Распределение с толстым хвостом

Распределение вероятностей с высокой асимметрией или эксцессом

Распределение с толстым хвостом — это распределение вероятностей , которое демонстрирует большую асимметрию или эксцесс по сравнению с нормальным распределением или экспоненциальным распределением . ^{[ когда определено как? ]} В обычном использовании термины «толстый хвост» и « толстый хвост» иногда являются синонимами; «толстохвостый» иногда также определяют как разновидность «толстохвостого». Различные исследовательские сообщества отдают предпочтение тому или иному в основном по историческим причинам и могут иметь различия в точном определении того или иного.

Распределения с толстыми хвостами эмпирически встречались в различных областях: физике , науках о Земле, экономике и политологии. К классу распределений с толстым хвостом относятся распределения, хвосты которых затухают по степенному закону , что является общепринятым ориентиром при их использовании в научной литературе. Однако распределения с толстым хвостом также включают в себя другие медленно затухающие распределения, такие как логарифмически нормальное . ^[1]

Крайний случай: степенное распределение.

Самый крайний случай «толстого хвоста» представляет собой распределение, хвост которого затухает по степенному закону .

Разнообразие распределений Коши для различных параметров местоположения и масштаба. Распределения Коши являются примерами распределений с толстым хвостом.

То есть, если дополнительное кумулятивное распределение случайной величины X можно выразить как ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$что касается ${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$ ${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

тогда говорят, что распределение имеет «толстый хвост», если . Для таких значений дисперсия и асимметрия хвоста математически не определены (особое свойство степенного распределения) и, следовательно, больше, чем любое нормальное или экспоненциальное распределение. В отношении значений утверждение о «толстом хвосте» более неоднозначно, поскольку в этом диапазоне параметров дисперсия, асимметрия и эксцесс могут быть конечными, в зависимости от точного значения и, следовательно, потенциально меньшими, чем нормальный или экспоненциальный хвост с высокой дисперсией. Эта двусмысленность часто приводит к разногласиям относительно того, что именно является распределением с толстым хвостом, а что нет. Поскольку момент бесконечен, поэтому для любого степенного распределения некоторые моменты не определены. ^[2] ${\displaystyle \alpha <2}$ ${\displaystyle \ \alpha >2\ ,}$ ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$ ${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$ ${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$

Примечание

Здесь тильда " " означает, что хвост распределения затухает по степенному закону; более технически, это относится к асимптотической эквивалентности функций , то есть их отношение асимптотически стремится к константе. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \sim }$

«Жирные хвосты» и искажения оценки риска

Бегство Леви от распределения Коши по сравнению с броуновским движением (ниже). Центральные события более распространены, а редкие события более экстремальны в распределении Коши, чем в броуновском движении. Одно событие может составлять 99% общей вариации, отсюда и «неопределенная дисперсия».

Бегство Леви от нормального распределения ( броуновское движение ).

По сравнению с распределениями с толстым хвостом в нормальном распределении события, которые отклоняются от среднего значения на пять или более стандартных отклонений («события 5 сигм»), имеют меньшую вероятность, а это означает, что в нормальном распределении экстремальные события менее вероятны, чем для «толстого» распределения. -хвостые распределения. Распределения с толстыми хвостами, такие как распределение Коши (и все другие стабильные распределения , за исключением нормального распределения ), имеют «неопределенную сигму» (более технически, дисперсия не определена).

Как следствие, когда данные возникают из основного распределения с толстым хвостом, включение в модель риска «нормального распределения» — и оценка сигмы на основе (обязательно) конечного размера выборки — приведет к занижению истинной степени сложности прогнозирования (и риск). Многие, особенно Бенуа Мандельброт, а также Нассим Талеб , отметили этот недостаток модели нормального распределения и предположили, что распределения с «толстым хвостом», такие как стабильное распределение, управляют доходностью активов, часто встречающейся в финансах . ^{[3] [4] [5]}

