Теория множеств Морса–Келли

Система математической теории множеств

В основах математики теория множеств Морса–Келли ( MK ), теория множеств Келли–Морса ( KM ), теория множеств Морса–Тарского ( MT ), теория множеств Куайна–Морса ( QM ) или система Куайна и Морса является аксиоматической теорией множеств первого порядка , которая тесно связана с теорией множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (NBG). В то время как теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя ограничивает связанные переменные в схематической формуле, появляющейся в схеме аксиом Class Comprehension , диапазоном только множеств, теория множеств Морса–Келли позволяет этим связанным переменным диапазоном как надлежащих классов , так и множеств, как впервые было предложено Куайном в 1940 году для его системы ML .

Теория множеств Морса–Келли названа в честь математиков Джона Л. Келли и Энтони Морзе и была впервые изложена Вангом (1949) и позднее в приложении к учебнику Келли «Общая топология» (1955), введению в топологию для выпускников . Келли сказал, что система в его книге является вариантом систем, созданных Торальфом Сколемом и Морзе. Собственная версия Морзе появилась позже в его книге «Теория множеств» (1965).

В то время как теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя является консервативным расширением теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC, канонической теории множеств) в том смысле, что утверждение на языке ZFC доказуемо в NBG тогда и только тогда, когда оно доказуемо в ZFC, теория множеств Морса–Келли является надлежащим расширением ZFC. В отличие от теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя, где аксиоматическая схема Class Comprehension может быть заменена конечным числом ее экземпляров, теория множеств Морса–Келли не может быть конечно аксиоматизирована.

Аксиомы и онтология МК

NBG и MK имеют общую онтологию . Вселенная дискурса состоит из классов . Классы, являющиеся членами других классов, называются множествами . Класс, который не является множеством, является собственным классом . Примитивные атомарные предложения включают членство или равенство.

За исключением Class Comprehension, следующие аксиомы такие же, как и для NBG , несущественные детали в сторону. Символические версии аксиом используют следующие устройства обозначений:

• Заглавные буквы, отличные от M , встречающиеся в Extensionality, Class Comprehension и Foundation, обозначают переменные, ранжирующиеся по классам. Строчная буква обозначает переменную, которая не может быть собственным классом , поскольку она появляется слева от ∈. Поскольку MK является односортной теорией, это соглашение об обозначениях является только мнемоническим .
• Монадический предикат , предполагаемое прочтение которого — «класс x является множеством», сокращается ${\displaystyle \ Mx,}$ ${\displaystyle \exists W(x\in W).}$
• Пустое множество определяется как ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \forall x(x\not \in \varnothing ).}$
• Класс V , универсальный класс , имеющий все возможные множества в качестве членов, определяется как V, который также является вселенной фон Неймана . ${\displaystyle \forall x(Mx\to x\in V).}$

Экстенсиональность : классы, имеющие одинаковые члены, являются одним и тем же классом.

${\displaystyle \forall X\,\forall Y\,(\forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y).}$

Множество и класс, имеющие одинаковое расширение, идентичны. Следовательно, MK не является двусортной теорией, несмотря на видимость обратного.

Основание : Каждый непустой класс A не пересекается покрайней мере с одним из своих членов.

${\displaystyle \forall A[A\not =\varnothing \rightarrow \exists b(b\in A\land \forall c(c\in b\rightarrow c\not \in A))].}$

Понимание класса: Пусть φ( x ) будет любой формулой в языке MK, в которой x является свободной переменной , а Y не является свободной. φ( x ) может содержать параметры, которые являются либо множествами, либо собственными классами. Более того, квантифицированные переменные в φ( x ) могут охватывать все классы, а не только все множества; это единственное, чем MK отличается от NBG . Тогда существует класс , членами которого являются именно те множества x, что получается true. Формально, если Y не является свободной в φ: ${\displaystyle Y=\{x\mid \phi (x)\}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \forall W_{1}...W_{n}\exists Y\forall x[x\in Y\leftrightarrow (\phi (x,W_{1},...W_{n})\land Mx)].}$

Сопряжение : Для любых множеств x и y существует множество,членами которого являются в точности x и y . ${\displaystyle z=\{x,y\}}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,[(Mx\land My)\rightarrow \exists z\,(Mz\land \forall s\,[s\in z\leftrightarrow (s=x\,\lor \,s=y)])].}$

Сопряжение лицензирует неупорядоченную пару, в терминах которой упорядоченная пара , , может быть определена обычным способом, как . Имея упорядоченные пары на руках, Class Comprehension позволяет определять отношения и функции на множествах как множества упорядоченных пар, делая возможной следующую аксиому: ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \ \{\{x\},\{x,y\}\}}$

Ограничение размера : C является собственным классом тогда и только тогда, когда V может бытьв C один к одному .

