Ars Conjectandi (лат. «Искусство предполагать») — книга покомбинаторикеи математическойвероятности,написаннаяЯкобом Бернуллии опубликованная в 1713 году, через восемь лет после его смерти, его племянникомНиклаусом Бернулли. Эта основополагающая работа объединила, помимо многих комбинаторных тем, многие центральные идеитеории вероятностей, такие как самая первая версия законабольших чисел: действительно, она широко рассматривается как основополагающая работа по этой теме. В ней также рассматривались проблемы, которые сегодня классифицируютсядвенадцатью способамии добавляются к темам; следовательно, она была названа важной исторической вехой не только в теории вероятности, но и во всей комбинаторике множеством историков математики. Важность этой ранней работы оказала большое влияние как на современных, так и на более поздних математиков; например, наАвраама де Муавра.
Бернулли написал текст между 1684 и 1689 годами, включив в него работы таких математиков, как Христиан Гюйгенс , Джероламо Кардано , Пьер де Ферма и Блез Паскаль . Он включил в него фундаментальные комбинаторные темы, такие как его теория перестановок и сочетаний (вышеупомянутые проблемы из двенадцатикратного пути), а также те, которые были более отдаленно связаны с развивающейся темой: например, вывод и свойства одноименных чисел Бернулли . Основные темы из области вероятности, такие как ожидаемое значение , также составляли значительную часть этой важной работы.
В Европе предмет вероятности впервые был формально разработан в XVI веке в работе Джероламо Кардано , чей интерес к разделу математики был во многом обусловлен его привычкой к азартным играм. [1] Он формализовал то, что сейчас называется классическим определением вероятности: если событие имеет a возможных результатов, и мы выбираем любое b из них, такое, что b ≤ a , вероятность того, что произойдет любое из b, равна . Однако его фактическое влияние на математическую сцену было невелико; он написал только один небольшой том по этому предмету в 1525 году под названием Liber de ludo aleae (Книга об азартных играх), который был опубликован посмертно в 1663 году. [2] [3]
Датой, которую историки называют началом развития современной теории вероятностей, является 1654 год, когда два самых известных математика того времени, Блез Паскаль и Пьер де Ферма, начали переписку, обсуждая эту тему. Они начали общение, потому что ранее в том же году игрок из Парижа по имени Антуан Гомбо послал Паскалю и другим математикам несколько вопросов о практическом применении некоторых из этих теорий; в частности, он поставил проблему очков , касающуюся теоретической игры двух игроков, в которой приз должен быть разделен между игроками из-за внешних обстоятельств, останавливающих игру. Плоды переписки Паскаля и Ферма заинтересовали других математиков, включая Христиана Гюйгенса , чья работа De ratiociniis in aleae ludo (Вычисления в азартных играх) появилась в 1657 году как заключительная глава Exercitationes Matematicae Ван Схотена . [2] В 1665 году Паскаль посмертно опубликовал свои результаты по одноименному треугольнику Паскаля , важному комбинаторному понятию. Он назвал треугольник в своей работе Traité du triangle arithmétique (Черты арифметического треугольника) «арифметическим треугольником». [4]
В 1662 году в Париже была анонимно опубликована книга La Logique ou l'Art de Penser . [5] Предположительно, авторами были Антуан Арно и Пьер Николь , два ведущих янсениста , которые работали вместе с Блезом Паскалем. Латинское название этой книги — Ars cogitandi , которая была успешной книгой по логике того времени. Ars cogitandi состоит из четырех книг, причем четвертая посвящена принятию решений в условиях неопределенности, рассматривая аналогию с азартными играми и явно вводя концепцию количественной вероятности. [6] [7]
