Периодические граничные условия

Периодические граничные условия ( PBC ) представляют собой набор граничных условий , которые часто выбираются для аппроксимации большой (бесконечной) системы с использованием малой части, называемой элементарной ячейкой . PBC часто используются в компьютерном моделировании и математических моделях . Топология двумерных PBC совпадает с топологией карты мира некоторых видеоигр; геометрия элементарной ячейки удовлетворяет идеальной двумерной мозаике, и когда объект проходит через одну сторону элементарной ячейки, он снова появляется на противоположной стороне с той же скоростью. В топологических терминах пространство, созданное двумерными PBC, можно рассматривать как отображаемое на тор ( компактификация ). Большие системы, аппроксимируемые PBC, состоят из бесконечного числа элементарных ячеек. В компьютерном моделировании одна из них является исходным блоком моделирования, а другие являются копиями, называемыми изображениями . Во время моделирования необходимо записывать и распространять только свойства исходного блока моделирования. Соглашение о минимальном изображении — это распространенная форма учета частиц PBC, в которой каждая отдельная частица в моделировании взаимодействует с ближайшим изображением остальных частиц в системе.

Один из примеров периодических граничных условий можно определить в соответствии с гладкими действительными функциями следующим образом: $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

{\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m}}}\phi (a_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m}}}\phi (b_{1},x_{2},...,x_{n}),

{\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{2}^{m}}}\phi (x_{1},a_{2},...,x_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{2}^{m}}}\phi (x_{1},b_{2},...,x_{n}),

...,

{\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{n}^{m}}}\phi (x_{1},x_{2},...,a_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{n}^{m}}}\phi (x_{1},x_{2},...,b_{n})

для всех m = 0, 1, 2, ... и для констант и . $a_{i}$ $b_{i}$

В моделировании молекулярной динамики и молекулярном моделировании Монте-Карло PBC обычно применяются для расчета свойств объемных газов, жидкостей, кристаллов или смесей. ^[1] Распространенное приложение использует PBC для моделирования сольватированных макромолекул в ванне с явным растворителем . Граничные условия Борна-фон Кармана являются периодическими граничными условиями для специальной системы.

В электромагнетизме PBC может применяться для различных типов сеток с целью анализа электромагнитных свойств периодических структур. ^[2]

Требования и артефакты

Трехмерные PBC полезны для аппроксимации поведения макромасштабных систем газов, жидкостей и твердых тел. Трехмерные PBC также могут использоваться для моделирования плоских поверхностей, в этом случае двумерные PBC часто более подходят. Двумерные PBC для плоских поверхностей также называются граничными условиями плиты ; в этом случае PBC используются для двух декартовых координат (например, x и y), а третья координата (z) простирается до бесконечности.

PBC могут использоваться в сочетании с методами суммирования Эвальда (например, методом сетки частиц Эвальда) для расчета электростатических сил в системе. Однако PBC также вносят корреляционные артефакты, которые не учитывают трансляционную инвариантность системы, ^[3] и требуют ограничений на состав и размер блока моделирования.

При моделировании твердых систем поле деформации , возникающее из-за любой неоднородности в системе, будет искусственно усечено и изменено периодической границей. Аналогично, длина волны звука или ударных волн и фононов в системе ограничена размером ящика.

В симуляциях, содержащих ионные (кулоновские) взаимодействия, чистый электростатический заряд системы должен быть равен нулю, чтобы избежать суммирования с бесконечным зарядом при применении PBC. В некоторых приложениях целесообразно получить нейтральность, добавляя ионы, такие как натрий или хлорид (в качестве противоионов ) в соответствующих количествах, если интересующие молекулы заряжены. Иногда ионы даже добавляются в систему, в которой интересующие молекулы нейтральны, чтобы приблизиться к ионной силе раствора, в котором молекулы естественным образом появляются. Поддержание соглашения о минимальном изображении также обычно требует, чтобы сферический радиус отсечки для несвязанных сил был не более половины длины одной стороны кубического ящика. Даже в электростатически нейтральных системах чистый дипольный момент элементарной ячейки может вносить ложную объемную поверхностную энергию, эквивалентную пироэлектричеству в полярных кристаллах . Другим следствием применения PBC к смоделированной системе, такой как жидкость или твердое тело, является то, что эта гипотетическая система не имеет контакта со своим «окружением», поскольку она бесконечна во всех направлениях. Поэтому дальнодействующие энергетические вклады, такие как электростатический потенциал , и, в более широком смысле, энергии заряженных частиц, таких как электроны, не выравниваются автоматически с экспериментальными энергетическими шкалами. Математически эта неоднозначность уровня энергии соответствует сумме электростатической энергии, зависящей от поверхностного члена, который должен быть установлен пользователем метода. ^[4]

Размер блока моделирования также должен быть достаточно большим, чтобы предотвратить возникновение периодических артефактов из-за нефизической топологии моделирования. В слишком маленьком блоке макромолекула может взаимодействовать со своим собственным изображением в соседнем блоке, что функционально эквивалентно взаимодействию «головы» молекулы с ее собственным «хвостом». Это создает крайне нефизическую динамику в большинстве макромолекул, хотя величина последствий и, следовательно, соответствующий размер блока относительно размера макромолекул зависят от предполагаемой длины моделирования, желаемой точности и ожидаемой динамики. Например, моделирование сворачивания белка , которое начинается с нативного состояния , может претерпевать меньшие колебания и, следовательно, может не требовать такого большого блока, как моделирование, которое начинается со случайной конформации катушки . Однако влияние сольватных оболочек на наблюдаемую динамику — в моделировании или в эксперименте — не очень хорошо изучено. Распространенная рекомендация, основанная на моделировании ДНК , заключается в том, чтобы вокруг интересующих молекул в каждом измерении требовалось не менее 1 нм растворителя. ^[5]

Практическая реализация: непрерывность и минимальная условность изображения

Объект, прошедший через одну грань симуляционного ящика, должен вернуться через противоположную грань — или это должно сделать его изображение. Очевидно, необходимо принять стратегическое решение: (A) «засовывать» частицы обратно в симуляционный ящик, когда они его покидают, или (B) позволять им продолжать движение (но вычислять взаимодействия с ближайшими изображениями)? Решение не влияет на ход симуляции, но если пользователя интересуют средние смещения, длины диффузии и т. д., второй вариант предпочтительнее.

(A) Ограничить координаты частиц областью моделирования

Для реализации алгоритма PBC необходимо выполнить как минимум два шага.

Ограничение координат — простая операция, которую можно описать с помощью следующего кода, где x_size — длина ящика в одном направлении (предполагая, что ячейка ортогональна и центрирована в начале координат), а x — положение частицы в том же направлении:

если ( periodic_x ) тогда  если ( x < - x_size * 0.5 ) x = x + x_size если ( x >= x_size * 0.5 ) x = x - x_size конец если

Расстояние и вектор между объектами должны подчиняться критерию минимального изображения. Это можно реализовать в соответствии со следующим кодом (в случае одномерной системы, где dx — вектор направления расстояния от объекта i до объекта j):

если ( periodic_x ) тогда dx = x ( j ) - x ( i ) если ( dx > x_size * 0,5 ) dx = dx - x_size если ( dx <= - x_size * 0,5 ) dx = dx + x_size конец если

Для трехмерных ПБК обе операции следует повторить во всех трех измерениях.

Эти операции можно записать в гораздо более компактной форме для орторомбических ячеек, если начало координат сместить в угол ящика. Тогда мы имеем, в одном измерении, для позиций и расстояний соответственно:

! После обновления x(i) без учета PBC: x ( i ) = x ( i ) - floor ( x ( i ) / x_size ) * x_size ! Для прямоугольника с началом координат в нижней левой вершине ! Работает для x, лежащих в любом изображении. dx = x ( j ) - x ( i ) dx = dx - nint ( dx / x_size ) * x_size