${\displaystyle {\begin{array}{l}\forall C[\lnot MC\leftrightarrow \exists F(\forall x[Mx\rightarrow \exists s(s\in C\land \langle x,s\rangle \in F)]\land \\\qquad \forall x\forall y\forall s[(\langle x,s\rangle \in F\land \langle y,s\rangle \in F)\rightarrow x=y])].\end{array}}}$

Формальная версия этой аксиомы напоминает схему аксиомы замены и воплощает функцию класса F. В следующем разделе объясняется, почему ограничение размера сильнее обычных форм аксиомы выбора .

Power set : Пусть p — класс, членами которого являются все возможные подмножества множества a . Тогда p — множество.

${\displaystyle \forall a\,\forall p\,[(Ma\land \forall x\,[x\in p\leftrightarrow \forall y\,(y\in x\rightarrow y\in a)])\rightarrow Mp].}$

Объединение : Пусть— класс суммы множества a , а именно объединение всех членов a . Тогда s — множество. ${\displaystyle s=\bigcup a}$

${\displaystyle \forall a\,\forall s\,[(Ma\land \forall x\,[x\in s\leftrightarrow \exists y\,(x\in y\land y\in a)])\rightarrow Ms].}$

Бесконечность : существует индуктивное множество y , что означает, что (i) пустое множество является членом y ; (ii) если x является членом y , то и. ${\displaystyle x\cup \{x\}.}$

${\displaystyle \exists y[My\land \varnothing \in y\land \forall z(z\in y\rightarrow \exists x[x\in y\land \forall w(w\in x\leftrightarrow [w=z\lor w\in z])])].}$

Обратите внимание, что p и s в Power Set и Union квантифицированы универсально, а не экзистенциально, поскольку Class Comprehension достаточно для установления существования p и s . Power Set и Union служат только для установления того, что p и s не могут быть настоящими классами.

Вышеуказанные аксиомы являются общими с другими теориями множеств следующим образом:

• ZFC и NBG : Сопряжение, Набор мощности, Объединение, Бесконечность;
• NBG (и ZFC, если бы количественные переменные были ограничены наборами): Экстенсиональность, Основание;
• NBG : Ограничение размера.

Обсуждение

Monk (1980) и Rubin (1967) — тексты по теории множеств, построенные вокруг MK; онтология Rubin включает urelements . Эти авторы и Mendelson (1997: 287) утверждают, что MK делает то, что ожидается от теории множеств, будучи менее громоздким, чем ZFC и NBG .

MK строго сильнее ZFC и его консервативного расширения NBG, другой известной теории множеств с надлежащими классами . Фактически, NBG — и, следовательно, ZFC — можно доказать непротиворечивость в MK. Сила MK проистекает из его аксиоматической схемы Class Comprehension, которая является непредикативной , что означает, что φ( x ) может содержать квантифицированные переменные, ранжирующиеся по классам. Квантифицированные переменные в аксиоматической схеме NBG Class Comprehension ограничены множествами; следовательно, Class Comprehension в NBG должен быть предикативным . (Разделение по отношению к множествам по-прежнему непредикативно в NBG, потому что квантификаторы в φ( x ) могут ранжироваться по всем множествам.) Аксиоматическая схема NBG Class Comprehension может быть заменена конечным числом ее экземпляров; это невозможно в MK. MK непротиворечив относительно ZFC, дополненного аксиомой, утверждающей существование строго недоступных кардиналов .

Единственное преимущество аксиомы ограничения размера заключается в том, что она подразумевает аксиому глобального выбора . Ограничение размера не появляется у Рубина (1967), Монка (1980) или Мендельсона (1997). Вместо этого эти авторы ссылаются на обычную форму локальной аксиомы выбора и «аксиому замены», ^[1] утверждая, что если область определения функции класса является множеством, то ее область определения также является множеством. Замена может доказать все, что доказывает ограничение размера, за исключением доказательства некоторой формы аксиомы выбора .

Ограничение размера плюс то, что I является множеством (следовательно, вселенная непуста), делает доказуемым множество пустого множества; следовательно, нет необходимости в аксиоме пустого множества . Такая аксиома, конечно, может быть добавлена, и незначительные возмущения вышеуказанных аксиом потребовали бы этого добавления. Множество I не отождествляется с предельным ординалом , поскольку I может быть множеством, большим, чем В этом случае существование будет следовать из любой формы ограничения размера. ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega }$

Класс ординалов фон Неймана может быть вполне упорядоченным . Он не может быть множеством (под страхом парадокса); следовательно, этот класс является собственным классом, а все собственные классы имеют тот же размер, что и V. Следовательно, V также может быть вполне упорядоченным.

