Топологическое тензорное произведение

Конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств

В математике обычно существует много различных способов построения топологического тензорного произведения двух топологических векторных пространств . Для гильбертовых пространств или ядерных пространств существует простая хорошо работающая теория тензорных произведений (см. Тензорное произведение гильбертовых пространств ), но для общих банаховых пространств или локально выпуклых топологических векторных пространств эта теория, как известно, тонка.

Мотивация

Одной из первоначальных мотиваций для топологических тензорных произведений является тот факт, что тензорные произведения пространств гладких вещественных функций на ведут себя не так, как ожидалось. Существует инъекция ${\displaystyle {\hat {\otimes }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

но это не изоморфизм . Например, функция не может быть выражена как конечная линейная комбинация гладких функций в ^[1] Мы получаем изоморфизм только после построения топологического тензорного произведения; т.е. ${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).}$

В этой статье сначала подробно описывается конструкция в случае банахова пространства. Пространство не является банаховым, и дальнейшие случаи обсуждаются в конце. ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

Тензорные произведения гильбертовых пространств

Алгебраическое тензорное произведение двух гильбертовых пространств A и B имеет естественную положительно определенную полуторалинейную форму (скалярное произведение), индуцированную полуторалинейными формами A и B. Так, в частности, оно имеет естественную положительно определенную квадратичную форму , а соответствующее пополнение представляет собой гильбертово пространство A ⊗ B , называемое (гильбертовым пространством) тензорным произведением A и B.

Если векторы a _i и b _j пробегают ортонормированные базисы A и B , то векторы a _i ⊗ b _j образуют ортонормированный базис A ⊗ B .

Перекрестные нормы и тензорные произведения банаховых пространств

В этом разделе мы будем использовать обозначения из (Ryan 2002). Очевидный способ определения тензорного произведения двух банаховых пространств и состоит в копировании метода для гильбертовых пространств: определить норму на алгебраическом тензорном произведении, затем взять пополнение в этой норме. Проблема в том, что существует более одного естественного способа определения нормы на тензорном произведении. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Если и являются банаховыми пространствами , то алгебраическое тензорное произведение и означает тензорное произведение и как векторных пространств и обозначается как Алгебраическое тензорное произведение состоит из всех конечных сумм , где — натуральное число, зависящее от и и для ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes B.}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ $${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle b_{i}\in B}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Когда и являются банаховыми пространствами, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$кросснорма (иликросс-норма )на алгебраическом тензорном произведенииявляется нормой, удовлетворяющей условиям ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ $${\displaystyle p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,}$$ $${\displaystyle p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.}$$

Здесь и — элементы топологических сопряженных пространств и соответственно , а — двойственная норма . Член ${\displaystyle a^{\prime }}$ ${\displaystyle b^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle p^{\prime }}$ ${\displaystyle p.}$Для определения выше также используется разумная кросснорма .

Существует перекрестная норма , называемая проективной перекрестной нормой, определяемая выражением , где ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},}$$ ${\displaystyle x\in A\otimes B.}$

Оказывается, что проективная перекрестная норма согласуется с наибольшей перекрестной нормой ((Ryan 2002), стр. 15-16).

Существует кросс-норма , называемая инъективной кросс-нормой, которая задается соотношением , где Здесь и обозначают топологические двойственные к и соответственно. ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}}$$ ${\displaystyle x\in A\otimes B.}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$

При этом следует отметить, что инъективная перекрестная норма является «наименьшей» лишь в некотором разумном смысле.

Пополнения алгебраического тензорного произведения в этих двух нормах называются проективным и инъективным тензорными произведениями и обозначаются как и ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.}$

Когда и являются гильбертовыми пространствами, норма, используемая для их тензорного произведения гильбертова пространства, не равна ни одной из этих норм в общем случае. Некоторые авторы обозначают ее как , поэтому тензорное произведение гильбертова пространства в разделе выше будет ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.}$

Аравномерная кросснорма — это присвоение каждой паребанаховых пространств разумной кросснормы натак, что если— произвольные банаховы пространства, то для всех (непрерывных линейных) операторовиоператорнепрерывен иЕслии— два банаховых пространства и— равномерная кросснорма, тоопределяет разумную кросснорму на алгебраическом тензорном произведенииНормированное линейное пространство, полученное путем оснащенияэтой нормой, обозначается какПополнение которогоявляется банаховым пространством, обозначается какЗначение нормы, заданнойнаи на завершенном тензорном произведениидля элементаиз(или), обозначается как ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X,W,Y,Z}$ ${\displaystyle S:X\to W}$ ${\displaystyle T:Y\to Z}$ ${\displaystyle S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z}$ ${\displaystyle \|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\otimes B.}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B.}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B,}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B}$ ${\displaystyle \alpha _{A,B}(x){\text{ or }}\alpha (x).}$

Говорят, что равномерная кросснорма ${\displaystyle \alpha }$конечно порождено , если для каждой парыбанаховых пространств и каждого ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$ $${\displaystyle \alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.}$$

Равномерная кросснорма — это ${\displaystyle \alpha }$коконечно порождено , если для каждой парыбанаховых пространств и каждого ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$ $${\displaystyle \alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.}$$

Атензорная норма определяется как конечно порожденная равномерная кросснорма. Проективная кросснормаи инъективная кросснорма,определенные выше, являются тензорными нормами и называются проективной тензорной нормой и инъективной тензорной нормой соответственно. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Если и — произвольные банаховы пространства, а — произвольная равномерная перекрестная норма, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).}$$

Тензорные произведения локально выпуклых топологических векторных пространств

Топологии локально выпуклых топологических векторных пространств и задаются семействами полунорм . Для каждого выбора полунормы и далее мы можем определить соответствующее семейство перекрестных норм на алгебраическом тензорном произведении и, выбрав одну перекрестную норму из каждого семейства, мы получим некоторые перекрестные нормы на определении топологии. В общем случае существует огромное количество способов сделать это. Два самых важных способа — взять все проективные перекрестные нормы или все инъективные перекрестные нормы. Пополнения полученных топологий на называются проективными и инъективными тензорными произведениями и обозначаются как и Существует естественное отображение из в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes B,}$ ${\displaystyle A\otimes B,}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$

Если или является ядерным пространством , то естественное отображение из в является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает, что если или является ядерным, то существует только одно разумное тензорное произведение и . Это свойство характеризует ядерные пространства. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Смотрите также

• Пространство Фреше  – локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Ядро Фредгольма  – тип ядра в банаховом пространствеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Индуктивное тензорное произведение  – бинарная операция на топологических векторных пространствахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Инъективное тензорное произведение
• Проективное тензорное произведение  – тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Проективная топология  – грубейшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Тензорное произведение гильбертовых пространств  – Пространство тензорного произведения, наделенное специальным внутренним произведением

Ссылки

1. «Каков пример гладкой функции в C∞(R2), которая не содержится в C∞(R)⊗C∞(R)».

• Райан, Р.А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств , Нью-Йорк: Springer.
• Гротендик, А. (1955), «Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires», Мемуары Американского математического общества , 16..