Теория струнного поля

Формализм в теории струн

Теория струнного поля ( SFT ) — это формализм в теории струн , в котором динамика релятивистских струн переформулируется на языке квантовой теории поля . Это достигается на уровне теории возмущений путем нахождения набора вершин для соединения и расщепления струн, а также пропагаторов струн , которые дают расширение, подобное диаграмме Фейнмана , для амплитуд рассеяния струн. В большинстве теорий струнного поля это расширение кодируется классическим действием, найденным путем вторичного квантования свободной струны и добавления членов взаимодействия. Как это обычно бывает при вторичном квантовании, классическая конфигурация поля вторично квантованной теории задается волновой функцией в исходной теории. В случае теории струнного поля это подразумевает, что классическая конфигурация, обычно называемая струнным полем , задается элементом пространства Фока свободной струны .

Главные преимущества формализма заключаются в том, что он позволяет вычислять амплитуды вне оболочки и, когда доступно классическое действие, дает непертурбативную информацию, которую нельзя увидеть напрямую из стандартного расширения рода рассеяния струн. В частности, следуя работе Ашока Сена , ^[1] он оказался полезным при изучении конденсации тахионов на нестабильных D-бранах . Он также имел приложения к топологической теории струн , ^[2] некоммутативной геометрии, ^[3] и струнам в низких размерностях. ^[4]

Теории струнного поля бывают разных видов в зависимости от того, какой тип струны подвергается вторичному квантованию: теории открытого струнного поля описывают рассеяние открытых струн, теории закрытого струнного поля описывают замкнутые струны, в то время как теории открыто-замкнутого струнного поля включают как открытые, так и замкнутые струны.

Кроме того, в зависимости от метода, используемого для фиксации диффеоморфизмов мирового листа и конформных преобразований в исходной свободной теории струн, результирующие теории струнного поля могут быть очень разными. Использование калибровки светового конуса дает теории струнного поля светового конуса , тогда как использование BRST-квантования позволяет получить ковариантные теории струнного поля . Существуют также гибридные теории струнного поля, известные как ковариантизированные теории струнного поля светового конуса , которые используют элементы как теорий струнного поля светового конуса, так и BRST-теорий струнного поля с фиксированной калибровкой. ^[5]

Окончательная форма теории струнного поля, известная как фоново-независимая теория открытого струнного поля , принимает совершенно иную форму: вместо вторичного квантования теории струн мирового листа она вторично квантует пространство двумерных квантовых теорий поля. ^[6]

Теория поля струн светового конуса

Теории поля струн светового конуса были введены Стэнли Мандельстамом ^{[7] [8]} и развиты Мандельстамом, Майклом Грином , Джоном Шварцем и Ларсом Бринком. ^{[9] [10] [11] [12] [13]} Явное описание вторичного квантования струны светового конуса было дано Мичио Каку и Кейджи Киккавой . ^{[14] [15]}

Теории струнного поля светового конуса были первыми построенными теориями струнного поля и основаны на простоте рассеяния струн в калибровке светового конуса. Например, в случае бозонной замкнутой струны диаграммы рассеяния мирового листа естественным образом принимают форму, подобную диаграмме Фейнмана, будучи построенными из двух ингредиентов, пропагатора ,

и две вершины для разделения и соединения строк, которые можно использовать для склеивания трех пропагаторов вместе,

Эти вершины и пропагаторы создают единое покрытие пространства модулей амплитуд рассеяния замкнутой струны в точке, поэтому вершины более высокого порядка не требуются. ^[16] Аналогичные вершины существуют и для открытой струны. ${\displaystyle n}$

При рассмотрении квантованных суперструн светового конуса обсуждение становится более тонким, поскольку расхождения могут возникать при столкновении вершин светового конуса. ^[17] Для создания последовательной теории необходимо ввести вершины более высокого порядка, называемые контактными членами, чтобы отменить расхождения.

Теории поля струн светового конуса имеют тот недостаток, что они нарушают явную инвариантность Лоренца . Однако, в фонах со светоподобными векторами Киллинга , они могут значительно упростить квантование действия струны. Более того, до появления струны Берковица ^[18] это был единственный известный метод квантования струн в присутствии полей Рамона–Рамонда . В недавних исследованиях теория поля струн светового конуса сыграла важную роль в понимании струн в фонах pp-волн. ^[19]

Свободная ковариантная струнная теория поля

Важным шагом в построении ковариантных струнных теорий поля (сохраняющих явную лоренц-инвариантность ) было построение ковариантного кинетического члена. Этот кинетический член можно считать струнной теорией поля как таковой: струнной теорией поля свободных струн. Начиная с работы Уоррена Сигела [ ^20] было стандартом сначала BRST-квантовать свободную струнную теорию, а затем вторично квантовать так, чтобы классические поля струнной теории поля включали призраки, а также поля материи. Например, в случае бозонной открытой струнной теории в 26-мерном плоском пространстве-времени общий элемент фок-пространства BRST-квантованной струны принимает форму (в радиальном квантовании в верхней полуплоскости),

${\displaystyle |\Psi \rangle =\int d^{26}p\left(T(p)c_{1}e^{ip\cdot X}|0\rangle +A_{\mu }(p)\partial X^{\mu }c_{1}e^{ip\cdot X}|0\rangle +\chi (p)c_{0}e^{ip\cdot X}|0\rangle +\ldots \right),}$

где — вакуум свободной струны, а точки представляют более массивные поля. На языке теории струн мирового листа, , и представляют амплитуды для струны, которые можно найти в различных базисных состояниях. После вторичного квантования они интерпретируются как классические поля, представляющие тахион , калибровочное поле и поле призрака . ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle T(p)}$ ${\displaystyle A_{\mu }(p)}$ ${\displaystyle \chi (p)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \chi }$

В теории струн мирового листа нефизические элементы пространства Фока удаляются путем наложения условия , а также отношения эквивалентности . После вторичного квантования отношение эквивалентности интерпретируется как калибровочная инвариантность , тогда как условие, являющееся физическим, интерпретируется как уравнение движения . Поскольку физические поля существуют в призрачном числе один, также предполагается, что поле струны является элементом призрачного числа один пространства Фока. ${\displaystyle Q_{B}|\Psi \rangle =0}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle \sim |\Psi \rangle +Q_{B}|\Lambda \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

В случае открытой бозонной струны калибровочно-нефиксированное действие с соответствующими симметриями и уравнениями движения было первоначально получено Андре Неве , Германом Николаи и Питером К. Уэстом . ^[21] Оно задается как

${\displaystyle S_{\text{free open}}(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q_{B}|\Psi \rangle \ ,}$

где BPZ -дуальный к . [ ^22] ${\displaystyle \langle \Psi |}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Для бозонной замкнутой струны построение BRST-инвариантного кинетического члена требует дополнительно наложения и . Кинетический член тогда ${\displaystyle (L_{0}-{\tilde {L}}_{0})|\Psi \rangle =0}$ ${\displaystyle (b_{0}-{\tilde {b}}_{0})|\Psi \rangle =0}$

${\displaystyle S_{\text{free closed}}={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |(c_{0}-{\tilde {c}}_{0})Q_{B}|\Psi \rangle \ .}$

Для того чтобы суперструны могли справиться с нулевыми модами суперпризраков, необходимы дополнительные соображения.

Кубическая теория открытого струнного поля Виттена

Наиболее изученная и самая простая из ковариантных взаимодействующих теорий струнного поля была построена Эдвардом Виттеном . ^[23] Она описывает динамику бозонных открытых струн и задается путем добавления к действию свободной открытой струны кубической вершины:

${\displaystyle S(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q_{B}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi ,\Psi ,\Psi \rangle }$,

где, как и в свободном случае, — элемент с призрачным числом один BRST-квантованного свободного бозонного открытого струнного пространства Фока. ${\displaystyle \Psi }$

Кубическая вершина,

${\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle }$

является трилинейной картой, которая берет три строковых поля общего призрачного числа три и дает число. Следуя Виттену, который был мотивирован идеями из некоммутативной геометрии, принято вводить -произведение, определяемое неявно через ${\displaystyle *}$

${\displaystyle \langle \Sigma |\Psi _{1}*\Psi _{2}\rangle =\langle \Sigma ,\Psi _{1},\Psi _{2}\rangle \ .}$

-Произведение и кубическая вершина удовлетворяют ряду важных свойств (что позволяет использовать поля общих чисел-призраков): ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$

1. Цикличность :

   ${\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle =(-1)^{gn(\Psi _{3})*(gn(\Psi _{2})+gn(\Psi _{1}))}\langle \Psi _{3},\Psi _{1},\Psi _{2}\rangle }$

2. BRST-инвариантность :
   ${\displaystyle Q_{B}\langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle =\langle Q_{B}\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle +(-1)^{gn(\Psi _{1})}\langle \Psi _{1},Q_{B}\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle +(-1)^{gn(\Psi _{1})+gn(\Psi _{2})}\langle \Psi _{1},\Psi _{2},Q_{B}\Psi _{3}\rangle }$

   Для -продукта это означает, что он действует как градуированная производная ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle Q_{B}}$

   ${\displaystyle Q_{B}(\Psi _{1}*\Psi _{2})=(Q_{B}\Psi _{1})*\Psi _{2}+(-1)^{gn(\Psi _{1})}\Psi _{1}*(Q_{B}\Psi _{2})}$

3. Ассоциативность

   ${\displaystyle \left(\Psi _{1}*\Psi _{2}\right)*\Psi _{3}=\Psi _{1}*(\Psi _{2}*\Psi _{3})}$

   В терминах кубической вершины,

   ${\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2}*\Psi _{3},\Psi _{4}\rangle =\langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}*\Psi _{4}\rangle }$

В этих уравнениях обозначает число призраков . ${\displaystyle gn(\Psi )}$ ${\displaystyle \Psi }$

Калибровочная инвариантность

Эти свойства кубической вершины достаточны, чтобы показать, что она инвариантна относительно калибровочного преобразования типа Янга–Миллса , ${\displaystyle S(\Psi )}$

${\displaystyle \Psi \to \Psi +Q_{B}\Lambda +\Psi *\Lambda -\Lambda *\Psi \ ,}$

где — бесконечно малый калибровочный параметр. Конечные калибровочные преобразования имеют вид ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Psi \to e^{-\Lambda }(\Psi +Q_{B})e^{\Lambda }}$

где экспонента определяется как,

${\displaystyle e^{\Lambda }=1+\Lambda +{\tfrac {1}{2}}\Lambda *\Lambda +{\tfrac {1}{3!}}\Lambda *\Lambda *\Lambda +\ldots }$

Уравнения движения

Уравнения движения задаются следующим уравнением:

${\displaystyle Q_{B}\Psi +\Psi *\Psi =0\left.\right.\ .}$

Поскольку струнное поле представляет собой бесконечный набор обычных классических полей, эти уравнения представляют собой бесконечный набор нелинейных связанных дифференциальных уравнений. Было два подхода к поиску решений: во-первых, численно, можно усечь струнное поле, включив только поля с массой меньше фиксированной границы, процедура, известная как «усечение уровня». ^[24] Это сводит уравнения движения к конечному числу связанных дифференциальных уравнений и привело к открытию многих решений. ^{[25] [26]} Во-вторых, следуя работе Мартина Шнабла ^[27], можно искать аналитические решения, тщательно выбирая анзац, который имеет простое поведение при звездном умножении и действии оператора BRST. Это привело к решениям, представляющим маргинальные деформации, решению тахионного вакуума ^[28] и не зависящим от времени системам D-бран. ^[29] ${\displaystyle \Psi }$

Квантование

Для последовательного квантования необходимо зафиксировать калибровку. Традиционным выбором была калибровка Фейнмана-Зигеля, ${\displaystyle S(\Psi )}$

${\displaystyle b_{0}\Psi =0\left.\right.\ .}$

Поскольку калибровочные преобразования сами по себе избыточны (существуют калибровочные преобразования калибровочных преобразований), процедура фиксации калибровки требует введения бесконечного числа призраков посредством формализма BV . ^[30] Полное действие с фиксированной калибровкой задается как

${\displaystyle S_{\text{gauge-fixed}}={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |c_{0}L_{0}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi ,\Psi ,\Psi \rangle \ ,}$

где поле теперь может иметь произвольное ghostnumber . В этой калибровке диаграммы Фейнмана строятся из одного пропагатора и вершины. Пропагатор принимает форму полосы мирового листа шириной и длиной ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T}$

Также есть вставка интеграла от -призрака вдоль красной линии. Модуль, интегрируется от 0 до . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \infty }$

Три вершины можно описать как способ склеивания трех пропагаторов, как показано на следующем рисунке:

Для того, чтобы представить вершину, встроенную в три измерения, пропагаторы были сложены пополам вдоль их средних точек. Полученная геометрия полностью плоская, за исключением одной сингулярности кривизны, где встречаются средние точки трех пропагаторов.

Эти диаграммы Фейнмана генерируют полное покрытие пространства модулей диаграмм рассеяния открытых струн. Из этого следует, что для амплитуд на оболочке амплитуды n -точечных открытых струн, вычисленные с использованием теории поля открытых струн Виттена, идентичны амплитудам, вычисленным с использованием стандартных методов мирового листа. ^{[31] [32]}

Суперсимметричные ковариантные теории открытых струнных полей

Существуют две основные конструкции суперсимметричных расширений кубической теории открытых струн Виттена. Первая очень похожа по форме на своего бозонного кузена и известна как модифицированная кубическая теория суперструнного поля . Вторая, созданная Натаном Берковицем, сильно отличается и основана на действии типа WZW .

Модифицированная кубическая суперструнная теория поля

Первое последовательное расширение теории бозонных открытых струн Виттена на струну RNS было построено Кристианом Прейчопфом, Чарльзом Торном и Скоттом Йостом и независимо Ириной Арефьевой, П.Б. Медведевым и А.П. Зубаревым. ^{[33] [34]} Поле струны NS рассматривается как поле струны с числом призраков один картинка ноль в малом гильбертовом пространстве (т.е. ). Действие принимает форму, очень похожую на бозонное действие, ${\displaystyle \eta _{0}|\Psi \rangle =0}$

${\displaystyle S(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Y(i)Y(-i)Q_{B}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi |Y(i)Y(-i)|\Psi *\Psi \rangle \ ,}$

где,

${\displaystyle Y(z)=-\partial \xi e^{-2\phi }c(z)}$

— обратный оператор изменения изображения. Предложенное расширение числа изображений этой теории на сектор Рамона может оказаться проблематичным. ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$

Было показано, что это действие воспроизводит амплитуды уровня дерева и имеет решение тахионного вакуума с правильной энергией. ^[35] Единственная тонкость в действии — это вставка операторов изменения изображения в средней точке, что подразумевает, что линеаризованные уравнения движения принимают вид

${\displaystyle Y(i)Y(-i)Q_{B}\Psi =0\left.\right.\ .}$

Поскольку имеет нетривиальное ядро, потенциально существуют дополнительные решения, которые не находятся в когомологиях . ^[36] Однако такие решения имели бы операторные вставки вблизи средней точки и были бы потенциально сингулярными, и важность этой проблемы остается неясной. ${\displaystyle Y(i)Y(-i)}$ ${\displaystyle Q_{B}}$

Теория поля суперструн Берковица

Совсем другое суперсимметричное действие для открытой струны было построено Натаном Берковицем. Оно имеет вид ^[37]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\langle e^{-\Phi }Q_{B}e^{\Phi }|e^{-\Phi }\eta _{0}e^{\Phi }\rangle -{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}dt\langle e^{-{\hat {\Phi }}}\partial _{t}e^{\hat {\Phi }}|\{e^{-{\hat {\Phi }}}Q_{B}e^{\hat {\Phi }},e^{-{\hat {\Phi }}}\eta _{0}e^{\hat {\Phi }}\}\rangle }$

где все произведения выполнены с использованием -произведения, включая антикоммутатор , и является любым струнным полем таким, что и . Струнное поле считается находящимся в секторе NS большого гильбертова пространства, т.е. включая нулевую моду . Неизвестно, как включить сектор R, хотя существуют некоторые предварительные идеи. ^[38] ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \{,\}}$ ${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\Phi }}(0)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\Phi }}(1)=\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \xi }$

Уравнения движения имеют вид

${\displaystyle \eta _{0}\left(e^{-\Phi }Q_{B}e^{\Phi }\right)=0.}$

Действие инвариантно относительно калибровочного преобразования

${\displaystyle e^{\Phi }\to e^{Q_{B}\Lambda }e^{\Phi }e^{\eta _{0}\Lambda '}.}$

Главное преимущество этого действия в том, что оно свободно от любых вставок операторов, изменяющих картину. Было показано, что оно правильно воспроизводит амплитуды уровня дерева ^[39] и было обнаружено, численно, что оно имеет тахионный вакуум с соответствующей энергией. ^{[40] [41]} Известные аналитические решения классических уравнений движения включают тахионный вакуум ^[42] и маргинальные деформации.

Другие формулировки ковариантной теории открытого суперструнного поля

Формулировка теории суперструнного поля с использованием неминимальных чисто спинорных переменных была введена Берковицем. ^[43] Действие является кубическим и включает вставку средней точки, ядро ​​которой тривиально. Как всегда в чисто спинорной формулировке, сектор Рамона может быть легко рассмотрен. Однако неизвестно, как включить GSO-сектора в формализм.

В попытке разрешить якобы проблемную вставку средней точки модифицированной кубической теории Берковиц и Зигель предложили теорию суперструнного поля, основанную на неминимальном расширении струны СОК, ^[44] , которая использует вставку средней точки без ядра. Неясно, являются ли такие вставки каким-либо образом лучше вставок средней точки с нетривиальными ядрами.

Ковариантная теория поля замкнутых струн

Ковариантные теории полей замкнутых струн значительно сложнее, чем их открытые струнные кузены. Даже если кто-то хочет построить теорию полей струн, которая воспроизводит только взаимодействия на уровне дерева между замкнутыми струнами, классическое действие должно содержать бесконечное число вершин ^[45], состоящих из многогранников струн. ^{[46] [47]}

Если требуется, чтобы диаграммы рассеяния на оболочке воспроизводились для всех порядков в струнной связи, необходимо также включить дополнительные вершины, возникающие из более высокого рода (и, следовательно, более высокого порядка в ). В общем случае явно инвариантное относительно BV квантуемое действие принимает форму ^[48] ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle S(\Psi )=\hbar \sum _{g\geq 0}(\hbar g_{c})^{g-1}\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\{\Psi ^{n}\}_{g}}$

где обозначает вершину th порядка, возникающую из поверхности рода , а — замкнутая струнная связь. Структура вершин в принципе определяется минимальным предписанием площади, ^[49] хотя даже для многогранных вершин явные вычисления были выполнены только до пятого порядка. ^{[50] [51]} ${\displaystyle \{\Psi ^{n}\}_{g}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{c}}$

Ковариантная гетеротическая теория струнного поля

Формулировка NS-сектора гетеротической струны была дана Берковицем, Окавой и Цвибахом. ^[52] Формулировка объединяет теорию поля бозонных замкнутых струн с теорией поля суперструн Берковица.

Смотрите также

• Конформная теория поля
• F-теория
• Пушистые шарики
• Список тем по теории струн
• Немного теории струн
• Петлевая квантовая гравитация
• Связь между теорией струн и квантовой теорией поля
• Струнная космология
• Супергравитация
• Элегантная Вселенная
• Регуляризация дзета-функции

Ссылки

1. Сен, Ашок (1999-12-29). "Универсальность тахионного потенциала". Журнал физики высоких энергий . 1999 (12): 027. arXiv : hep-th/9911116 . Bibcode : 1999JHEP...12..027S. doi : 10.1088/1126-6708/1999/12/027. ISSN  1029-8479. S2CID  1506387.
2. Э. Виттен, "Калибровочная теория Черна–Саймонса как теория струн", Prog. Math. 133 637, (1995)
3. Э. Виттен, «Некоммутативные тахионы и теория струнного поля», hep-th/0006071
4. Gaiotto, Davide; Rastelli, Leonardo (2005-07-25). "Парадигма открытой/закрытой дуальности Лиувилля D-бран и модель Концевича". Journal of High Energy Physics . 2005 (7): 053. arXiv : hep-th/0312196 . Bibcode : 2005JHEP...07..053G. doi : 10.1088/1126-6708/2005/07/053. ISSN  1029-8479. S2CID  15225459.
5. Хата, Хироюки; Ито, Кацуми; Куго, Таитиро; Кунитомо, Хироси; Огава, Каку (1986). «Явно ковариантная полевая теория взаимодействующих струн I». Physics Letters B. 172 ( 2). Elsevier BV: 186–194. Bibcode : 1986PhLB..172..186H. doi : 10.1016/0370-2693(86)90834-8. ISSN  0370-2693.
6. Виттен, Эдвард (1992-12-15). «О фоново-независимой теории открытых струн». Physical Review D. 46 ( 12): 5467–5473. arXiv : hep-th/9208027 . Bibcode : 1992PhRvD..46.5467W. doi : 10.1103/physrevd.46.5467. ISSN  0556-2821. PMID  10014938. S2CID  1135319.
7. Мандельштам, С. (1973). «Взаимодействующая струнная картина моделей двойного резонанса». Nuclear Physics B. 64. Elsevier BV: 205–235. Bibcode : 1973NuPhB..64..205M. doi : 10.1016/0550-3213(73)90622-6. ISSN  0550-3213.
8. Мандельстам, С. (1974). «Взаимодействующая струнная картина модели Невё-Шварца-Рамона». Nuclear Physics B. 69 ( 1). Elsevier BV: 77–106. Bibcode :1974NuPhB..69...77M. doi :10.1016/0550-3213(74)90127-8. ISSN  0550-3213. S2CID  120638932.
9. Грин, Майкл Б.; Шварц, Джон Х. (1982). «Суперсимметричная дуальная теория струн: (II). Вершины и деревья». Nuclear Physics B . 198 (2). Elsevier BV: 252–268. Bibcode :1982NuPhB.198..252G. doi :10.1016/0550-3213(82)90556-9. ISSN  0550-3213.
10. Грин, Майкл Б.; Шварц, Джон Х. (1983). «Взаимодействия суперструн». Nuclear Physics B. 218 ( 1). Elsevier BV: 43–88. Bibcode : 1983NuPhB.218...43G. doi : 10.1016/0550-3213(83)90475-3. ISSN  0550-3213.
11. Грин, Майкл Б.; Шварц, Джон Х.; Бринк, Ларс (1983). «Теория суперполя суперструн типа (II)». Nuclear Physics B . 219 (2). Elsevier BV: 437–478. Bibcode :1983NuPhB.219..437G. doi :10.1016/0550-3213(83)90651-x. ISSN  0550-3213.
12. Грин, Майкл Б.; Шварц, Джон Х. (1984). «Теория поля суперструн». Nuclear Physics B. 243 ( 3). Elsevier BV: 475–536. Bibcode : 1984NuPhB.243..475G. doi : 10.1016/0550-3213(84)90488-7. ISSN  0550-3213.
13. Мандельстам, Стэнли (1986). «Взаимодействующая струнная картина фермионной струны». Progress of Theoretical Physics Supplement . 86. Oxford University Press (OUP): 163–170. Bibcode : 1986PThPS..86..163M. doi : 10.1143/ptps.86.163 . ISSN  0375-9687.
14. Каку, Мичио; Киккава, К. (1974-08-15). «Полевая теория релятивистских струн. I. Деревья». Physical Review D. 10 ( 4). Американское физическое общество (APS): 1110–1133. Bibcode : 1974PhRvD..10.1110K. doi : 10.1103/physrevd.10.1110. ISSN  0556-2821.
15. Каку, Мичио; Киккава, К. (1974-09-15). "Полевая теория релятивистских струн. II. Петли и помероны". Physical Review D. 10 ( 6). Американское физическое общество (APS): 1823–1843. Bibcode :1974PhRvD..10.1823K. doi :10.1103/physrevd.10.1823. ISSN  0556-2821.
16. D'Hoker, Eric; Giddings, Steven B. (1987). "Унитарность замкнутой бозонной струны Полякова". Nuclear Physics B. 291. Elsevier BV: 90–112. Bibcode : 1987NuPhB.291...90D. doi : 10.1016/0550-3213(87)90466-4. ISSN  0550-3213.
17. Гринсайт, Дж.; Клинкхамер, Ф. Р. (1987). «Новые взаимодействия для суперструн». Nuclear Physics B. 281 ( 1–2). Elsevier BV: 269–288. Bibcode : 1987NuPhB.281..269G. doi : 10.1016/0550-3213(87)90256-2. ISSN  0550-3213.
18. Берковиц, Натан (2000-04-15). "Супер-Пуанкаре ковариантное квантование суперструны". Журнал физики высоких энергий . 2000 (4): 018. arXiv : hep-th/0001035 . Bibcode : 2000JHEP...04..018B. doi : 10.1088/1126-6708/2000/04/018 . ISSN  1029-8479.
19. М. Спрадлин и А. Волович, «Теория поля струн светового конуса в плоской волне», Лекции, прочитанные на весенней школе МЦТФ по теории суперструн и смежным темам, Триест, Италия, 31 марта – 8 апреля (2003) hep-th/0310033.
