Бессмысленная топология

В математике топология без точек , также называемая топологией без точек (или топологией без точек ) и теорией локалей , представляет собой подход к топологии , который избегает упоминания точек , и в котором решетки открытых множеств являются примитивными понятиями. ^[1] При таком подходе становится возможным строить топологически интересные пространства из чисто алгебраических данных. ^[2]

История

Первые подходы к топологии были геометрическими, где кто-то начинал с евклидова пространства и склеивал вещи вместе. Но работа Маршалла Стоуна о двойственности Стоуна в 1930-х годах показала, что топологию можно рассматривать с алгебраической точки зрения (теоретической решетки). Помимо Стоуна, Генри Уоллман был первым человеком, который использовал эту идею. Другие продолжили этот путь, пока Чарльз Эхресманн и его ученик Жан Бенабу (и одновременно другие) не сделали следующий фундаментальный шаг в конце пятидесятых. Их идеи возникли из изучения «топологических» и «дифференцируемых» категорий . ^[2]

Подход Эресмана включал использование категории, объектами которой были полные решетки , удовлетворяющие дистрибутивному закону, а морфизмами — отображения, сохраняющие конечные пересечения и произвольные соединения . Он называл такие решетки «локальными решетками»; сегодня их называют «фреймами», чтобы избежать двусмысленности с другими понятиями в теории решеток . ^[3]

Теория фреймов и локалей в современном смысле была развита в течение следующих десятилетий ( Джон Исбелл , Питер Джонстон , Гарольд Симмонс, Бернхард Банашевски, Алеш Пултр, Тилль Плеве, Япи Вермейлен, Стив Викерс ) в живую ветвь топологии, с применением в различных областях, в частности, также в теоретической информатике. Более подробную информацию об истории теории локалей см. в обзоре Джонстона. ^[4]

Интуиция

Традиционно топологическое пространство состоит из множества точек вместе с топологией , системой подмножеств, называемых открытыми множествами , которые с операциями объединения (как join ) и пересечения (как meet ) образуют решетку с определенными свойствами. В частности, объединение любого семейства открытых множеств снова является открытым множеством, а пересечение конечного числа открытых множеств снова открыто. В топологии без точек мы принимаем эти свойства решетки как фундаментальные, не требуя, чтобы элементы решетки были множествами точек некоторого базового пространства и чтобы операция решетки была пересечением и объединением. Скорее, топология без точек основана на концепции «реалистичного пятна» вместо точки без протяженности. Эти «пятна» могут быть соединены (символ ), подобно объединению, и у нас также есть операция встречи для пятен (символ ), подобно пересечению. Используя эти две операции, пятна образуют полную решетку . Если пятно встречается с соединением других, оно должно встретиться с некоторыми из составляющих, что, грубо говоря, приводит к распределительному закону ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \land }$

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

где и являются точками, а семейство индексов может быть сколь угодно большим. Этому закону распределения удовлетворяет также решетка открытых множеств топологического пространства. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$

Если и являются топологическими пространствами с решетками открытых множеств, обозначаемыми соответственно и , а является непрерывным отображением , то, поскольку прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт, мы получаем отображение решеток в противоположном направлении: . Такие «противоположные» решеточные отображения, таким образом, служат надлежащим обобщением непрерывных отображений в бесточечной постановке. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega (X)}$ ${\displaystyle \Omega (Y)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$

Формальные определения

Основная концепция — это концепция фрейма , полной решетки, удовлетворяющей общему дистрибутивному закону выше. Гомоморфизмы фреймов — это отображения между фреймами, которые уважают все соединения (в частности, наименьший элемент решетки) и конечные пересечения (в частности, наибольший элемент решетки). Фреймы вместе с гомоморфизмами фреймов образуют категорию .

Противоположная категория категории фреймов известна как категория локалей . Таким образом, локаль — это не что иное, как фрейм; если мы рассматриваем ее как фрейм, мы будем писать ее как . Морфизм локали из локали в локаль задается гомоморфизмом фрейма . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle O(Y)\to O(X)}$

Каждое топологическое пространство порождает фрейм открытых множеств и, таким образом, локаль. Локаль называется пространственной, если она изоморфна (в категории локалей) локали, возникающей из топологического пространства таким образом. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$

Примеры локалей

• Как упоминалось выше, каждое топологическое пространство порождает систему открытых множеств и, таким образом, локаль, по определению пространственную. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$
• Учитывая топологическое пространство , мы также можем рассмотреть набор его регулярных открытых множеств . Это фрейм, использующий как join внутреннюю часть замыкания объединения, и как meet пересечение. Таким образом, мы получаем другую локаль, связанную с . Эта локаль обычно не будет пространственной. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Для каждого и каждого используйте символ и постройте свободный фрейм на этих символах по модулю соотношений ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{n,a}}$

