Гармонический анализ — это раздел математики, занимающийся исследованием связей между функцией и ее представлением в частоте . Частотное представление находится с помощью преобразования Фурье для функций в неограниченных областях, таких как полная вещественная прямая , или с помощью рядов Фурье для функций в ограниченных областях, особенно периодических функций на конечных интервалах . Обобщение этих преобразований на другие области обычно называется анализом Фурье , хотя этот термин иногда используется взаимозаменяемо с гармоническим анализом. Гармонический анализ стал обширным предметом с приложениями в таких разнообразных областях, как теория чисел , теория представлений , обработка сигналов , квантовая механика , приливный анализ , спектральный анализ и нейронаука .
Термин « гармоники » произошел от древнегреческого слова harmonikos , что означает «искусный в музыке». [1] В физических задачах на собственные значения он стал означать волны, частоты которых являются целыми кратными друг другу, как и частоты гармоник музыкальных нот . Тем не менее, этот термин был обобщен за пределы своего первоначального значения.
Исторически гармонические функции сначала относились к решениям уравнения Лапласа . [2] Эта терминология была распространена на другие специальные функции , которые решали связанные уравнения, [3] затем на собственные функции общих эллиптических операторов , [4] и в настоящее время гармонические функции рассматриваются как обобщение периодических функций [5] в функциональных пространствах, определенных на многообразиях , например, как решения общих, не обязательно эллиптических , уравнений в частных производных, включая некоторые граничные условия , которые могут подразумевать их симметрию или периодичность. [6]
Классическое преобразование Фурье на R n все еще является областью продолжающихся исследований, особенно касающихся преобразования Фурье на более общих объектах, таких как темперированные распределения . Например, если мы накладываем некоторые требования на распределение f , мы можем попытаться перевести эти требования в преобразование Фурье f . Примером является теорема Пэли–Винера . Теорема Пэли–Винера немедленно подразумевает, что если f является ненулевым распределением компактного носителя (сюда входят функции компактного носителя), то его преобразование Фурье никогда не является компактным носителем (т. е. если сигнал ограничен в одной области, он неограничен в другой). Это элементарная форма принципа неопределенности в настройке гармонического анализа.
Ряды Фурье удобно изучать в контексте пространств Гильберта , что обеспечивает связь между гармоническим анализом и функциональным анализом . Существует четыре версии преобразования Фурье, зависящие от пространств, которые отображаются преобразованием:
Поскольку пространства, отображаемые преобразованием Фурье, являются, в частности, подпространствами пространства умеренных распределений, можно показать, что четыре версии преобразования Фурье являются частными случаями преобразования Фурье на умеренных распределениях.
Абстрактный гармонический анализ в первую очередь занимается тем, как действительные или комплекснозначные функции (часто в очень общих областях) могут быть изучены с помощью симметрий, таких как переносы или вращения (например, с помощью преобразования Фурье и его родственников); эта область, конечно, связана с действительным гармоническим анализом, но, возможно, ближе по духу к теории представлений и функциональному анализу . [7]
Одной из самых современных ветвей гармонического анализа, берущей свое начало в середине 20-го века, является анализ на топологических группах . Основными мотивирующими идеями являются различные преобразования Фурье , которые могут быть обобщены до преобразования функций, определенных на локально компактных топологических группах Хаусдорфа . [8]
Один из основных результатов в теории функций на абелевых локально компактных группах называется двойственностью Понтрягина . Гармонический анализ изучает свойства этой двойственности. Различные обобщения преобразований Фурье пытаются распространить эти особенности на различные настройки, например, сначала на случай общих абелевых топологических групп , а затем на случай неабелевых групп Ли . [9]
Гармонический анализ тесно связан с теорией представлений унитарных групп для общих неабелевых локально компактных групп. Для компактных групп теорема Петера–Вейля объясняет, как можно получить гармоники, выбрав одно неприводимое представление из каждого класса эквивалентности представлений. [10] Этот выбор гармоник обладает некоторыми ценными свойствами классического преобразования Фурье с точки зрения переноса сверток в поточечные произведения или иным образом демонстрирует определенное понимание базовой структуры группы . См. также: Некоммутативный гармонический анализ .
Если группа не является ни абелевой, ни компактной, то в настоящее время не известна общая удовлетворительная теория («удовлетворительная» означает, по крайней мере, такую же сильную, как теорема Планшереля ). Однако было проанализировано много конкретных случаев, например, SL n . В этом случае представления в бесконечных измерениях играют решающую роль.
.png/1280px-Bass_Guitar_Time_Signal_of_open_string_A_note_(55_Hz).png)
Многие приложения гармонического анализа в науке и технике начинаются с идеи или гипотезы о том, что явление или сигнал состоит из суммы отдельных колебательных компонентов. Океанские приливы и вибрирующие струны являются обычными и простыми примерами. Теоретический подход часто пытается описать систему дифференциальным уравнением или системой уравнений , чтобы предсказать основные характеристики, включая амплитуду, частоту и фазы колебательных компонентов. Конкретные уравнения зависят от поля, но теории обычно пытаются выбрать уравнения, которые представляют существенные принципы, которые применимы.
Экспериментальный подход обычно заключается в получении данных , которые точно количественно определяют явление. Например, при изучении приливов экспериментатор получает образцы глубины воды как функции времени с достаточно близкими интервалами, чтобы увидеть каждое колебание, и в течение достаточно большой продолжительности, чтобы, вероятно, были включены несколько колебательных периодов. При изучении вибрирующих струн экспериментатор обычно получает звуковую волну, отобранную с частотой, по крайней мере, вдвое превышающей ожидаемую самую высокую частоту, и в течение продолжительности, во много раз превышающей период ожидаемой самой низкой частоты.
Например, верхний сигнал справа — это звуковая волна бас-гитары, играющей на открытой струне, соответствующая ноте A с основной частотой 55 Гц. Форма волны кажется колебательной, но она сложнее, чем простая синусоида, что указывает на наличие дополнительных волн. Различные компоненты волны, вносящие вклад в звук, можно выявить, применив математический метод анализа, известный как преобразование Фурье , показанный на нижнем рисунке. Есть выраженный пик на частоте 55 Гц, но другие пики на частотах 110 Гц, 165 Гц и на других частотах, соответствующих целым кратным 55 Гц. В этом случае 55 Гц идентифицируется как основная частота вибрации струны, а целые кратные известны как гармоники .
