральф. «Воспоминания профессора Ивасавы» . Получено 25 сентября 2021 г.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки