В физике калибровочная теория решетки представляет собой исследование калибровочных теорий в пространстве-времени, которое было дискретизировано в решетку .
Калибровочные теории играют важную роль в физике элементарных частиц и включают в себя преобладающие теории элементарных частиц : квантовую электродинамику , квантовую хромодинамику (КХД) и Стандартную модель физики элементарных частиц . Вычисления непертурбативной калибровочной теории в непрерывном пространстве-времени формально включают в себя вычисление бесконечномерного интеграла по пути , который вычислительно неразрешим. Работая в дискретном пространстве-времени , интеграл по путям становится конечномерным и может быть оценен с помощью методов стохастического моделирования , таких как метод Монте-Карло . Когда размер решетки принимается бесконечно большим, а ее узлы бесконечно близкими друг к другу, калибровочная теория континуума восстанавливается. [1]
В калибровочной теории решетки пространство-время представляет собой поворот по Вику в евклидово пространство и дискретизацию в решетку с узлами, разделенными расстоянием и соединенными связями. В наиболее часто рассматриваемых случаях, таких как решеточная КХД , фермионные поля определяются в узлах решетки (что приводит к удвоению фермионов ), а калибровочные поля определяются на звеньях. То есть каждому звену сопоставляется элемент U компактной группы Ли G ( не алгебры ). Следовательно, для моделирования КХД с группой Ли SU(3) на каждом звене определяется унитарная матрица 3×3 . Связи присваивается ориентация, при этом инверсный элемент соответствует той же ссылке с противоположной ориентацией. Каждому узлу присваивается значение (цветной 3-вектор, пространство, на котором действует фундаментальное представление SU(3)), биспинор (4-спинор Дирака), вектор n f и переменная Грассмана .
Таким образом, композиция элементов SU(3) связей вдоль пути (т.е. упорядоченное умножение их матриц) аппроксимирует упорядоченную по пути экспоненту (геометрический интеграл), из которой значения петли Вильсона могут быть рассчитаны для замкнутых путей.
Действие Янга -Миллса записывается на решетке с использованием петель Вильсона (названных в честь Кеннета Г. Уилсона ), так что предел формально воспроизводит исходное действие в непрерывном пространстве. [1] Учитывая точное неприводимое представление ρ группы G , решеточное действие Янга–Миллса, известное как действие Вильсона , представляет собой сумму по всем узлам решетки (вещественного компонента) следа по n звеньям e 1 , .. ., en в петле Вильсона,
Здесь χ — характер . Если ρ — действительное (или псевдовещественное ) представление, взятие вещественного компонента излишне, потому что даже если ориентация петли Вильсона переворачивается, ее вклад в действие остается неизменным.
Существует много возможных действий Вильсона, в зависимости от того, какие петли Вильсона используются в действии. Простейшее действие Вильсона использует только петлю Вильсона 1×1 и отличается от действия непрерывного действия «решеточными артефактами», пропорциональными небольшому шагу решетки . Используя более сложные петли Вильсона для построения «улучшенных действий», артефакты решетки можно уменьшить до пропорциональных , что делает вычисления более точными.
Такие величины, как массы частиц, рассчитываются стохастически с использованием таких методов, как метод Монте-Карло . Конфигурации калибровочного поля генерируются с вероятностями , пропорциональными , где – действие решетки и связано с шагом решетки . Процентное количество рассчитывается для каждой конфигурации и усредняется. Расчеты часто повторяются на разных шагах решетки , чтобы результат можно было экстраполировать на континуум .
Такие вычисления часто требуют чрезвычайно больших вычислительных затрат и могут потребовать использования самых мощных доступных суперкомпьютеров . Для уменьшения вычислительной нагрузки можно использовать так называемое закаленное приближение , в котором фермионные поля рассматриваются как нединамические «замороженные» переменные. Хотя это было обычным явлением в ранних расчетах КХД на решетке, теперь «динамические» фермионы являются стандартными. [3] В этом моделировании обычно используются алгоритмы, основанные на молекулярной динамике или алгоритмах микроканонического ансамбля . [4] [5]
Результаты расчетов решеточной КХД показывают, например, что в мезоне важны не только частицы (кварки и антикварки), но и « трубки потока » глюонных полей. [ нужна цитата ]
Калибровочная теория решетки также важна для изучения квантовой тривиальности с помощью ренормгруппы реального пространства . [6] Самая важная информация в потоке RG — это так называемые фиксированные точки .
Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором фиксированных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, теория называется тривиальной или невзаимодействующей. При изучении решеточных теорий Хиггса появляются многочисленные неподвижные точки, но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом. [7]
Тривиальность еще предстоит строго доказать, но расчеты на решетке предоставили убедительные доказательства этого. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для определения или даже предсказания таких параметров, как масса бозона Хиггса .
Первоначально разрешимые двумерные решеточные калибровочные теории уже были представлены в 1971 году как модели с интересными статистическими свойствами теоретиком Францем Вегнером , работавшим в области фазовых переходов . [8]
Когда в действии появляются только петли Вильсона 1 × 1, можно показать, что калибровочная теория решетки в точности двойственна моделям спиновой пены . [9]