В области статистики и прикладной вероятности Джон Граунт опубликовал «Естественные и политические наблюдения, сделанные над счетами смертности» также в 1662 году, положив начало дисциплине демографии . Эта работа, среди прочего, дала статистическую оценку населения Лондона, создала первую таблицу смертности, привела вероятности выживания различных возрастных групп, рассмотрела различные причины смерти, отметив, что ежегодный уровень самоубийств и несчастных случаев постоянен, и прокомментировала уровень и стабильность соотношения полов. [8] Полезность и интерпретация таблиц Граунта обсуждались в серии переписок братьев Людвига и Христиана Гюйгенсов в 1667 году, где они осознали разницу между средними и медианными оценками, а Кристиан даже интерполировал таблицу смертности Граунта с помощью плавной кривой, создав первое непрерывное распределение вероятностей; но их переписки не были опубликованы. Позже, Йохан де Витт , тогдашний премьер-министр Голландской Республики, опубликовал похожий материал в своей работе 1671 года Waerdye van Lyf-Renten (Трактат о пожизненных рентах), в которой статистические концепции использовались для определения продолжительности жизни в практических политических целях; демонстрация того факта, что эта молодая ветвь математики имела значительные прагматические приложения. [9] Работа Де Витта не получила широкого распространения за пределами Голландской Республики, возможно, из-за его падения от власти и казни толпой в 1672 году. Помимо практического вклада этих двух работ, они также раскрыли фундаментальную идею о том, что вероятность может быть назначена событиям, которые не имеют присущей им физической симметрии, таким как шансы умереть в определенном возрасте, в отличие, скажем, от бросания игральной кости или подбрасывания монеты, просто путем подсчета частоты возникновения. Таким образом, вероятность может быть чем-то большим, чем просто комбинаторика. [7]
Вслед за всеми этими первопроходцами Бернулли между 1684 и 1689 годами получил многие из результатов, содержащихся в Ars Conjectandi , которые он записал в своем дневнике Meditationes . [1] [10] Когда он начал работу в 1684 году в возрасте 30 лет, будучи заинтригованным комбинаторными и вероятностными проблемами, Бернулли еще не читал работу Паскаля об «арифметическом треугольнике» или работу де Витта о приложениях теории вероятностей: ранее он запросил копию последней у своего знакомого Готфрида Лейбница , но Лейбниц не предоставил ее. Последний, однако, сумел предоставить работу Паскаля и Гюйгенса, и, таким образом, в значительной степени на этих основах построена Ars Conjectandi . [11] Помимо этих работ, Бернулли, несомненно, обладал или, по крайней мере, знал из вторичных источников содержание «Логики или искусства мысли», а также «Счетов смертности» Граунта , поскольку он прямо ссылается на эти две работы.
Прогресс Бернулли с течением времени можно проследить с помощью « Размышлений ». Три периода работы над его «открытием» можно выделить по целям и времени. Первый период, который длится с 1684 по 1685 год, посвящен изучению проблем азартных игр, поставленных Христианом Гюйгенсом; во время второго периода (1685-1686) исследования расширяются, чтобы охватить процессы, где вероятности неизвестны априори, но должны быть определены апостериори. Наконец, в последний период (1687-1689) решается проблема измерения вероятностей. [6]
До публикации своего «Искусства предположений » Бернулли написал ряд трактатов, посвященных вероятности: [12]
Между 1703 и 1705 годами Лейбниц переписывался с Якобом, узнав о его открытиях в области вероятности от своего брата Иоганна . [13] Лейбниц сумел предоставить вдумчивую критику закона больших чисел Бернулли, но не смог предоставить Бернулли работу де Витта по аннуитетам, которую он так желал. [13] С самого начала Бернулли хотел, чтобы его работа продемонстрировала, что комбинаторика и теория вероятностей будут иметь многочисленные реальные приложения во всех аспектах общества — в русле работ Граунта и де Витта — и будут служить строгим методом логического рассуждения при недостаточных доказательствах, как это используется в залах суда и в моральных суждениях. Также надеялись, что теория вероятностей сможет предоставить всеобъемлющий и последовательный метод рассуждения, где обычные рассуждения могут быть подавлены сложностью ситуации. [13] Таким образом, было выбрано название Ars Conjectandi : ссылка на концепцию ars inveniendi из схоластики , которая обеспечивала символическую связь с прагматизмом, которого он желал, а также как расширение предшествующего Ars Cogitandi . [6]
По словам самого Бернулли, «искусство предположения» определяется в главе II части IV его « Искусства предположений» следующим образом:
Искусство измерения, насколько это возможно, вероятностей вещей с целью, чтобы мы всегда могли выбирать или следовать в наших суждениях и действиях тому курсу, который будет определен как лучший, более удовлетворительный, более безопасный или более выгодный.
