Тождества векторного исчисления

Математические тождества

Ниже приведены важные тождества, включающие производные и интегралы в векторном исчислении .

Операторная нотация

Градиент

Для функции в трехмерных декартовых координатных переменных градиент представляет собой векторное поле: ${\displaystyle f(x,y,z)}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

где i , j , k — стандартные единичные векторы для осей x , y , z . В более общем смысле, для функции n переменных , также называемой скалярным полем, градиент — это векторное поле : где — взаимно ортогональные единичные векторы. ${\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}$

Как следует из названия, градиент пропорционален наиболее быстрому (положительному) изменению функции и указывает в его направлении.

Для векторного поля , также называемого тензорным полем порядка 1, градиент или полная производная представляет собой матрицу Якоби размером n × n : ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}$$

Для тензорного поля любого порядка k градиент является тензорным полем порядка k + 1. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}$

Для тензорного поля порядка k > 0 тензорное поле порядка k + 1 определяется рекурсивным соотношением, где — произвольный постоянный вектор. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {T} }$ $${\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Дивергенция

В декартовых координатах дивергенция непрерывно дифференцируемого векторного поля является скалярной функцией: ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$ $${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$$

Как следует из названия, дивергенция — это (локальная) мера степени, в которой расходятся векторы в поле.

Дивергенция тензорного поля ненулевого порядка k записывается как , контракция тензорного поля порядка k − 1. В частности, дивергенция вектора является скаляром. Дивергенция тензорного поля более высокого порядка может быть найдена путем разложения тензорного поля на сумму внешних произведений и использования тождества, где — производная по направлению в направлении , умноженная на ее величину. В частности, для внешнего произведения двух векторов, ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}$$

Для тензорного поля порядка k > 1 тензорное поле порядка k − 1 определяется рекурсивным соотношением, где — произвольный постоянный вектор. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} }$ $${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Завиток

В декартовых координатах ротор представляет собой векторное поле: где i , j и k — единичные векторы для осей x , y и z соответственно. ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}$$

Как следует из названия, завихрение — это мера того, насколько близко расположенные векторы стремятся к круговому направлению.

В обозначениях Эйнштейна векторное поле имеет ротор, задаваемый формулой: где = ±1 или 0 — символ четности Леви-Чивиты . ${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}}$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Для тензорного поля порядка k > 1 тензорное поле порядка k определяется рекурсивным соотношением, где — произвольный постоянный вектор. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} }$ $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Тензорное поле порядка больше единицы можно разложить на сумму внешних произведений , а затем использовать следующее тождество: В частности, для внешнего произведения двух векторов, $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).}$$ $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}$$

Лапласиан

В декартовых координатах лапласиан функции равен ${\displaystyle f(x,y,z)}$ $${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$$

Лапласиан — это мера того, насколько сильно изменяется функция на небольшой сфере с центром в точке.

Когда Лапласиан равен 0, функция называется гармонической функцией . То есть, $${\displaystyle \Delta f=0.}$$

Для тензорного поля , , лапласиан обычно записывается как: и является тензорным полем того же порядка. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$

Для тензорного поля порядка k > 0 тензорное поле порядка k определяется рекурсивным соотношением, где — произвольный постоянный вектор. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} }$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Специальные обозначения

В нотации Фейнмана с нижним индексом , где обозначение ∇ _B означает , что нижний индексный градиент действует только на фактор B. ^{[1] [2]} $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

Менее общим, но похожим является обозначение Хестена с надточиями в геометрической алгебре . ^[3] Вышеуказанное тождество затем выражается как: где надточия определяют область действия векторной производной. Вектор с точками, в данном случае B , дифференцируется, в то время как (без точек) A сохраняется постоянным. $${\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

Полезность индексной нотации Фейнмана заключается в ее использовании при выводе векторных и тензорных производных тождеств, как в следующем примере, который использует алгебраическое тождество C ⋅( A × B ) = ( C × A )⋅ B :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Альтернативный метод заключается в использовании декартовых компонентов оператора del следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Другой метод вывода векторных и тензорных производных тождеств заключается в замене всех вхождений вектора в алгебраическом тождестве оператором del, при условии, что никакая переменная не встречается как внутри, так и вне области действия оператора или как внутри области действия одного оператора в термине, так и вне области действия другого оператора в том же термине (т. е. операторы должны быть вложенными). Справедливость этого правила следует из справедливости метода Фейнмана, поскольку всегда можно заменить индекс del, а затем немедленно отбросить индекс в соответствии с условием правила. Например, из тождества A ⋅( B × C ) = ( A × B )⋅ C мы можем вывести A ⋅(∇× C ) = ( A ×∇)⋅ C , но не ∇⋅( B × C ) = (∇× B )⋅ C , и из A ⋅( B × A ) = 0 мы не можем вывести A ⋅(∇× A ) = 0. С другой стороны, индексированный del действует на все вхождения индекса в члене, так что A ⋅(∇ _A × A ) = ∇ _A ⋅( A × A ) = ∇⋅( A × A ) = 0. Кроме того, из A ×( A × C ) = A ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ A ) C мы можем вывести ∇×(∇× C ) = ∇(∇⋅ C ) − ∇ ² C , но из ( A ψ )⋅( A φ ) = ( A ⋅ A )( ψφ ) мы не можем вывести (∇ ψ )⋅(∇ φ ) = ∇ ² ( ψφ ).