20. W. Siegel, "String Field Theory Via BRST", в Санта-Барбаре 1985, Труды, Unified String Theories, 593;
    W. Siegel, "Введение в струнную теорию поля", Adv. Ser. Math. Phys. 8. Перепечатано как hep-th/0107094
21. Neveu, A.; Nicolai, H.; West, P. (1986). «Новые симметрии и призрачная структура ковариантных теорий струн». Physics Letters B. 167 ( 3). Elsevier BV: 307–314. Bibcode :1986PhLB..167..307N. doi :10.1016/0370-2693(86)90351-5. ISSN  0370-2693.
22. Белавин, АА; Поляков, А.М.; Замолодчиков, АБ (1984). «Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля». Nuclear Physics B . 241 (2). Elsevier BV: 333–380. Bibcode :1984NuPhB.241..333B. doi :10.1016/0550-3213(84)90052-x. ISSN  0550-3213.
23. Виттен, Эдвард (1986). «Некоммутативная геометрия и теория струнного поля». Nuclear Physics B. 268 ( 2). Elsevier BV: 253–294. Bibcode : 1986NuPhB.268..253W. doi : 10.1016/0550-3213(86)90155-0. ISSN  0550-3213.
24. Костелецкий, В. Алан; Сэмюэл, Стюарт (1989-01-15). «Спонтанное нарушение симметрии Лоренца в теории струн». Physical Review D. 39 ( 2). Американское физическое общество (APS): 683–685. Bibcode : 1989PhRvD..39..683K. doi : 10.1103/physrevd.39.683. hdl : 2022/18649 . ISSN  0556-2821. PMID  9959689.
25. Цвибах, Бартон (2001). «Достаточно ли большое струнное поле?». Fortschritte der Physik . 49 (4–6). Уайли: 387. Бибкод : 2001ForPh..49..387Z. doi : 10.1002/1521-3978(200105)49:4/6<387::aid-prop387>3.0.co;2-z . ISSN  0015-8208.
26. Тейлор, Вашингтон; Цвибах, Бартон (2004). «D-браны, тахионы и теория струнного поля». Струны, браны и дополнительные измерения . World Scientific. стр. 641–670. arXiv : hep-th/0311017 . doi :10.1142/9789812702821_0012. ISBN 978-981-238-788-2.
27. Шнабль, Мартин (2006). «Аналитическое решение для конденсации тахионов в теории поля открытых струн». Успехи теоретической и математической физики . 10 (4): 433–501. arXiv : hep-th/0511286 . doi : 10.4310/atmp.2006.v10.n4.a1 . ISSN  1095-0761.
28. Фукс, Эхуд; Кройтер, Майкл (2011). «Аналитические решения теории поля открытых струн». Physics Reports . 502 (4–5): 89–149. arXiv : 0807.4722 . Bibcode : 2011PhR...502...89F. doi : 10.1016/j.physrep.2011.01.003. ISSN  0370-1573. S2CID  119203368.
29. Эрлер, Теодор; Маккаферри, Карло (2014). «Решение теории поля струн для любого открытого струнного фона». Журнал физики высоких энергий . 2014 (10). Springer Nature: 029. arXiv : 1406.3021 . Bibcode : 2014JHEP...10..029E. doi : 10.1007/jhep10(2014)029 . ISSN  1029-8479.
30. Thorn, Charles B. (1989). "Теория струнного поля". Physics Reports . 175 (1–2). Elsevier BV: 1–101. Bibcode : 1989PhR...175....1T. doi : 10.1016/0370-1573(89)90015-x. ISSN  0370-1573.
31. Гиддингс, Стивен Б .; Мартинец, Эмиль; Виттен, Эдвард (1986). «Модулярная инвариантность в теории струнного поля». Physics Letters B. 176 ( 3–4). Elsevier BV: 362–368. Bibcode : 1986PhLB..176..362G. doi : 10.1016/0370-2693(86)90179-6. ISSN  0370-2693.
32. Цвибах, Бартон (1991). «Доказательство того, что открытая теория струн Виттена дает единственное покрытие пространства модулей». Сообщения по математической физике . 142 (1). Springer Science and Business Media LLC: 193–216. Bibcode : 1991CMaPh.142..193Z. doi : 10.1007/bf02099176. ISSN  0010-3616. S2CID  121798009.
33. Preitschopf, Christian R.; Thorn, Charles B.; Yost, Scott (1990). "Теория поля суперструн". Nuclear Physics B . 337 (2). Elsevier BV: 363–433. Bibcode :1990NuPhB.337..363P. doi :10.1016/0550-3213(90)90276-j. ISSN  0550-3213. OSTI  7241635.
34. Арефьева, И.Я.; Медведев, П.Б.; Зубарев, А.П. (1990). «Новое представление для струнного поля решает проблему согласованности для теории открытого суперструнного поля». Nuclear Physics B . 341 (2). Elsevier BV: 464–498. Bibcode :1990NuPhB.341..464A. doi :10.1016/0550-3213(90)90189-k. ISSN  0550-3213.
35. Эрлер, Теодор (2008-01-07). "Тахионный вакуум в кубической теории поля суперструн". Журнал физики высоких энергий . 2008 (1): 013. arXiv : 0707.4591 . Bibcode : 2008JHEP...01..013E. doi : 10.1088/1126-6708/2008/01/013 . ISSN  1029-8479.
36. Н. Берковиц, «Обзор теории открытого суперструнного поля», hep-th/0105230
37. Берковиц, Натан (1995). "Супер-Пуанкаре-инвариантная суперструнная теория поля". Nuclear Physics B . 450 (1–2). Elsevier BV: 90–102. arXiv : hep-th/9503099 . Bibcode :1995NuPhB.450...90B. doi :10.1016/0550-3213(95)00259-u. ISSN  0550-3213. S2CID  14495743.