Разработка книги была прекращена смертью Бернулли в 1705 году; таким образом, книга по существу неполна по сравнению с первоначальным видением Бернулли. Ссора с младшим братом Иоганном, который был наиболее компетентным человеком, который мог бы выполнить проект Якоба, помешала Иоганну заполучить рукопись. Собственные дети Якоба не были математиками и не были готовы к задаче редактирования и публикации рукописи. Наконец, племянник Якоба Никлаус, через 7 лет после смерти Якоба в 1705 году, сумел опубликовать рукопись в 1713 году. [14] [15]
Работа Бернулли, первоначально опубликованная на латыни [16], разделена на четыре части. [11] Она охватывает, прежде всего, его теорию перестановок и сочетаний; стандартные основы комбинаторики сегодня и подмножества фундаментальных проблем, известных сегодня как двенадцатикратный путь . В ней также обсуждаются мотивация и применение последовательности чисел, более тесно связанной с теорией чисел , чем с вероятностью; эти числа Бернулли сегодня носят его имя и являются одним из его наиболее заметных достижений. [17] [18]
Первая часть представляет собой углубленное изложение De ratiociniis in aleae ludo Гюйгенса . В этом разделе Бернулли дает решения пяти проблем, которые Гюйгенс поставил в конце своей работы. [11] Он, в частности, развивает концепцию Гюйгенса об ожидаемом значении — средневзвешенном значении всех возможных результатов события. Гюйгенс вывел следующую формулу:
В этой формуле E — ожидаемое значение, p i — вероятности достижения каждого значения, а a i — достижимые значения. Бернулли нормализует ожидаемое значение, предполагая, что p i — вероятности всех непересекающихся результатов значения, следовательно, подразумевая, что p 0 + p 1 + ... + p n = 1. Другая ключевая теория, разработанная в этой части, — это вероятность достижения по крайней мере определенного числа успехов из ряда бинарных событий, сегодня называемых испытаниями Бернулли [20] , при условии, что вероятность успеха в каждом событии была одинаковой. Бернулли показывает с помощью математической индукции , что при a — числе благоприятных исходов в каждом событии, b — числе общих исходов в каждом событии, d — желаемом числе успешных исходов и e — числе событий, вероятность по крайней мере d успехов равна
Первая часть завершается тем, что сейчас известно как распределение Бернулли . [16]
Вторая часть расширяет перечислительную комбинаторику, или систематическую нумерацию объектов. Именно в этой части были подробно описаны два самых важных из двенадцатикратных способов — перестановки и комбинации, которые составят основу предмета, — хотя они были введены ранее для целей теории вероятностей. Он дает первое неиндуктивное доказательство биномиального разложения для целочисленного показателя с использованием комбинаторных аргументов. На заметке, более отдаленно связанной с комбинаторикой, во втором разделе также обсуждается общая формула для сумм целых степеней; свободные коэффициенты этой формулы поэтому называются числами Бернулли , которые позже повлияли на работу Абрахама де Муавра [16] и которые, как оказалось, имеют многочисленные приложения в теории чисел. [22]
В третьей части Бернулли применяет вероятностные методы из первого раздела к обычным азартным играм с игральными картами или костями. [11] Он не считает нужным описывать правила и цели карточных игр, которые он анализирует. Он представляет вероятностные проблемы, связанные с этими играми, и, как только метод был установлен, выдвигает обобщения. Например, проблема, включающая ожидаемое количество «придворных карт» — валета, дамы и короля — которые можно было бы выбрать в пятикарточной руке из стандартной колоды из 52 карт, содержащей 12 придворных карт, может быть обобщена до колоды с картами , которая содержала b придворных карт, и c -карточную руку. [23]
Четвертый раздел продолжает тенденцию практических приложений, обсуждая приложения вероятности к civilibus , moralibus и oeconomicis , или к личным, судебным и финансовым решениям. В этом разделе Бернулли отличается от школы мысли, известной как частотизм , которая определяла вероятность в эмпирическом смысле. [24] В качестве контраргумента он выводит результат, напоминающий закон больших чисел , который он описывает как предсказывающий, что результаты наблюдения будут приближаться к теоретической вероятности по мере проведения большего количества испытаний — в отличие от этого, частоты определяли вероятность в терминах первого. [14] Бернулли очень гордился этим результатом, называя его своей «золотой теоремой» [25] и замечая, что это была «проблема, которой я занимался в течение двадцати лет». [26] Эта ранняя версия закона сегодня известна как теорема Бернулли или слабый закон больших чисел, поскольку она менее строга и общ, чем современная версия. [27]
