Многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами
В геометрии четырехугольник — это четырехсторонний многоугольник , имеющий четыре ребра (стороны) и четыре угла (вершины). Это слово происходит от латинских слов « квадри» (вариант слова «четыре») и « latus» , что означает «сторона». Его также называют тетрагоном , производным от греческого слова «тетра», означающего «четыре», и «гона», означающего «угол» или «угол», по аналогии с другими многоугольниками (например, пятиугольником ). Поскольку «гон» означает «угол», его по аналогии называют четырехугольником или четырехугольником. Четырехугольник с вершинами , , и иногда обозначается как . [1]
Четырехугольники бывают простыми (не самопересекающимися) или сложными (самопересекающимися или скрещенными). Простые четырехугольники бывают выпуклыми или вогнутыми .
Внутренние углы простого (и плоского ) четырехугольника ABCD в сумме составляют 360 градусов дуги , то есть [1]
Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: S = ( n - 2) × 180 °. [2]
Все несамопересекающиеся четырехугольники замостили плоскость путем многократного вращения вокруг середин своих ребер. [3]
Простые четырехугольники
Любой четырехугольник, не являющийся самопересекающимся, является простым четырехугольником.
Выпуклый четырехугольник
В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.
Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна . Трапеция (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельны, а углы при основании равны по мере. Альтернативные определения - это четырехугольник с осью симметрии, делящей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
Параллелограмм : четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия заключаются в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам. К параллелограммам относятся ромбы (в том числе прямоугольники, называемые квадратами) и ромбоиды (в том числе прямоугольники, называемые продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбоиды, а значит, и все прямоугольники.
Ромб , ромб: [1] все четыре стороны одинаковой длины (равносторонние). Эквивалентное условие состоит в том, что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неофициально: «передвинутый квадрат» (но строго включая и квадрат).
Ромбовидный : параллелограмм, у которого смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы являются косыми (эквивалент, не имеющий прямых углов). Неофициально: «передвинутый продолговатый». Не все ссылки совпадают; некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом. [4]
Прямоугольник : все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентным условием является то, что диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и прямоугольники. Неофициально: «коробочка или продолговатая форма» (в том числе квадратная).
Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны имеют одинаковую длину (равносторонний), и все четыре угла являются прямыми. Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат — это параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (т. е. имеет четыре равные стороны и четыре равных угла).
Продолговатый: длиннее ширины или шире длины (т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом). [5]
Кайт : две пары соседних сторон имеют одинаковую длину. Это означает, что одна диагональ делит воздушный змей на равные треугольники , и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере. Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбы.
Касательный четырёхугольник : четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Циклический четырехугольник : четыре вершины лежат на описанной окружности . Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.
Правый кайт : воздушный змей с двумя противоположными прямыми углами. Это тип вписанного четырехугольника.
Гармонический четырехугольник : произведения длин противоположных сторон равны. Это тип вписанного четырехугольника.
Равный четырёхугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в вытянутом состоянии сходятся под углом 60°.
Четырехугольник Ватта — это четырехугольник, у которого пара противоположных сторон одинаковой длины. [6]
Четырехугольник четырехугольника — это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата. [7]
Диаметральный четырехугольник — это вписанный в окружность четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности. [8]
Четырёхугольник Ельмслева — четырёхугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах. [9]
Вогнутые четырехугольники
В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180°, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.
Дротик (или наконечник стрелы) представляет собой вогнутый четырехугольник с двусторонней симметрией, подобный воздушному змею, но у которого один внутренний угол является рефлекторным. См . Кайт .
Сложные четырехугольники
Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному: перекрестным четырехугольником , скрещенным четырехугольником , четырехугольником -бабочкой или четырехугольником с галстуком-бабочкой . В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от пересечения (два острых и два рефлекторных , все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720°. [10]
Скрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): [11] скрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как трапеция ).
Антипараллелограмм : перекрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как в параллелограмме ).
Перекрещенный прямоугольник : антипараллелограмм, стороны которого представляют собой две противоположные стороны и две диагонали прямоугольника , следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон.
Скрещенный квадрат : частный случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом.
Специальные сегменты линий
Две диагонали выпуклого четырехугольника — это отрезки , соединяющие противоположные вершины.
Две бимедианы выпуклого четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. [12] Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).
Четыре высоты выпуклого четырехугольника представляют собой перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны. [13]
Площадь выпуклого четырехугольника
Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .
Тригонометрические формулы
Площадь можно выразить в тригонометрических терминах как [14]
где длины диагоналей равны p и q , а угол между ними равен θ . [15] В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к тому, что θ равен 90° .
Площадь также можно выразить через бимедианы как [16]
где длины бимедиан равны m и n , а угол между ними равен φ .
Формула Бретшнейдера [17] [14] выражает площадь через стороны и два противоположных угла:
где стороны по порядку — a , b , c , d , где s — полупериметр, а A и C — два (фактически любые два) противоположных угла. Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, когда A + C = 180 ° .
Другая формула площади, выражающая стороны и углы, где угол C находится между сторонами b и c , а угол A — между сторонами a и d :
В случае вписанного четырехугольника последняя формула принимает вид
В параллелограмме, у которого обе пары противоположных сторон и углов равны, эта формула сводится к
В качестве альтернативы мы можем записать площадь через стороны и угол пересечения диагоналей θ , если θ не равен 90 ° : [18]
В случае параллелограмма последняя формула принимает вид
Другая формула площади, включающая стороны a , b , c , d : [16]
где x — расстояние между серединами диагоналей, а φ — угол между бимедианами.
Последняя формула тригонометрической площади, включающая стороны a , b , c , d и угол α (между a и b ): [19]
который также можно использовать для определения площади вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу α ), просто изменив первый знак + на - .
Нетригонометрические формулы
Следующие две формулы выражают площадь через стороны a , b , c и d , полупериметр s и диагонали p , q :
[20]
[21]
Первый сводится к формуле Брахмагупты в случае циклического четырехугольника, поскольку тогда pq = ac + bd .
Площадь также можно выразить через бимедианы m , n и диагонали p , q :
[22]
[23] : Thm. 7
Фактически, для определения площади достаточно любых трех из четырех значений m , n , p и q , поскольку в любом четырехугольнике эти четыре значения связаны соотношением [24] : p. 126 Соответствующие выражения: [25]
если заданы длины двух бимедиан и одной диагонали, и [25]
если заданы длины двух диагоналей и одной бимедианы.
Векторные формулы
Площадь четырехугольника ABCD можно вычислить с помощью векторов . Пусть векторы AC и BD образуют диагонали от A до C и от B до D. Тогда площадь четырехугольника равна
что составляет половину величины векторного произведения векторов AC и BD . В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AC как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x 1 , y 1 ) и BD как ( x 2 , y 2 ) , это можно переписать как:
Диагонали
Свойства диагоналей в четырехугольниках
В следующей таблице указано, делят ли диагонали в некоторых из самых основных четырехугольников пополам друг друга, перпендикулярны ли их диагонали и имеют ли их диагонали одинаковую длину. [26] Список применим к наиболее общим случаям и исключает именованные подмножества.
Примечание 1. Наиболее распространенные трапеции и равнобедренные трапеции не имеют перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (несходных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не являются какими-либо другими названными четырехугольниками.
Примечание 2: В воздушном змее одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (непохожих) воздушных змеев, у которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются какими-либо другими названными четырехугольниками).
Длины диагоналей
Длины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD можно вычислить, используя закон косинусов в каждом треугольнике, образованном одной диагональю и двумя сторонами четырехугольника. Таким образом
и
Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: [27]
и
Обобщения закона параллелограмма и теоремы Птолемея.
В любом выпуклом четырехугольнике ABCD сумма квадратов четырех сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четырехкратный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей. Таким образом
Немецкий математик Карл Антон Бретшнейдер вывел в 1842 году следующее обобщение теоремы Птолемея относительно произведения диагоналей в выпуклом четырехугольнике [28]
Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов четырехугольника. В вписанном четырёхугольнике , где A + C = 180°, оно сводится к pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.
Другие метрические отношения
Если X и Y — основания нормалей B и D к диагонали AC = p в выпуклом четырёхугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , то [29] : p. 14
В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA и диагонали пересекаются в точке E ,
где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE . [30]
Форма и размеры выпуклого четырехугольника полностью определяются длинами его последовательных сторон и одной диагонали между двумя заданными вершинами. Две диагонали p, q и длины четырех сторон a, b, c , d четырехугольника связаны [14] определителем Кэли-Менгера следующим образом:
В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы A и C пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы B и D пересекаются на диагонали AC . [31]
Бимедианы
Бимедианы четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Пересечение бимедиан является центроидом вершин четырехугольника. [14]
Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона . Он имеет следующие свойства:
Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. [32]
Диагонали параллелограмма Вариньона являются бимедианами исходного четырехугольника.
Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, совпадают и делятся пополам точкой пересечения. [24] : стр. 125
В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c, равна
где p и q — длины диагоналей. [33] Длина бимедианы, соединяющей середины сторон b и d , равна
Длины бимедиан также можно выразить через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольниках в приведенных выше формулах. Откуда [23]
и
Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах не являются двумя, которые соединяет бимедиана.
В выпуклом четырехугольнике между бимедианами и диагоналями существует следующая двойственная связь: [29]
с равенством только в том случае, если диагонали перпендикулярны и равны.
с равенством только для прямоугольника. [16]
Из формулы Бретшнейдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет условию
с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является вписанным или вырожденным, так что одна сторона равна сумме трех других (он сжался в отрезок , поэтому площадь равна нулю).
Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству [38]
Обозначив периметр как L , имеем [38] : с.114
с равенством только в случае квадрата.
Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет
для длин диагоналей p и q с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.
Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K и диагоналей AC = p , BD = q . Тогда [39]
с равенством только для квадрата.
Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K , тогда имеет место следующее неравенство: [40]
с равенством только для квадрата.
Диагонали и бимедианы
Следствием теоремы Эйлера о четырехугольниках является неравенство
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом .
В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы m, n и диагонали p, q связаны неравенством
причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны. [41] : Предложение 1. Это следует непосредственно из тождества четырехугольника
Стороны
Стороны a , b , c и d любого четырехугольника удовлетворяют [42] : с.228, №275.
и [42] : с.234, №466.
Максимальные и минимальные свойства
Среди всех четырехугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат . Это называется изопериметрической теоремой для четырехугольников . Это прямое следствие неравенства площадей [38] : с.114.
где K — площадь выпуклого четырехугольника с периметром L. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Теорема двойственности утверждает, что из всех четырехугольников заданной площади квадрат имеет наименьший периметр.
Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями наибольшую площадь имеет ортодиагональный четырехугольник . [38] : с.119 Это прямое следствие того факта, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет условию
где θ — угол между диагоналями p и q . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда θ = 90°.
Если P — внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то
Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин , является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. [44] : стр. 120
Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике.
Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» возникает из рассмотрения четырехугольника как пустого, но имеющего равные массы в вершинах. «Боковой центроид» возникает из-за того, что стороны имеют постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), возникает из-за того, что поверхность четырехугольника имеет постоянную плотность. Эти три пункта, как правило, не являются одним и тем же. [45]
«Центроид вершины» представляет собой пересечение двух бимедиан. [46] Как и в случае с любым многоугольником, координаты x и y центроида вершины являются средними арифметическими координатами x и y вершин.
«Центр тяжести площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G a , G b , G c , G d — центры тяжести треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда «центр тяжести площади» — это пересечение линий G a G c и G b G d . [47]
В общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогий центру описанной окружности и ортоцентру треугольника . Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O a , Ob b , O c , O d — центры описанных треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно; и обозначим через H a , H b , H c , H d ортоцентры в тех же треугольниках. Тогда пересечение прямых O a O c и O b O d называется квазицентром окружности , а пересечение прямых H a H c и H b H d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. [47] Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O лежат на одной прямой в этом порядке, и HG = 2 GO . [47]
Также можно определить квазинижнеточечный центр E как пересечение прямых E a E c и E b E d , где E a , E b , E c , E d — девятиточечные центры треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда E — середина OH . _ [47]
Другой замечательной линией в выпуклом четырехугольнике, не являющемся параллелограммом, является линия Ньютона , которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центроидом вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона ) — это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центроидом вершины. Линия примечательна тем, что она содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центроид (площади) в соотношении 3:1. [48]
Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и BC и AB и CD соответственно окружности (PAB), (PCD), (QAD) и (QBC) проходят через общую точку M , называемую микелевой точкой. точка. [49]
Для выпуклого четырехугольника ABCD , в котором E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω — окружность, проходящая через E и F , которая пересекает CB внутри в точках M и DA внутри . у Н. _ Пусть CA снова встретит ω в точке L , а DB снова встретит ω в точке K. Тогда справедливо: прямые NK и ML пересекаются в точке Р , расположенной на стороне АВ ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , расположенной на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD . [50] [51] [52]
Другие свойства выпуклых четырехугольников
Пусть на всех сторонах четырёхугольника нарисованы внешние квадраты. Отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, а) равны по длине и (б) перпендикулярны . Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника . Это называется теоремой Ван Обеля .
Для любого простого четырехугольника с заданными длинами ребер существует вписанный четырехугольник с такими же длинами ребер. [43]
Четыре меньших треугольника, образованных диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. [53]
Таксономия
Иерархическая систематика четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы — это частные случаи высших классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что слово «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент — трапеция). Инклюзивные определения используются повсюду.
Перекос четырехугольников
Неплоский четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для расчета двугранных углов на основе длин ребер и угла между двумя соседними краями были выведены для изучения свойств молекул, таких как циклобутан , которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. [54] Исторически термин «четырехугольник» также использовался для обозначения перекошенного четырехугольника. [55] Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образует (возможно, неправильный) тетраэдр , и наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, в котором удалена пара противоположных ребер .
Гомография . Любой четырехугольник можно преобразовать в другой четырехугольник с помощью проективного преобразования (гомографии).
Рекомендации
^ abc «Четырехугольники - квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм». Mathsisfun.com . Проверено 2 сентября 2020 г.
^ «Сумма углов многоугольника». Куемат . Проверено 22 июня 2022 г.
^ Мартин, Джордж Эдвард (1982), Геометрия преобразований, Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, Теорема 12.1, стр. 120, doi : 10.1007/978-1-4612-5680-9, ISBN0-387-90636-3, МР 0718119
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 года . Проверено 20 июня 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ «Калькулятор прямоугольников» . Cleavebooks.co.uk . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Аб Йозефссон, Мартин (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), стр. 505–508.
^ «Диагонали четырехугольников - перпендикуляр, биссектриса или оба» . Math.okstate.edu . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Рашид, М.А. и Аджибаде, А.О., «Два условия того, чтобы четырехугольник был циклическим, выраженные через длины его сторон», Int. Дж. Математика. Образование. наук. Технол. , том. 34 (2003) нет. 5, стр. 739–799.
^ Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, Комплексные числа от А до... Я , Биркхойзер, 2006, стр. 207–209.
^ Аб Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25.
^ Хен, Ларри (2011), «Новая формула, касающаяся диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 211–212.
^ Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.
^ HSM Coxeter и SL Greitzer, «Возвращение к геометрии», MAA, 1967, стр. 52–53.
^ «Матееску Константин, ответ на неравенство диагонали» .
^ К.В. Дурелл и А. Робсон, Расширенная тригонометрия , Дувр, 2003, стр. 267.
^ «Оригинальные задачи, предложенные Стэнли Рабиновичем, 1963–2005» (PDF) . Mathpropress.com . Проверено 1 марта 2022 г.
^ «EA Хосе Гарсиа, Две идентичности и их последствия, MATINF, 6 (2020) 5-11» . Matinf.upit.ro . Проверено 1 марта 2022 г.
^ abcd Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация базового неравенства , Математическая ассоциация Америки, стр. 68.
^ Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
^ Леонард Михай Джуджюк; Дао Тхань Оай; Кадир Алтынтас (2018). «Неравенство, связанное с длинами и площадью выпуклого четырехугольника» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 : 81–86.
^ ab «Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum (от тома 1, № 1 до тома 4, № 2, известного как «Эврика»)» (PDF) . Имомат.com . Проверено 1 марта 2022 г.
^ аб Питер, Томас, «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , Vol. 34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки. стр. 114, 119, 120, 261. ISBN .978-0-88385-348-1.
^ «Два центра масс четырехугольника». Sites.math.washington.edu . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Хонсбергер, Росс, Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. доц. Амер., 1995, стр. 35–41.
^ abcd Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
^ Джон Борис Миллер. «Центр тяжести четырехугольника» (PDF) . Austmd.org.au . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 198. ИСБН9780883858394.
^ Дэвид, Фрайверт (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные в циклический четырехугольник», The Mathematical Gazette , 103 (557): 233–239, doi : 10.1017/mag.2019.54, S2CID 233360695.
^ Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определяемых кругами Паскаля-Пойнтса», Журнал геометрии и графики , 23 : 5–27.
^ Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства окружности точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 509–526.
^ Барнетт, член парламента; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии . 106 (1): 215–227. Бибкод : 2006IJQC..106..215B. дои : 10.1002/qua.20807.
^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). «О некоторых результатах, полученных с помощью кватернионного анализа в отношении записи многоугольников «гош» на поверхностях второго порядка» (PDF) . Труды Королевской ирландской академии . 4 : 380–387.
Четырехугольники, образованные биссектрисами, проективная коллинеарность и интерактивная классификация четырехугольников с разрезанием узла
Определения и примеры четырехугольников, а также Определение и свойства четырехугольников из Mathopenref.
(Динамическое) иерархическое четырехугольное дерево в эскизах динамической геометрии
Расширенная классификация четырехугольников. Архивировано 30 декабря 2019 г. на Wayback Machine на домашней странице Dynamic Math Learning. Архивировано 25 августа 2018 г. на Wayback Machine.
Роль и функция иерархической классификации четырехугольников Майкла де Вильерса.