38. Мичишита, Ёдзи (2005-01-07). «Ковариантное действие с ограничением и правила Фейнмана для фермионов в теории поля открытых суперструн». Журнал физики высоких энергий . 2005 (1): 012. arXiv : hep-th/0412215 . Bibcode : 2005JHEP...01..012M. doi : 10.1088/1126-6708/2005/01/012 . ISSN  1029-8479.
39. Берковиц, Натан; Эчеваррия, Карлос Телло (2000). «Четырехточечная амплитуда из теории поля открытых суперструн». Physics Letters B. 478 ( 1–3). Elsevier BV: 343–350. arXiv : hep-th/9912120 . Bibcode : 2000PhLB..478..343B. doi : 10.1016/s0370-2693(00)00246-x. ISSN  0370-2693. S2CID  17003177.
40. Берковиц, Натан (2000-04-19). "Тахионный потенциал в теории открытого струнного поля Невё-Шварца". Журнал физики высоких энергий . 2000 (4): 022. arXiv : hep-th/0001084 . Bibcode : 2000JHEP...04..022B. doi : 10.1088/1126-6708/2000/04/022 . ISSN  1029-8479.
41. Берковиц, Натан; Сен, Ашок; Цвибах, Бартон (2000). «Конденсация тахионов в теории суперструнного поля». Nuclear Physics B . 587 (1–3): 147–178. arXiv : hep-th/0002211 . Bibcode :2000NuPhB.587..147B. doi :10.1016/s0550-3213(00)00501-0. ISSN  0550-3213. S2CID  11853254.
42. Эрлер, Теодор (2013). «Аналитическое решение для конденсации тахионов в теории поля открытых суперструн Берковица». Журнал физики высоких энергий . 2013 (11): 7. arXiv : 1308.4400 . Bibcode : 2013JHEP...11..007E. doi : 10.1007/jhep11(2013)007. ISSN  1029-8479. S2CID  119114830.
43. Берковиц, Натан (2005-10-27). "Чистый спинорный формализм как топологическая струна N= 2". Журнал физики высоких энергий . 2005 (10): 089. arXiv : hep-th/0509120 . Bibcode : 2005JHEP...10..089B. doi : 10.1088/1126-6708/2005/10/089 . ISSN  1029-8479.
44. Берковиц, Натан; Сигел, Уоррен (2009-11-05). "Регуляризирующая кубическая открытая теория струнного поля Невё-Шварца". Журнал физики высоких энергий . 2009 (11): 021. arXiv : 0901.3386 . Bibcode : 2009JHEP...11..021B. doi : 10.1088/1126-6708/2009/11/021. ISSN  1029-8479. S2CID  16824165.
45. Сонода, Хиденори; Цвибах, Бартон (1990). «Ковариантная замкнутая теория струн не может быть кубической». Nuclear Physics B. 336 ( 2). Elsevier BV: 185–221. Bibcode : 1990NuPhB.336..185S. ​​doi : 10.1016/0550-3213(90)90108-p. ISSN  0550-3213.
46. Саади, Маха; Цвибах, Бартон (1989). «Теория поля замкнутых струн из многогранников». Annals of Physics . 192 (1). Elsevier BV: 213–227. Bibcode : 1989AnPhy.192..213S. doi : 10.1016/0003-4916(89)90126-7. ISSN  0003-4916.
47. Куго, Тайчиро; Суэхиро, Казухиро (1990). «Неполиномиальная замкнутая струнная теория поля: действие и ее калибровочная инвариантность». Nuclear Physics B. 337 ( 2). Elsevier BV: 434–466. Bibcode : 1990NuPhB.337..434K. doi : 10.1016/0550-3213(90)90277-k. ISSN  0550-3213.
48. Цвибах, Бартон (1993). "Теория поля замкнутых струн: квантовое действие и основное уравнение Баталина-Вилковыского". Nuclear Physics B . 390 (1): 33–152. arXiv : hep-th/9206084 . Bibcode :1993NuPhB.390...33Z. doi :10.1016/0550-3213(93)90388-6. ISSN  0550-3213. S2CID  119509701.
49. Цвибах, Бартон (1990-12-30). «Квантовые замкнутые струны из минимальной площади». Modern Physics Letters A. 05 ( 32). World Scientific Pub Co Pte Lt: 2753–2762. Bibcode : 1990MPLA....5.2753Z. doi : 10.1142/s0217732390003218. ISSN  0217-7323.
50. Мёллер, Николас (2007-03-12). "Закрытая бозонная струнная теория поля в пятом порядке: контактный член пяти тахионов и теорема о дилатоне". Журнал физики высоких энергий . 2007 (3): 043. arXiv : hep-th/0609209 . Bibcode : 2007JHEP...03..043M. doi : 10.1088/1126-6708/2007/03/043. ISSN  1029-8479. S2CID  11634790.
51. Мёллер, Николас (2007-09-26). "Теория поля закрытых бозонных струн в пятом порядке II: маргинальные деформации и эффективный потенциал". Журнал физики высоких энергий . 2007 (9): 118. arXiv : 0705.2102 . Bibcode : 2007JHEP...09..118M. doi : 10.1088/1126-6708/2007/09/118. ISSN  1029-8479. S2CID  16383969.
52. Берковиц, Натан; Окава, Юджи; Цвибах, Бартон (2004-11-16). "WZW-подобное действие для гетеротической теории струнного поля". Журнал физики высоких энергий . 2004 (11): 038. arXiv : hep-th/0409018 . Bibcode : 2004JHEP...11..038B. doi : 10.1088/1126-6708/2004/11/038. ISSN  1029-8479. S2CID  16151394.