(B) Не ограничивайте координаты частиц

Если предположить, что используется орторомбический блок моделирования с началом координат в нижнем левом переднем углу, то минимальное условное изображение для расчета эффективных расстояний частиц можно вычислить с помощью функции «ближайшего целого числа», как показано выше, здесь это код C/C++:

x_rsize = 1.0 / x_size ; // вычислять только тогда, когда размер поля установлен или изменен     dx = x [ j ] - x [ i ]; dx -= x_size * nearint ( dx * x_rsize );

Самый быстрый способ выполнения этой операции зависит от архитектуры процессора. Если знак dx не имеет значения, то метод

dx = fabs ( dx ); dx -= static_cast < int > ( dx * x_rsize + 0.5 ) * x_size ;

был признан самым быстрым на процессорах x86-64 в 2013 году. ^[6]

Для неорторомбических ячеек ситуация более сложная. ^[7]

При моделировании ионных систем могут потребоваться более сложные операции для обработки дальнодействующих кулоновских взаимодействий, охватывающих несколько изображений ящиков, например, суммирование Эвальда .

Геометрия элементарной ячейки

PBC требует, чтобы элементарная ячейка имела форму, которая идеально впишется в трехмерный кристалл. Таким образом, сферическая или эллиптическая капля не может быть использована. Куб или прямоугольная призма являются наиболее интуитивным и распространенным выбором, но могут быть вычислительно дорогими из-за ненужного количества молекул растворителя в углах, удаленных от центральных макромолекул. Распространенной альтернативой, требующей меньшего объема, является усеченный октаэдр .

Общее измерение

Для моделирования в 2D и 3D пространстве чаще всего используется кубическое периодическое граничное условие, поскольку оно проще всего кодируется. Однако при компьютерном моделировании систем высокой размерности гиперкубическое периодическое граничное условие может быть менее эффективным, поскольку углы занимают большую часть пространства. В общем измерении элементарную ячейку можно рассматривать как ячейку Вигнера-Зейтца определенной упаковки решетки . ^[8] Например, гиперкубическое периодическое граничное условие соответствует упаковке гиперкубической решетки. Тогда предпочтительно выбирать элементарную ячейку, которая соответствует плотной упаковке этого измерения. В 4D это решетка D4 ; и решетка E8 в 8-мерном. Реализация этих периодических граничных условий высокой размерности эквивалентна подходам кода коррекции ошибок в теории информации . ^[9]

Сохранившиеся объекты недвижимости

При периодических граничных условиях линейный импульс системы сохраняется, а угловой момент — нет. Традиционное объяснение этого факта основано на теореме Нётер , которая гласит, что сохранение углового момента следует из вращательной инвариантности лагранжиана . Однако было показано, что этот подход не является последовательным: он не может объяснить отсутствие сохранения углового момента отдельной частицы, движущейся в периодической ячейке. ^[10] Лагранжиан частицы постоянен и, следовательно, вращательно инвариантен, в то время как угловой момент частицы не сохраняется. Это противоречие вызвано тем, что теорема Нётер обычно формулируется для замкнутых систем. Периодическая ячейка обменивается массовым импульсом, угловым моментом и энергией с соседними ячейками.

При применении к микроканоническому ансамблю (постоянное число частиц, объем и энергия, сокращенно NVE), использование PBC вместо отражающих стенок немного изменяет выборку моделирования из-за сохранения полного линейного импульса и положения центра масс; этот ансамбль был назван «ансамблем молекулярной динамики » ^[11] или ансамблем NVEPG. ^[12] Эти дополнительные сохраняющиеся величины вносят незначительные артефакты, связанные со статистическо-механическим определением температуры , отклонением распределений скоростей от распределения Больцмана и нарушениями равнораспределения для систем, содержащих частицы с неоднородными массами . Простейшим из этих эффектов является то, что система из N частиц будет вести себя в ансамбле молекулярной динамики как система из N-1 частиц. Эти артефакты имеют количественные последствия для небольших игрушечных систем, содержащих только идеально твердые частицы; они не были подробно изучены для стандартных биомолекулярных симуляций, но, учитывая размер таких систем, эффекты будут в значительной степени пренебрежимо малы. ^[12]

Смотрите также

На Викискладе есть медиафайлы по теме Периодические граничные условия .