${\displaystyle \bigvee _{a\in \mathbb {R} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle U_{n,a}\land U_{n,b}=\bot \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N} {\text{ and all }}a,b\in \mathbb {R} {\text{ with }}a\neq b}$

${\displaystyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}a\in \mathbb {R} }$

(где обозначает наибольший элемент и наименьший элемент фрейма.) Полученная локаль известна как «локаль сюръективных функций ». Отношения разработаны так, чтобы предложить интерпретацию как множества всех тех сюръективных функций с . Конечно, таких сюръективных функций не существует , и это не пространственная локаль. ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{n,a}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(n)=a}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$

Теория локалей

Мы видели, что у нас есть функтор из категории топологических пространств и непрерывных отображений в категорию локалей. Если мы ограничим этот функтор полной подкатегорией трезвых пространств , мы получим полное вложение категории трезвых пространств и непрерывных отображений в категорию локалей. В этом смысле локали являются обобщениями трезвых пространств. ${\displaystyle \Omega }$

Можно перевести большинство концепций топологии точечных множеств в контекст локалей и доказать аналогичные теоремы. Некоторые важные факты классической топологии, зависящие от принципов выбора, становятся свободными от выбора (то есть конструктивными , что, в частности, привлекательно для компьютерной науки). Так, например, произвольные произведения компактных локалей компактны конструктивно (это теорема Тихонова в топологии точечных множеств), или пополнения однородных локалей конструктивны. Это может быть полезно, если работать в топосе , который не имеет аксиомы выбора. ^[5] Другие преимущества включают в себя гораздо лучшее поведение паракомпактности , при этом произвольные произведения паракомпактных локалей являются паракомпактными, что неверно для паракомпактных пространств, или тот факт, что подгруппы локальных групп всегда замкнуты.

Другим моментом, в котором топология и теория локалей сильно расходятся, являются концепции подпространств против подлокалей и плотности: если задана любая совокупность плотных подлокалей локали , их пересечение также плотно в . ^[6] Это приводит к теореме плотности Исбелла : каждая локаль имеет наименьшую плотную подлокаль. Эти результаты не имеют эквивалента в области топологических пространств. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Алгебра Гейтинга . Фреймы оказываются такими же, как и полные алгебры Гейтинга (хотя гомоморфизмы фреймов не обязательно должны быть гомоморфизмами алгебры Гейтинга).
• Полная булева алгебра . Любая полная булева алгебра является фреймом (она является пространственным фреймом тогда и только тогда, когда она атомарна).
• Подробную информацию о связи между категорией топологических пространств и категорией локалей, включая явное построение эквивалентности между трезвыми пространствами и пространственными локалями, можно найти в статье о двойственности Стоуна .
• Бесточечная геометрия Уайтхеда .
• Мереотопология .

Ссылки

1. Джонстон 1983, стр. 41.
2. Джонстон 1983, стр. 42.
3. Джонстон 1983, стр. 43.
4. Питер Т. Джонстон, Элементы истории теории локалей, в: Справочник по истории общей топологии, т. 3, стр. 835-851, Springer, ISBN  978-0-7923-6970-7 , 2001.
5. Джонстон 1983.
6. Джонстон, Питер Т. (2002). «C1.2 Локальности и пространства». Наброски слона .

Библиография

Общее введение в топологию без точек

• Джонстон, Питер Т. (1983). «Точка бесточечной топологии». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 8 (1): 41–53. doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15080-2 . ISSN  0273-0979 . Получено 09.05.2016 .

По его собственным словам, это можно рассматривать как трейлер к монографии Джонстона и использовать в качестве базовой справочной информации:

• 1982: Джонстон, Питер Т. (1982) Stone Spaces , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779-3 . 

Есть недавняя монография

• 2012: Пикадо, Хорхе, Пултр, Алеш Фреймы и локали: Топология без точек, Frontiers in Mathematics, т. 28, Springer, Базель (обширная библиография)

Для отношений с логикой:

• 1996: Викерс, Стивен , Топология через логику , Кембриджские трактаты по теоретической информатике, Издательство Кембриджского университета.

Более краткий отчет см. в соответствующих главах:

• 2003: Педиккио, Мария Кристина, Толен, Уолтер (редакторы) Категориальные основания — специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков, Энциклопедия математики и ее приложений , т. 97, Cambridge University Press, стр. 49–101.
• 2003: Хазевинкель, Михель (редактор) Справочник по алгебре, том. 3, Северная Голландия, Амстердам, стр. 791–857.
• 2014: Гретцер, Джордж, Верунг, Фридрих (редакторы) Теория решеток: специальные темы и приложения, том 1, Springer, Базель, стр. 55–88.