В оставшейся части статьи, где это уместно, будет использоваться индексная нотация Фейнмана.

Первые производные тождества

Для скалярных полей и векторных полей имеем следующие производные тождества. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Распределительные свойства

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

Ассоциативные свойства первой производной

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\psi &=\mathbf {A} \times (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Правило произведения для умножения на скаляр

Имеются следующие обобщения правила произведения в исчислении с одной переменной .

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \phi )&=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\textsf {T}}+\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(\psi \phi )&=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi \end{aligned}}}$

Правило частного для деления на скаляр

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Правило цепочки

Пусть будет однопеременной функцией от скаляров к скалярам, ​​параметризованной кривой, функцией от векторов к скалярам и векторным полем. У нас есть следующие особые случаи правила цепочки многих переменных . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$ ${\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (f\circ \phi )&=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi \\(\mathbf {r} \circ f)'&=(\mathbf {r} '\circ f)f'\\(\phi \circ \mathbf {r} )'&=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\(\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'&=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )\\\nabla (\phi \circ \mathbf {A} )&=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )\\\nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )\\\nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )\end{aligned}}}$

Для векторного преобразования имеем: ${\displaystyle \mathbf {x} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {x} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {x} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {x} )\right)}$

Здесь мы берем след скалярного произведения двух тензоров второго порядка, который соответствует произведению их матриц.

Правило скалярного произведения

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}$

где обозначает матрицу Якоби векторного поля . ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$

В качестве альтернативы, используя индексную нотацию Фейнмана,

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$

См. эти заметки. ^[4]

В частном случае, когда A = B ,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}$

Обобщение формулы скалярного произведения на римановы многообразия является определяющим свойством римановой связности , которая дифференцирует векторное поле, давая векторнозначную 1-форму .

Правило перекрестного произведения

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {B} \,-\,(\nabla \mathbf {B} )\times \mathbf {A} \\[5pt]\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\\[5pt]\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[5pt]\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} &\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что матрица антисимметрична. ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}$

Вторые производные тождества

Дивергенция ротора равна нулю

Дивергенция ротора любого непрерывно дважды дифференцируемого векторного поля A всегда равна нулю : $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

Это частный случай обращения в нуль квадрата внешней производной в цепочечном комплексе Де Рама .

Дивергенция градиента является лапласовой

Лапласиан скалярного поля представляет собой дивергенцию его градиента: Результатом является скалярная величина. $${\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$$

Дивергенция дивергенции не определена

Дивергенция векторного поля A является скаляром, а дивергенция скалярной величины не определена. Поэтому, $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

Завиток градиента равен нулю

Ротор градиента любого непрерывно дважды дифференцируемого скалярного поля ( т.е. класса дифференцируемости ) всегда является нулевым вектором : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C^{2}}$ $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}$$

Это можно легко доказать, выразив в декартовой системе координат теоремой Шварца (также называемой теоремой Клеро о равенстве смешанных парциальных чисел). Этот результат является частным случаем обращения в нуль квадрата внешней производной в цепочке Де Рама . ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

Локон локона

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }$$

Здесь ∇ ² — векторный лапласиан, действующий на векторное поле A.

Завиток расхождения не определен

Дивергенция векторного поля A является скаляром , а ротор скалярной величины не определен. Следовательно, $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

Ассоциативные свойства второй производной

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\psi &=\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \cdot (\nabla \mathbf {A} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} \\(\nabla \times \nabla )\psi &=\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} \\(\nabla \times \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \times (\nabla \mathbf {A} )=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

Диаграмма DCG: некоторые правила для вторых производных.

Мнемонический

Рисунок справа — мнемоническое обозначение некоторых из этих идентичностей. Используемые сокращения:

• D: расхождение,
• С: завиток,
• Г: градиент,
• L: Лапласиан,
• CC: завиток завитка.

Каждая стрелка помечена результатом тождества, а именно, результатом применения оператора в хвосте стрелки к оператору в ее голове. Синий круг в середине означает, что curl of curl существует, тогда как два других красных круга (пунктирные) означают, что DD и GG не существуют.

Резюме важных личностей

Дифференциация

Градиент

• ${\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

Дивергенция

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }$

Завиток

• ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }$^[5]

Оператор «вектор-точка-Del»

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\bigg ]}}$^[6]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {B} \cdot (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }$

Вторые производные

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi }$ ( скалярный Лапласиан )
• ${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ ( векторный Лапласиан )
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))}$( Векторное тождество Грина )

Третьи производные

• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$

Интеграция

Ниже фигурный символ ∂ означает « границу » поверхности или твердого тела.