Примечания

^ Френкель, Даан; Смит, Беренд (2002). Понимание молекулярного моделирования: от алгоритмов к приложениям (2-е изд.). Сан-Диего. ISBN 978-0-08-051998-2. OCLC 173686073.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Mai, W.; Li, P.; Bao, H.; Li, X.; Jiang, L.; Hu, J.; Werner, DH (апрель 2019 г.). «DGTD на основе призмы с упрощенным периодическим граничным условием для анализа FSS с симметрией D2n в прямоугольной решетке при нормальном падении». IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters . 18 (4): 771–775. Bibcode : 2019IAWPL..18..771M. doi : 10.1109/LAWP.2019.2902340. ISSN 1536-1225. S2CID 106411612.
^ Cheatham, TE; Miller, JH; Fox, T.; Darden, PA; Kollman, PA (1995). «Моделирование молекулярной динамики сольватированных биомолекулярных систем: метод сетки частиц Эвальда приводит к стабильным траекториям ДНК, РНК и белков». Журнал Американского химического общества . 117 (14): 4193–4194. doi :10.1021/ja00119a045.
^ Клейнман, Леонард (1981). «Комментарий к среднему потенциалу твердого тела Вигнера». Physical Review B. 24 ( 12): 7412–7414. Bibcode : 1981PhRvB..24.7412K. doi : 10.1103/PhysRevB.24.7412. ISSN 0163-1829.
^ de Souza, ON; Ornstein, RL (1997). "Влияние размера периодического ящика на моделирование водной молекулярной динамики додекамера ДНК с использованием метода Эвальда с сеткой частиц". Biophys J . 72 (6): 2395–2397. Bibcode :1997BpJ....72.2395D. doi :10.1016/s0006-3495(97)78884-2. PMC 1184438 . PMID 9168016.
^ Deiters, Ulrich K. (2013). «Эффективное кодирование минимального соглашения об изображении». Z. Phys. Chem . 227 (2–3): 345–352. doi :10.1524/zpch.2013.0311. S2CID 100761423.
^ Минимальное соглашение об изображении в некубических ячейках моделирования
^ Бертье, Людовик; Шарбонно, Патрик; Кунду, Джойджит (31 августа 2020 г.). «Конечномерный остаток спинодальной критичности над динамическим стеклованием». Physical Review Letters . 125 (10): 108001. arXiv : 1912.11510 . Bibcode : 2020PhRvL.125j8001B. doi : 10.1103/PhysRevLett.125.108001. PMID 32955295. S2CID 221562320.
^ Conway, J.; Sloane, N. (март 1982). «Быстрое квантование и декодирование и алгоритмы для решетчатых квантователей и кодов». IEEE Transactions on Information Theory . 28 (2): 227–232. CiteSeerX 10.1.1.392.249 . doi :10.1109/TIT.1982.1056484.
^ Кузькин, В.А. (2015). «О балансе момента импульса в системах частиц с периодическими граничными условиями». ЗАММ . 95 (11): 1290–1295. arXiv : 1312.7008 . Бибкод :2015ЗаММ...95.1290К. дои :10.1002/zamm.201400045. S2CID 54880840.
^ Erpenbeck, JJ; Wood, WW (1977). Berne, BJ (ред.). Статистическая механика, часть B: Процессы, зависящие от времени . Современная теоретическая химия. Т. 6. Нью-Йорк: Пленум. С. 1–40. ISBN 0-306-33506-9.
^ ab Shirts, RB; Burt, SR; Johnson, AM (2006). "Периодическое граничное условие вызвало нарушение принципа равнораспределения и другие кинетические эффекты конечного размера образца в моделировании классической молекулярной динамики твердых сфер". J Chem Phys . 125 (16): 164102. Bibcode : 2006JChPh.125p4102S. doi : 10.1063/1.2359432. PMID 17092058.

Ссылки

Рапапорт, Д.К. (2004). Искусство моделирования молекулярной динамики (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-82568-7.См. особенно стр. 15–20.
Шлик, Т. (2002). Молекулярное моделирование и имитация: междисциплинарное руководство . Междисциплинарная прикладная математика. Том 21. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-95404-X.См. особенно стр. 272–6.