MK можно спутать с ZFC второго порядка, ZFC с логикой второго порядка (представляющей объекты второго порядка в языке множеств, а не предикатов) в качестве фоновой логики. Язык ZFC второго порядка похож на язык MK (хотя множество и класс, имеющие одинаковое расширение, больше не могут быть идентифицированы), и их синтаксические ресурсы для практического доказательства почти идентичны (и идентичны, если MK включает сильную форму ограничения размера). Но семантика ZFC второго порядка сильно отличается от семантики MK. Например, если MK непротиворечив, то он имеет счетную модель первого порядка, в то время как ZFC второго порядка не имеет счетных моделей.

Теория моделей

ZFC, NBG и MK имеют модели , описываемые в терминах V , вселенной фон Неймана множеств в ZFC . Пусть недостижимый кардинал κ является членом V . Также пусть Def( X ) обозначает Δ ₀ определяемые подмножества X (см. конструируемая вселенная ). Тогда:

• V _κ — модель ZFC ;
• Def( V _κ ) — это модель версии NBG Мендельсона , которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором;
• V _κ+1 , множество мощности V _κ , является моделью MK.

История

MK был впервые изложен в Wang (1949) и популяризирован в приложении к JL Kelley (1955) General Topology , используя аксиомы, приведенные в следующем разделе. Система Anthony Morse (1965) A Theory of Sets эквивалентна Kelley, но сформулирована на идиосинкразическом формальном языке, а не, как здесь, на стандартной логике первого порядка . Первой теорией множеств, включающей непредикативное понимание классов, была ML Куайна , которая была построена на New Foundations , а не на ZFC . ^[2] Непредикативное понимание классов было также предложено Mostowski (1951) и Lewis (1991).

Аксиомы КеллиОбщая топология

Аксиомы и определения в этом разделе, за исключением нескольких несущественных деталей, взяты из Приложения к Келли (1955). Пояснительные замечания ниже не принадлежат ему. Приложение устанавливает 181 теорему и определение и требует внимательного прочтения как сокращенного изложения аксиоматической теории множеств работающим математиком первого ранга. Келли вводил свои аксиомы постепенно, по мере необходимости, чтобы развить темы, перечисленные после каждого примера Develop ниже .

Нотации, которые появляются ниже и теперь хорошо известны, не определены. Особенности нотации Келли включают:

• Он не различал переменные, ранжирующиеся по классам, от переменных, ранжирующихся по множествам;
• область f и область определения f обозначают область определения и область определения функции f ; эта особенность была тщательно учтена ниже;
• Его примитивный логический язык включает в себя абстракции классов в форме «класс всех множеств x, удовлетворяющих A ( x )». ${\displaystyle \ \{x:A(x)\},}$

Определение: x является множеством (и, следовательно, не является собственным классом ), если для некоторого y . ${\displaystyle x\in y}$

I. Степень: Для каждого x и каждого y , x=y тогда и только тогда, когда для каждого z , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle z\in x}$ ${\displaystyle z\in y.}$

Идентично Экстенсиональности выше. I был бы идентичен аксиоме экстенсиональности в ZFC , за исключением того, что область действия I включает в себя как собственные классы, так и множества.

II. Классификация (схема): Аксиома получается, если в

Для каждого , тогда и только тогда, когда есть множество и ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \in \{\alpha :A\}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle B,}$

«α» и «β» заменяются переменными, « A » — формулой Æ, а « B » — формулой, полученной из Æ путем замены каждого вхождения переменной, заменившей α, на переменную, заменившую β, при условии , что переменная, заменившая β, не появляется связанной в A.

Разработать : Булеву алгебру множеств . Существование нулевого класса и универсального класса V.

III. Подмножества: Если x — множество, то существует множество y, такое что для каждого z , если , то ${\displaystyle z\subseteq x}$ ${\displaystyle z\in y.}$

Импорт III такой же, как и у Power Set выше. Набросок доказательства Power Set из III : для любого класса z , который является подклассом множества x , класс z является членом множества y , существование которого утверждает III . Следовательно, z является множеством.

Развернуть : V не является множеством. Существование синглетонов . Разделение доказуемо.