После этих четырех основных разделов изложения, почти как запоздалая мысль, Бернулли добавил к Ars Conjectandi трактат об исчислении , который касался бесконечных рядов . [16] Это было переиздание пяти диссертаций, которые он опубликовал между 1686 и 1704 годами. [21]
Ars Conjectandi считается знаковой работой в комбинаторике и основополагающей работой по математической вероятности. [28] [29] [30] Среди прочего, антология великих математических трудов, опубликованная Elsevier и отредактированная историком Айвором Граттаном-Гиннессом, описывает исследования, изложенные в работе, «[занимавшие] математиков на протяжении 18-го и 19-го веков» — влияние, продолжающееся три столетия. [31] Статистик Энтони Эдвардс похвалил не только новаторское содержание книги, написав, что она демонстрирует «глубокое знакомство Бернулли со многими гранями [комбинаторики]», но и ее форму: «[Ars Conjectandi] — очень хорошо написанная книга, превосходно построенная». [32] Возможно, совсем недавно известный популярный историк математики и тополог Уильям Данхэм назвал эту работу «следующей вехой теории вероятностей [после работы Кардано]», а также «шедевром Якоба Бернулли». [1] Это в значительной степени способствовало тому, что Данхэм описывает как «давно устоявшуюся репутацию Бернулли». [33]
Работа Бернулли оказала влияние на многих современных и последующих математиков. Даже трактат по исчислению, похожий на запоздалую мысль, часто цитировался; в частности, шотландским математиком Колином Маклорином . [16] Программа Якоба по применению его искусства догадок к вопросам практической жизни, которая была прекращена его смертью в 1705 году, была продолжена его племянником Николаем Бернулли , после того как он дословно взял части из Ars Conjectandi для своей собственной диссертации под названием De Usu Artis Conjectandi in Jure , которая была опубликована уже в 1709 году. [6] Николас, наконец, отредактировал и помог в публикации Ars conjectandi в 1713 году. Позже Николас также отредактировал полное собрание сочинений Якоба Бернулли и дополнил его результатами, взятыми из дневника Якоба. [34]
Пьер Ремон де Монмор в сотрудничестве с Николаем Бернулли написал книгу о вероятности Essay d'analyse sur les jeux de hazard , которая появилась в 1708 году и которую можно рассматривать как расширение части III Ars Conjectandi , применяющей комбинаторику и вероятность для анализа азартных игр, распространенных в то время. [34] Авраам де Муавр также много писал на эту тему в De mensura sortis: Seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus 1711 года и ее расширении The Doctrine of Chances or a Method of Calculating the Probability of Events in Play 1718 года. [35] Самым заметным достижением де Муавра в области вероятности было открытие первого случая центральной предельной теоремы , с помощью которой он смог аппроксимировать биномиальное распределение нормальным распределением . [16] Чтобы достичь этого, Де Муавр разработал асимптотическую последовательность для факториальной функции, которую мы теперь называем приближением Стирлинга , и формулу Бернулли для суммы степеней чисел. [16] И Монмор, и де Муавр заимствовали термин «вероятность» у Якоба Бернулли, который не использовался во всех предыдущих публикациях по азартным играм, и обе их работы были чрезвычайно популярны. [6]
Уточнение Золотой теоремы Бернулли, касающееся сходимости теоретической вероятности и эмпирической вероятности, было подхвачено многими известными математиками последних дней, такими как Муавр, Лаплас, Пуассон, Чебышев, Марков, Борель, Кантелли, Колмогоров и Хинчин. Полное доказательство Закона больших чисел для произвольных случайных величин было наконец представлено в первой половине 20-го века. [36]
Значительное косвенное влияние оказал Томас Симпсон , который достиг результата, очень похожего на результат Муавра. Согласно предисловию к работе Симпсона, его собственная работа во многом зависела от работы Муавра; последний фактически описал работу Симпсона как сокращенную версию своей собственной. [37] Наконец, Томас Байес написал эссе, в котором обсуждались теологические последствия результатов Муавра: его решение проблемы, а именно определение вероятности события по его относительной частоте, было принято Байесом в качестве доказательства существования Бога . [38] Наконец, в 1812 году Пьер-Симон Лаплас опубликовал свою работу «Аналитическая теория вероятностей» , в которой он объединил и изложил многие фундаментальные результаты в области вероятности и статистики, такие как функция производства моментов, метод наименьших квадратов, индуктивная вероятность и проверка гипотез, тем самым завершив заключительный этап в развитии классической вероятности. Действительно, в свете всего этого есть веские основания считать работу Бернулли столь знаменательным событием: не только его многочисленные влияния, прямые и косвенные, дали толчок развитию математического изучения комбинаторики, но и теология также подверглась влиянию.