Модель Блэка- Шоулза ценообразования опционов основана на нормальном распределении. Если распределение на самом деле является толстым хвостом, то модель будет занижать цену вариантов , которые далеки от денег , поскольку событие 5- или 7-сигма гораздо более вероятно, чем предсказывает нормальное распределение. ^[6]

Приложения в экономике

В финансах часто встречаются «толстые хвосты», но они считаются нежелательными из-за дополнительного риска, который они подразумевают. Например, инвестиционная стратегия может иметь ожидаемую доходность через год, в пять раз превышающую ее стандартное отклонение. Если предположить нормальное распределение, вероятность его неудачи (отрицательной доходности) составляет менее одного на миллион; на практике оно может быть выше. Нормальные распределения, возникающие в финансах, обычно возникают потому, что факторы, влияющие на стоимость или цену актива, математически «хорошие», и центральная предельная теорема предусматривает такое распределение. Однако травмирующие события «реального мира» (такие как нефтяной шок, банкротство крупной корпорации или резкое изменение политической ситуации) обычно математически некорректны .

Исторические примеры включают крах Уолл-стрит в 1929 году , «Черный понедельник» (1987 года) , пузырь доткомов , финансовый кризис конца 2000-х годов , внезапный крах 2010 года , крах фондового рынка 2020 года и отмену привязки некоторых валют. ^[7]

«Жирные хвосты» в распределении рыночной доходности также имеют некоторые поведенческие причины (чрезмерный оптимизм или пессимизм инвесторов, приводящие к значительным движениям рынка) и поэтому изучаются в поведенческих финансах .

В маркетинге часто встречающееся известное правило 80-20 (например, «20% клиентов приносят 80% дохода») является проявлением распределения «толстого хвоста», лежащего в основе данных. ^[8]

«Толстые хвосты» также наблюдаются на товарных рынках или в индустрии звукозаписи , особенно на фонографических рынках . Функция плотности вероятности для логарифма еженедельных изменений рекордных продаж является сильно лептокуртической и характеризуется более узким и большим максимумом, а также более толстым хвостом, чем в случае нормального распределения. С другой стороны, у этого распределения есть только один «жирный хвост», связанный с увеличением продаж за счет раскрутки новых пластинок, попадающих в чарты. ^[9]

Смотрите также

• Хвостовой риск
• Теория черного лебедя
• Семь состояний случайности
• Распространение Талеба

Рекомендации

1. Бахат; Рабинович; Фрид (2005). Разрушение при растяжении в горных породах. Спрингер.
2. Томас, Микош (1999). Субэкспоненциальность регулярных вариаций и их приложения в теории вероятностей (PDF) . eurandom.tue.nl (Отчет). Центр практикумов в области стохастики, кафедра математики и информатики. Эйндховен, Нидерланды: Технологический университет Эйндховена .
3. Талеб, NN (2007). Черный лебедь . Рэндом Хаус и Пингвин. ISBN 9781400063512.
4. Мандельброт, Б. (1997). Фракталы и масштабирование в финансах: разрывы, концентрация, риск . Спрингер.
5. Мандельброт, Б. (1963). «Изменение некоторых спекулятивных цен» (PDF) . Журнал бизнеса . 36 (4): 394. дои : 10.1086/294632.
6. Стивен Р. Данбар, Ограничения модели Блэка-Шоулза, случайные процессы и продвинутые математические финансы, 2009 г. http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Limitations/limitations.xml. Архивировано в 2014 г. - 01-26 в Wayback Machine
7. Даш, Ян В. (2004). Количественные финансы и управление рисками: подход физика. Мировой научный паб.
8. Кох, Ричард, 1950- (2008). Принцип 80/20: секрет достижения большего с меньшими затратами (Пересмотренное и обновленное изд.). Нью-Йорк: Даблдей. ISBN 9780385528313. ОСЛК  429075591.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
9. Буда, А. (2012). «Существует ли поп-музыка? Иерархическая структура на фонографических рынках». Физика А. 391 (21): 5153–5159. doi :10.1016/j.physa.2012.05.057.

Внешние ссылки

• Примеры «толстых хвостов» в финансовых временных рядах
• Распределение «толстого хвоста» - Джон А. Робб