IV. Объединение: Если x и y — оба множества, то — множество. ${\displaystyle x\cup y}$

Импорт IV такой же, как и у Pairing выше. Набросок доказательства Pairing из IV : синглтон множества x является множеством, поскольку он является подклассом множества мощности x (двумя применениями III ). Тогда IV подразумевает, что является множеством, если x и y являются множествами. ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Разработать : неупорядоченные и упорядоченные пары , отношения , функции , домен , диапазон , композицию функций .

V. Подстановка: Если f — функция [класса], а домен f — множество, то диапазон f — множество.

Импорт V аналогичен импорту аксиоматической схемы замены в NBG и ZFC .

VI. Объединение: Если x — множество, то — множество. ${\displaystyle \bigcup x}$

Значение VI совпадает с значением Союза выше. IV и VI можно объединить в одну аксиому. ^[3]

Развивать : декартово произведение , инъекцию , сюръекцию , биекцию , теорию порядка .

VII. Регулярность: Если существует элемент y из x такой, что ${\displaystyle x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\cap y=\varnothing .}$

Значение VII соответствует значению Основы, указанному выше.

Развивать : порядковые числа , трансфинитную индукцию .

VIII. Бесконечность: существует множество y , такое, что и всякий раз, когда ${\displaystyle \varnothing \in y}$ ${\displaystyle x\cup \{x\}\in y}$ ${\displaystyle x\in y.}$

Эта аксиома или ее эквиваленты включены в ZFC и NBG. VIII утверждает безусловное существование двух множеств, бесконечного индуктивного множества y и нулевого множества, которое является множеством просто потому, что оно является членом y . До этого момента все, существование чего было доказано, было классом, и обсуждение Келли множеств было полностью гипотетическим. ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Развивать : натуральные числа , N — множество, аксиомы Пеано , целые числа , рациональные числа , действительные числа .

Определение: c является функцией выбора , если c является функцией и для каждого члена x области c . ${\displaystyle c(x)\in x}$

IX. Выбор: Существует функция выбора c , область определения которой равна . ${\displaystyle V-\{\varnothing \}.}$

IX очень похожа на аксиому глобального выбора , выведенную из ограничения размера выше.

Develop : Эквиваленты аксиомы выбора. Как и в случае с ZFC , разработка кардинальных чисел требует некоторой формы выбора.

Если область действия всех квантифицированных переменных в приведенных выше аксиомах ограничена множествами, то все аксиомы, кроме III и схемы IV, являются аксиомами ZFC. IV доказуема в ZFC. Следовательно, трактовка Келли MK ясно показывает, что все, что отличает MK от ZFC, — это переменные, ранжирующиеся по собственным классам , а также множествам и схеме классификации.

Примечания

1. См., например, Мендельсон (1997), с. 239, аксиома Р.
2. Locus citandum для ML — это издание 1951 года «Математической логики» Куайна . Однако, резюме ML, данное в Mendelson (1997), стр. 296, легче для понимания. Схема аксиом Мендельсона ML2 идентична приведенной выше схеме аксиом Class Comprehension.
3. Келли (1955), стр. 261, сноска †.

Ссылки

• Джон Л. Келли 1975 (1955) Общая топология . Springer. Раннее издание, Van Nostrand. Приложение, «Элементарная теория множеств».
• Леммон, Э. Дж. (1986) Введение в аксиоматическую теорию множеств . Рутледж и Киган Пол.
• Дэвид К. Льюис (1991) Части классов . Оксфорд: Бэзил Блэквелл.
• Мендельсон, Эллиотт (1987). Введение в математическую логику . Chapman & Hall. ISBN 0-534-06624-0.Окончательное изложение тесно связанной теории множеств NBG , за которым следует страница о MK. Сложнее, чем Монк или Рубин.
• Монк, Дж. Дональд (1980) Введение в теорию множеств . Кригер. Легче и менее основательно, чем Рубин.
• Морзе, А. П. (1965) Теория множеств . Academic Press.
• Мостовский, Анджей (1950), «Некоторые непредикативные определения в аксиоматической теории множеств» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124.
• Рубин, Джин Э. (1967) Теория множеств для математика . Сан-Франциско: Holden Day. Более подробно, чем у Монка; онтология включает праэлементы .
• Ван, Хао (1949), «Об аксиомах Цермело и фон Неймана для теории множеств», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 35 (3): 150–155, doi : 10.1073/pnas.35.3.150 , JSTOR  88430, MR  0029850, PMC  1062986 , PMID  16588874.

Внешние ссылки

• Скачать General Topology (1955) Джона Л. Келли в различных форматах. Приложение содержит аксиоматическую разработку МК Келли.

Из дискуссионной группы «Основы математики» (FOM):

• Аллен Хейзен о теории множеств с классами.
• Сомнения Джозефа Шоенфилда относительно МК.