Тетракис шестигранник

Каталонский массив с 24 гранями

Двойное соединение усеченного октаэдра и тетракис-гексаэдра. Гравюра слева взята из Perspectiva Corporum Regularium (1568) Венцеля Ямнитцера .

Модель штампа и кристалла

Рисунок и кристаллическая модель варианта с тетраэдрической симметрией, называемого гексакис-тетраэдром ^[1]

В геометрии тетракис - гексаэдр (также известный как тетрагексаэдр , гексетраэдр , тетракис-куб и кискуб ^[2] ) — каталонское твердое тело . Его двойником является усеченный октаэдр , архимедово тело .

Его можно назвать гексаэдром дисдиакиса или гексакис - тетраэдром как двойником всеусеченного тетраэдра и барицентрическим подразделением тетраэдра. ^[3]

Декартовы координаты

Декартовы координаты 14 вершин тетракис-шестигранника с центром в начале координат - это точки

$${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {3}{2}}},0,0{\bigr )},\ {\bigl (}0,\pm {\tfrac {3}{2}},0{\bigr )},\ {\bigl (}0,0,\pm {\tfrac {3}{2}}{\bigr )},\ {\bigl (}{\pm 1},\pm 1,\pm 1{\bigr )}.}$$

Длина более коротких ребер этого тетракис-шестигранника равна 3/2, а длины более длинных — 2. Грани представляют собой острые равнобедренные треугольники. Больший из них равен , а два меньших равны . ${\displaystyle \arccos {\tfrac {1}{9}}\approx 83.62^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.19^{\circ }}$

Ортогональные проекции

Тетракис -шестигранник , двойственный усеченному октаэдру , имеет три положения симметрии: два расположены в вершинах и одно в середине ребра.

Использование

Природные ( кристаллические ) образования тетрагексаэдров наблюдаются в медных и флюоритовых системах.

Игроки иногда используют многогранные игральные кости в форме тетракис-шестигранника .

24-ячеечная структура , рассматриваемая в перспективной проекции «сначала вершина», имеет топологию поверхности тетракис-шестигранника и геометрические пропорции ромбического додекаэдра с ромбическими гранями, разделенными на два треугольника.

Тетракис-шестигранник является одним из простейших примеров в теории строительства . Рассмотрим риманово симметрическое пространство , ассоциированное с группой SL ₄ ( R ) . Его граница Титса имеет структуру сферического здания , квартиры которого представляют собой двумерные сферы. Разбиение этой сферы на сферические симплексы (камеры) можно получить, взяв радиальную проекцию тетракис-гексаэдра.

Симметрия

При тетраэдрической симметрии T _d , [3,3] (*332) треугольные грани представляют 24 фундаментальные области тетраэдрической симметрии. Этот многогранник можно построить из шести больших кругов на сфере. Его также можно увидеть в виде куба с квадратными гранями, триангулированными вершинами и центрами граней, и тетраэдра, грани которого разделены вершинами, средними ребрами и центральной точкой.

Ребра сферического тетракис-гексаэдра принадлежат шести большим кругам, которые соответствуют зеркальным плоскостям в тетраэдрической симметрии . Их можно сгруппировать в три пары ортогональных окружностей (каждая из которых обычно пересекается по одной координатной оси). На изображениях ниже эти квадратные осоэдры окрашены в красный, зеленый и синий цвета.

Размеры

Если мы обозначим длину ребра базового куба через a , высота каждой вершины пирамиды над кубом будет равна. Наклон каждой треугольной грани пирамиды по отношению к грани куба равен (последовательность A073000 в OEIS ). Один край равнобедренных треугольников имеет длину a , два других имеют длину , которая следует из применения теоремы Пифагора к высоте и длине основания. Это дает высоту в треугольнике ( OEIS : A204188 ). Его площадь равна , а внутренние углы равны и дополняющие друг друга ${\displaystyle {\tfrac {a}{4}}.}$ ${\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{2}}\approx 26.565^{\circ }}$ ${\displaystyle {\tfrac {3a}{4}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a^{2}}{8}},}$ ${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.1897^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }-2\arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 83.6206^{\circ }.}$

Объем пирамиды равен общему объему шести пирамид и куба в шестиграннике. ${\displaystyle {\tfrac {a^{3}}{12}};}$ ${\displaystyle {\tfrac {3a^{3}}{2}}.}$

Клитоп

Невыпуклый тетракис-шестигранник с равносторонними треугольными гранями.

Его можно рассматривать как куб с квадратными пирамидами, покрывающими каждую квадратную грань; то есть это Клитопа куба. Невыпуклая форма этой формы с гранями равностороннего треугольника имеет ту же геометрию поверхности, что и правильный октаэдр , и модель бумажного октаэдра можно повторно сложить в эту форму. ^[4] Эта форма тетракис-гексаэдра была проиллюстрирована Леонардо да Винчи в «Божественной пропорции » Луки Пачоли (1509). ^[5]

Эту невыпуклую форму тетракис-шестигранника можно сложить вдоль квадратных граней внутреннего куба как сетку четырехмерной кубической пирамиды .

Связанные многогранники и мозаики

Это многогранники в последовательности, определенной конфигурацией граней V4.6.2 n . Эта группа особенна тем, что имеет все четное количество ребер на вершину и образует биссектрисы, проходящие через многогранники и бесконечные прямые на плоскости, и продолжается в гиперболическую плоскость для любого n  ≥ 7.

При четном количестве граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно показать, чередуя два цвета, чтобы все соседние грани имели разные цвета.

Каждая грань в этих областях также соответствует фундаментальной области группы симметрии с порядками 2,3, n зеркалами в каждой вершине грани треугольника.

Смотрите также

• Триаконтаэдр Дисдякиса
• Додекаэдр Дисдякиса
• Кисромбилльная плитка
• Соединение трех октаэдров
• Дельтоидный икоситетраэдр , еще одно каталонское тело с 24 гранями.

Рекомендации

1. Hexakistetraeder на немецком языке, см., например, страницу Мейерса и страницу Брокгауза . Тот же рисунок появляется у Брокгауза и Ефрона как преломленный пирамидальный тетраэдр ( преломленный пирамидальный тетраэдр ).
2. Конвей, Симметрии вещей , стр.284.
3. Лангер, Джоэл К.; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математической жемчужины», Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi : 10.1007/s00032-010- 0124-5, МР  2781856
4. Рус, Джейкоб (2017), «Flowsnake Earth», в Сварте, Дэвид; Секен, Карло Х.; Фенивеси, Кристоф (ред.), Proceedings of Bridges 2017: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, стр. 237–244, ISBN 978-1-938664-22-9
5. Пачоли, Лука (1509), «Таблицы 11 и 12», Divina пропорциональное

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-Х.(Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, МР  0730208(Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и двойственные им, стр. 14, Тетракишегексаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, страница 284, шестигранник Тетракиса ) 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Тетракис шестигранник» («каталонское твердое тело») в MathWorld .
• Многогранники виртуальной реальности www.georgehart.com: Энциклопедия многогранников
  • Модель VRML
  • Обозначение Конвея для многогранников. Попробуйте: «dtO» или «kC».
• Тетракис шестигранник – интерактивная модель многогранника.
• Однородные многогранники