В кристаллографии кристаллографическая точечная группа — это трехмерная точечная группа , операции симметрии которой совместимы с трехмерной кристаллографической решеткой . Согласно кристаллографическому ограничению она может содержать только одно-, двух-, трех-, четырех- и шестикратные вращения или ротоинверсии. Это сокращает число кристаллографических точечных групп до 32 (из бесконечности общих точечных групп). Эти 32 группы являются одним и тем же, что и 32 типа морфологических (внешних) кристаллических симметрий, выведенных в 1830 году Иоганном Фридрихом Христианом Гесселем из рассмотрения наблюдаемых кристаллических форм.
В классификации кристаллов каждой пространственной группе соответствует кристаллографическая точечная группа путем "забывания" трансляционных компонентов операций симметрии. То есть, путем превращения винтовых вращений во вращения, скользящих отражений в отражения и перемещения всех элементов симметрии в начало координат. Каждая кристаллографическая точечная группа определяет (геометрический) кристаллический класс кристалла.
Точечная группа кристалла определяет, среди прочего, направленное изменение физических свойств, обусловленное его структурой, включая оптические свойства, такие как двулучепреломление , или электрооптические свойства, такие как эффект Поккельса .
Точечные группы названы в соответствии с их компонентными симметриями. Существует несколько стандартных обозначений, используемых кристаллографами, минералогами и физиками .
Для соответствия двух систем ниже см. кристаллическую систему .
В нотации Шёнфлиса точечные группы обозначаются буквенным символом с нижним индексом. Символы, используемые в кристаллографии, означают следующее:
В силу теоремы о кристаллографических ограничениях n = 1, 2, 3, 4 или 6 в 2- или 3-мерном пространстве.
D 4d и D 6d фактически запрещены, поскольку содержат несобственные вращения с n=8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T , T d , T h , O и O h составляют 32 кристаллографические точечные группы.
Сокращенная форма обозначения Германа-Могена, обычно используемая для пространственных групп, также служит для описания кристаллографических точечных групп. Названия групп:
Многие из кристаллографических точечных групп имеют одинаковую внутреннюю структуру. Например, точечные группы 1 , 2 и m содержат различные геометрические операции симметрии (инверсия, вращение и отражение соответственно), но все они имеют структуру циклической группы C 2 . Все изоморфные группы имеют один и тот же порядок , но не все группы одного и того же порядка изоморфны. Точечные группы, которые являются изоморфными, показаны в следующей таблице: [2]
В этой таблице используются циклические группы (C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 ), диэдральные группы (D 2 , D 3 , D 4 , D 6 ), одна из знакопеременных групп (A 4 ) и одна из симметрических групп (S 4 ). Здесь символ " × " обозначает прямое произведение .