Интегралы поверхность-объем

В следующих теоремах о поверхностно-объемном интеграле V обозначает трехмерный объем с соответствующей двумерной границей S = ∂ V ( замкнутая поверхность ):

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( теорема о расходимости )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV}$ ( Первая личность Грина )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS}$ ${\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV}$ ( Вторая личность Грина )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( интеграция по частям )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV}$ ( интеграция по частям )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV}$ ( интеграция по частям )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times \left(d\mathbf {S} \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\ =\ \iiint _{V}\mathbf {A} \times \left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\,dV+\iiint _{V}\mathbf {B} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {C} \,dV}$ ^[7]
• ${\displaystyle \iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {B} +\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} \right)\mathbf {A} }$ ^[8]

Криволинейные интегралы

В следующих интегральных теоремах о криволинейной поверхности S обозначает двумерную открытую поверхность с соответствующей одномерной границей C = ∂ S ( замкнутая кривая ):

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ ( Теорема Стокса )
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times d{\boldsymbol {\ell }})\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\right)\cdot d\mathbf {S} +\iint _{S}\left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\right)\times d\mathbf {S} }$ ^[9]
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }$ ^[10]

Интегрирование по замкнутой кривой по часовой стрелке представляет собой отрицательный интеграл того же линейного интеграла против часовой стрелки (аналогично перестановке пределов в определенном интеграле ):

${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.}$

Интегралы конечной точки-кривой

В следующих теоремах об интегральных конечно-кривых P обозначает одномерный открытый путь с граничными точками 0d , а интегрирование вдоль P выполняется от до : ${\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

• ${\displaystyle \psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$ ( теорема градиента )
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \nabla \right)\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(\nabla \mathbf {A} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}+\int _{P}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\times d{\boldsymbol {\ell }}}$

Тензорные интегралы

Тензорная форма векторной интегральной теоремы может быть получена путем замены вектора (или одного из них) тензором, при условии, что вектор сначала сделан так, чтобы он появлялся только как самый правый вектор каждого интегранта. Например, теорема Стокса становится

${\displaystyle \oint _{\partial S}d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {T} \ =\ \iint _{S}d\mathbf {S} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {T} \right)}$.

Скалярное поле также можно рассматривать как вектор и заменять его вектором или тензором. Например, первое тождество Грина становится

${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \cdot \nabla \!\mathbf {A} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +\nabla \!\psi \cdot \nabla \!\mathbf {A} \right)\,dV}$.

Аналогичные правила применяются к алгебраическим и дифференцирующим формулам. Для алгебраических формул можно также использовать самую левую позицию вектора.

Смотрите также

• Сравнение векторной алгебры и геометрической алгебры
• Del в цилиндрических и сферических координатах  – Математический оператор градиента в некоторых системах координат
• Правила дифференцирования  – Правила вычисления производных функций
• Тождества внешнего исчисления
• Внешняя производная  – Операция над дифференциальными формами
• Список ограничений
• Таблица производных  – Правила вычисления производных функцийPages displaying short descriptions of redirect targets
• Соотношения векторной алгебры  – Формулы векторов в трехмерном евклидовом пространстве

Ссылки

1. Фейнман, RP; Лейтон, RB; Сэндс, M. (1964). Лекции Фейнмана по физике . Addison-Wesley. Том II, стр. 27–4. ISBN 0-8053-9049-9.
2. Холмецкий, А. Л.; Миссевич, О. В. (2005). «Закон индукции Фарадея в теории относительности». стр. 4. arXiv : physics/0504223 .
3. Доран, К .; Ласенби, А. (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Cambridge University Press. стр. 169. ISBN 978-0-521-71595-9.
4. Келли, П. (2013). "Глава 1.14 Тензорное исчисление 1: Тензорные поля" (PDF) . Заметки лекций по механике, часть III: Основы механики сплошных сред. Оклендский университет . Получено 7 декабря 2017 г. .
5. "lecture15.pdf" (PDF) .
6. Куо, Кеннет К.; Ачарья, Рагини (2012). Приложения турбулентного и многофазного горения. Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 520. doi :10.1002/9781118127575.app1. ISBN 9781118127575. Архивировано из оригинала 19 апреля 2021 г. . Получено 19 апреля 2020 г. .
7. Пейдж и Адамс, стр. 65–66.
8. Wangsness, Roald K.; Cloud, Michael J. (1986). Электромагнитные поля (2-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-81186-2.
9. Пейдж, Ли; Адамс, Норман Илсли, младший (1940). Электродинамика. Нью-Йорк: D. Van Nostrand Company, Inc. стр. 44–45, уравнение (18-3).{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. Перес-Гарридо, Антонио (2024). «Восстановление редко используемых теорем векторного исчисления и их применение к проблемам электромагнетизма». American Journal of Physics . 92 (5): 354–359. arXiv : 2312.17268 . doi :10.1119/5.0182191.

Дальнейшее чтение

• Баланис, Константин А. (23 мая 1989 г.). Advanced Engineering Electromagnetics . ISBN 0-471-62194-3.
• Schey, HM (1997). Div Grad Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . WW Norton & Company. ISBN 0-393-96997-5.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.